2020-2021学年广东省潮州市苏奕中学高三数学理期末试卷含解析

2020-2021学年广东省潮州市苏奕中学高三数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相离
参考答案：
【知识点】点到直线的距离H2
A解析：点M在圆内，故，圆心到直线的距离为：，即，故直线与圆相离．所以选A．
【思路点拨】利用点到直线的距离公式求出，判断与的大小关系即可.
2. 某中学在每年的春节后都会组织高一学生参加植树活动.为保证树苗的质量，在植树前都会对树苗进行检测.现从某种树苗中随机抽测了10株树苗，测量出的高度（i=1，2，3，…，10）（单位：厘米）分别为37，21，31，20，29，19，32，23，25，3
3.计算出抽测的这10株树苗高度的平均值，将这10株树苗的高度依次输入程序框图进行运算，则输出的S的值为（）A. 25 B. 27 C. 35 D. 37
参考答案：
C
【分析】
根据流程图的含义可知表示10株树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量，根据方差公式解之可得．
【详解】解：由，
由程序框图看出，程序所执行的是求这组数据的方差，
所以，这组数据的方差为：
．
故选：
【点睛】本题考查程序流程图的理解，方差的计算，属于基础题.
3. “<0”是“”的
(A)充分条件 (B)充分而不必要条件
(C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
参考答案：
B
略
4. 一种产品的成品是a元,今后m年后,计划使成本平均每年比上一年降低p%,成本y是经过年数x的函数(0<x<m),其关系式是()
参考答案：
B
5. cos（﹣φ）=，且|φ|＜，则tanφ为（）
A．﹣B．C．﹣D．
参考答案：
C
【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式化简已知表达式，通过同角三角函数的基本关系式求解即可．
【解答】解：cos（﹣φ）=，且|φ|＜，
所以sinφ=﹣，φ，
cosφ==，
tanφ==．
故选：C．
【点评】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
6. 下列命题中，真命题的个数为①对任意的，，是的充要条件；②在
中，若，则；③非零向量，，若，则向量与向量的夹角为锐角；④.（）
A．1 B．2 C.3 D．4
参考答案：
C
对于①，若，则显然成立；
若a，成立；
若，成立；
故对任意的a，b∈R，a>b是a|a|>b|b|的充要条件，故①正确；
对于②，在△ABC中，若A>B，则a>b，又由正弦定理知，a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB，故②正确；
对于③,非零向量若,则向量与向量的夹角为锐角或0，故③错误；
对于④,∵，；
同理可得,；，故④正确。

综上所述，真命题的个数为3.
本题选择C选项.
7. 已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 010)＋f(2 011)的值为（）
A．－2 B．－1 C．2 D．1
参考答案：
D
8. 已知函数，且，则
的最小值为
A. B. C. D.
参考答案：
A
9. 函数y=的值域是（）
A．（-∞，）∪（，+∞） B．（-∞，）∪（，+∞）C．R
D．（-∞，）∪（，+∞）
参考答案：
B
10. 设函数,是公差为1且各项均为正数的等差数列。

若
++=。

其中是自然对数的底数，则的值为
（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数是上的奇函数,且的图象关于直线对称,当
时,，则.
参考答案：
12. 求值：________.
参考答案：13. 若函数的图像为，则下列结论中正确的序号是_____________．
①图像关于直线对称；②图像关于点对称；③函数在区间内
不是单调的函数；④由的图像向右平移个单位长度可以得到图像．
参考答案：
①②
试题分析：对于①：若函数的对称的对称轴方程为，当时，，故①正确；对于②，若函数的对称中心为
，当时，对称中心为，故②正确；对于③，函数
的递增区间为，所以函数在区间
单调递增，故③错；对于④，的图像向右平移个单位长度后得到的函数解析式为
，故④错，所以应填①②.
考点：三函数的图象与性质.
【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质，属中档题；与三角函数的性质与图象相结合的综合问题，一般方法是通过三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为的形式，然后借助三角函数的性质与图象求解.
14. 已知实数满足等式,给出下列五个关系式：
①；②；③；④；⑤．
其中可能关系式是．
参考答案：
②④⑤
15. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为___________．
参考答案： 总事件数为
，
目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有
，共8种；
当第一颗骰子为3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有
种；
所以目标事件共20中，所以.
16. 若对任意，
，（
、
）有唯一确定的
，
与之对应，称
，
为关于
、
的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数
为关于实数、的广义“距离”；
(1)非负性:时取等号；ks5u
(2)对称性:；
(3)三角形不等式:
对任意的实数z 均成立.
今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于、的广义“距离”的序号:
①
； ②
； ③
能够成为关于的、的广义“距离”的函数的序号是____________.
参考答案：
①
17. 已知函数
在
上有三个零点，则实数
的取值范围是
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB ； （1）求cosB 的值； （2）若
?
=2，且b=2
，求a+c 的值．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）由条件得sin （B+C ）=3sinAcosB ，再由sin （B+C ）=sinA≠0，可得 cosB=． （2）由两个向量的数量积的定义得到ac=6，再由余弦定理可得a 2+c 2=12，解方程组可求得a 和c 的
值．
【解答】解：（1）由sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB ，得sin （B+C ）=3sinAcosB ， 因为A 、B 、C 是△ABC 的三内角，所以sin （B+C ）=sinA≠0，
因此cosB=．
（2）
?=||?||cosB=ac=2，即ac=6，
由余弦定理得b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，所以