19.1.2三角形的中位线定理及平行线间的距离

证明：如图，延长DE至F, A
D E
F
使EF=DE，
连接CD、AF、CF
∵AE=EC
∴DE=EF
B C
∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD FC 又D为AB中点， ∴DB FC ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
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三角形的中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半 用符号语言表示
一条直线上的任一点到另一条直线的 距离，叫做这两条平行线间的距离。
E C A
l1
它与点与点的距离、 点到直线的距离的 联系与区别
F
D
B
如图，l1 // l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、 CD、EF都垂直与 l2 ，垂足分别为B、D、F，则 AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
平行线间的距离处处相等
∵AE=EB AD=DC
A
1 ∴ DE∥BC， DE= BC. E 2
三角形的中位线 有什么作用？
D
B
C
例1：口答 （1）三角形的周长为18cm，这个三角形 的三条中位线围成三角形的周长是多少？为 什么？ A
D B E C
F
① △DEF的周长与 △ABC的周长有什么关系? ② △DEF的面积与 △ABC的面积有什么关系?
三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三边的关系而且给出了他们的数量关系在三角边的关系而且给出了他们的数量关系在三角形中给出一边的中点时要转化为中位线形中给出一边的中点时要转化为中位线
§19.1 .6 三角形中位线及平行 线间的距离
三角形中位线
复习巩固
到 上一节课为止我们学习了几种判定平行 四边形的方法？ 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形
E C
1、一个三角形有几条中位线？ 2、这三条中位线把三角形分成几个三角形？
三角形的中位线与三角形的中线有 什么区别？ A A
D E
B F C 中位线是两个中点的连线，而中线是一个 顶点和对边中点的连线。
B
C
如图在等边△ABC中，AD=BD，AE=EC，
△ADE是什么三角形？
等边三角形
DE是△ABC的什么线？ 中位线
DE=2cm，那么BC= 8 cm。 A
D
G C
E
H
B
（5）在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、 CD、 BD、 AB的中点． ①若AD=6，BC=8，则四边形EFGH的 14 周长是_____． ②若AD=CD=8，BD=6， ∠DCB=40°,∠DBC=50°， 则四边形EFGH的周长 18 是_____．
例2：已知：如图AD是△ABC的中线， EF是中位线， A 求证：AD与EF互相平分 E
B D F
C
例1 求证：顺次连结四边形四条边的中点， 所得的四边形是平行四边形.
A E
H
D
G
B F
已知：如图，在四边形ABCD中， E、F、G、H分别是AB、BC、 CD、DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。
例1 求证：顺次连结四边形四条边的中点， 所得的四边形是平行四边形.
A E
H
D
G
B F
已知：如图，在四边形ABCD中， E、F、G、H分别是AB、BC、 CD、DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：连结AC C ∵ AE=EB、CF=FB,
(三角形中位线定理)
1 ∴EF∥AC，EF= 2 AC 1 同理： HG∥AC，HG= AC 2
∴EF ∥HG，且EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形
（2）一个三角形的周长是135cm，过三角形 各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组 成的三角形的周长是 _________ cm． （3）如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的 5 中点，且AD=10cm，那么OE=___cm。
A
E B O
D
C
1 1 （4）如图：如果AE= AB，AD= AC， 4 4
两组对边分别平行 从边考虑 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 从角考虑 从对角线考虑 两组对角相等 两角线互相平分
如图，l1 // l2 ， 线段AB//CD//EF, 且点A、 C、E在l1上，B、D、F在l2上，则AB、CD、 EF的长短相等吗？为什么？
E C A
l1
l2 F D B
夹在两平行线间的平行线段相等。
A G H D
E B
C
F
已知在△ABC中，D、G分别是AB、AC上的点， 且BD=CG ，M、 N分别是BG、CD的中点，过 MN的直线交AB于P，交AC与Q． A 求证AP=AQ． G D P Q M N C B
1.三角形的中位线定义. 2.三角形的中位线定理. 3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三 边的关系，而且给出了他们的数量关系，在三角 形中给出一边的中点时，要转化为中位线. 4.线段的倍分要转化为相等问题来解决. 5.三角形的中位线定理的发现过程所用到的数学 方法（包括画图、实验、猜想、分析、归纳等.)
DE与BC有什么样的位置关系和数量关系？
A
∴DE
1 BC 2
C
E
D B
一般的三角形的中位线与第三边有什么 样的位置关系和数量关系呢？
观察猜想
A
在△ABC中，中 位线DE和边BC什么 关系?
DE∥BC
D
E
B
位置关系： 平行
C
DE和边BC关系
数量关系：DE是BC的一半
猜想：三角形的中位线平行于第 三边，并且等于第三边的一半。
∟
∟
∟பைடு நூலகம்
l2
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、 BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和 FN有怎样的关系？为什么？
A
E
F
D
B
M
N
C
（1）如图，S BC AE CDAF （2）同底（等底）同高（等高）的 平行四边形面积相等。
A E D F
B
C
练习： 1、如图，AB ∥ DC，ED ∥ BC，AE ∥ BD， 那么图中和△ABD面积相等的三角形有 （ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
证明：连结AC C ∵ AE=EB、CF=FB,
(三角形中位线定理)
1 ∴EF∥AC，EF= 2 AC 1 同理： HG∥AC，HG= AC 2
∴EF ∥HG，且EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形
已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、 DA的中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形．
问题：A、B两点被池塘隔开,如何 测量A、B两点距离呢？为什么?
A B
A
M 若MN=36 m，则 AB= 2MN=72 m 如果，MN两点之间 还有阻隔，你有什么 解决办法？
C
N
B
在AB外选一点C，使C能直接到达A和B， 连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中 点M、N. 测出MN的长，就可知A、B两点的距离
D C
E A
B
1、什么叫三角形的中线？有几条？ 连结三角形的顶点和对边中点的线段 叫三角形的中线.
2、三角形的中线有哪些性质？ F B
A
E C
D ①三角形的每一条中线把三角形的面积平分. ②三角形的中线相交于同一点.……
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 A
DE是△ABC的中位线
D 思考： B F