辽宁省实验中学分校2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题

数
学学科（理） 高二年级 命题人 谷志伟 校对人 李慧
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （1）原命题：“设a ,b ,c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2” 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题有（ ）
个
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
（2）抛物线y ＝1
4x 2的准线方程是 （ ） （A ） y ＝1 （B ）y ＝－1 （C ）x ＝－1 （D ）x ＝1 （3）已知→
a ＝(1,2,－y )，→
b ＝(x ,1,2)，且(→
a ＋2→
b )∥(2→
a －→
b )，则 （ ） （A ）x ＝1
3,y ＝1 （B ）x ＝1
2,y ＝－4
（C ）x ＝2,y ＝－1
4
（D ）x ＝1,y ＝－1
（4）设是两个命题p :log 2(|x |－3)＜0，q :6x 2－5x ＋1＞0，则是的 （ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件
（C ） 充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件
（5）在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3 ，前三项和为，则a 3＋a 4＋a 5＝（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）
（6）与椭圆x 24
＋y 2
＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是 （ ）
（A ） x 24－y 2＝1 （B ） x 22－y 2
＝1
（C ） x 23－y 23＝1 （D ） x 2－y 22
＝1 （7）已知A 、B 、C 三点不共线，点O 为平面ABC 外的一点，则下列条件中，能得到M ∈平面ABC 的充分条件是 （ ）
（A ） →OM ＝12→OA ＋12→OB ＋12→OC ； （B ）→OM ＝13→OA －13→OB ＋→
OC ；
（C ） →OM ＝→OA ＋→OB ＋→OC ； （D ） →OM ＝2→OA －→OB －→
OC
（8）已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，
则使得S n 达到最大值的n 是 （ ）
（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ）18 （9）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为3
2. 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 （ ）
（A ）x 28＋y 2
2＝1 （B ）x 212＋y 2
6＝1 （C ）x 216＋y 2
4＝1
（D ）x 220＋y 2
5＝1
（10）2011年，我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域{(x ，y )|x ≥0，y ≥0}内植树，第一棵树在点A 1(0,1)，第二棵树在点B 1(1,1)，第三棵树在点C 1(1,0)，第四棵树在点C 2(2,0)，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2011棵树所在的点的坐标是 （ ）
（A ）(13,44) （B ）(12,44) （C ）(13,43) （D ）(14,43)
（11）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AD ＝1，
AB ＝2，点E 是AB 上一点，当二面角P －EC －D 的平面角为π
4
时，AE ＝（ ）
（A ）1 （B ）1
2
（C ）2－ 2 （D ）2－ 3
（12）设F 1，F 2是双曲线x 2－y 24＝1的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，
使(→
OP ＋→
OF 2)˙→
F 2P ＝0，且|→
PF 2|=λ|→
PF 1|，则λ的值为 （ ）
（A ）13 （B ）1
2
（C ）2 （D ）3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分）
（13）命题“若a 2＋b 2＝0,则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是 . （14）椭圆E :x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左．右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2
c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆E 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于_____________
（15）下列命题：（1）空间向量→
a ，→
b 共线的充要条件是|→
a |＋|→
b |＝|→
a ＋→
b |；（2）空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C 满足→
OP ＝2→
OA ＋3→
OB －4→
OC ，则P ,A ,B ,C 四点共面；（3）若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直。

其中正确的命题序号是_____________
（16） 对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.
三、解答题（本大题共6小题，共 70分）
（17）（本小题满分10分）
已知命题p :实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)，命题q :实数x 满足x 2－6x ＋8＞0，若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围。

（18）（本小题满分12分） 已知双曲线C 与双曲线x 2－
y 2
2＝1有共同的渐近线，且双曲线C 过点M (2,2)，则过点A (1,1)能否作
直线l ，使l 与双曲线C 交于Q 1、Q 2两点，且A 是线段Q 1Q 2的中点，这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

（19）（本小题满分12分）
已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90º,PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝1
2，AB ＝1，M 是PB 的中点。

（1）求异面直线AC 与PB 所成的角的余弦值； （2）证明：CM ∥面PAD ；
（20）(本题满分12分)
已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意的n ∈N ＋，有S n ＝32a n －3
2 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n ＝1
log 3a n log 3a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
（21）（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点，AO ⊥平面A 1B 1C 1.已知∠BCA ＝90°，AA 1＝AC ＝BC ＝2. (Ⅰ)证明：OE ∥平面AB 1C 1； (Ⅱ)求异面直线AB 1与A 1C 所成的角； (Ⅲ)求A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值．
（22）（本小题满分12分）
已知A ,B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－3
3x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点Q (1,0)任意作直线m （与x 轴不垂直），设m 与（1）中轨迹C 交于M ，N 两点，与y 轴交于R 点．若→
RM ＝λ→
MQ ，→
RN ＝µ→
NQ ，证明：λ+µ为定值．
辽宁省实验中学分校2013——2014学年度上学期期末考试
（答案）
数学学科 高二年级 命题人 谷志伟 校对人 李慧
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分） （13）若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0 （14）3－1 （15）②③
（16）2n ＋
1－2
三、解答题（本大题共6小题，共 70分）
代入点M (2,2)，得λ＝2 ∴双曲线C 的方程为x 22－y 2
4＝1 ……4分 设点Q 1坐标为Q 1(x 1,x 2)，点Q 2坐标为Q 2(x 2,y 2)
则⎩
⎨⎧x 122－y 12
4＝1
x 222－y 224＝1
由点差法作差得x 12－x 222＝y 12－y 224
∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4
∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4(x 1＋x 2)2(y 1＋y 2)
＝2 ……8分
∴直线l 的方程为y －1＝2(x －1) 即y ＝2x －1 ……9分 检验：⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 24＝1
y ＝2x －1
化简得2x 2－4x ＋5＝0
∆＝42－4×2×5＜0
∴直线l 与双曲线C 无交点，故直线l 不存在。

……12分
（19）（本小题满分12分）
已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90º,PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝1
2，AB ＝1，M 是PB 的中点。

（1）求异面直线AC 与PB 所成的角的余弦值； （2）证明：CM ∥面PAD ；
解：以A 为原点，AD ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 （1）∵PA ＝AD ＝DC ＝1
2，AB ＝1
∴D (12,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,12),C (12,1
2,0) ∴→AC ＝(12,12,0),→
PB ＝(0,1,－12) ∴cos ＜→AC ,→
PB ＞＝105
∴ 异面直线AC 与PB 所成的角的余弦值为10
5 ……6分
（2）∵M (0,12,14) ∴→
CM ＝(－12,0,14)
又∵AB ⊥面PAD ∴面PAD 的法向量为→
AB ＝(0,1,0) ∴→
AB ·→
CM ＝0
∵CM ⊄面PAD ∴CM ∥面PAD ……12分
（20）(本题满分12分)
已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意的n ∈N ＋，有S n ＝32a n －3
2 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n ＝1
log 3a n log 3a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：（1）由已知得，∴当时，；
∴，即，∴当时，；
∴数列为等比数列，且公比； （…………3分） 又当时，，即，∴；
∴. （…………6分） （2）∵，∴；
（…………9分）
∴的前项和 .
（…………12分）
（21）（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点，AO ⊥平面A 1B 1C 1.已知∠BCA ＝90°，AA 1＝AC ＝BC ＝2. (Ⅰ)证明：OE ∥平面AB 1C 1； (Ⅱ)求异面直线AB 1与A 1C 所成的角； (Ⅲ)求A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值．
解法一：(Ⅰ)证明：∵点、分别是、的中点， ∴，又∵平面，平面，
∴平面． ··································································································································· 4分 (Ⅱ)∵平面，∴，又∵，且，
∴平面，∴． ······················································································································· 6分 又∵， ∴四边形为菱形， ∴，且∴平面，
∴，即异面直线与所成的角为． ······················································································ 8分 (Ⅲ) 设点到平面的距离为，∵，
即△． ····································································································································· 10分 又∵在△中，，∴△．
A
B
O
1
A 1
C 1
B E
∴，∴与平面所成角的正弦值． ························································································ 12分 解法二：如图建系，， ， ， ， ． ··········································································································································· 2分 (Ⅰ)∵，，∴，即， 又∵平面，平面，∴平面． ·································································································· 6分 (Ⅱ)∵，，∴，即∴，
∴异面直线与所成的角为． ·································································································· 8分 (Ⅲ)设与平面所成角为，∵，
设平面的一个法向量是 则 即
不妨令，可得， ··················································································································· 10分 ∴，
∴与平面所成角的正弦值． ······························································································ 12分
（22）（本小题满分12分）
已知A ,B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－3
3x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点Q (1,0)任意作直线m （与x 轴不垂直），设m 与（1）中轨迹C 交于M ，N 两点，与y 轴交于R 点．若→
RM ＝λ→
MQ ，→
RN ＝µ→
NQ ，证明：λ+µ为定值． 解：（1）设，，．
∵是线段的中点，∴ ∵分别是直线和上的点，∴和．
∴ …………3分 又，∴．
∴，∴动点的轨迹的方程为． …………5分
（2）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．…………6分 设、、，
则两点坐标满足方程组
消去并整理，得， …………8分。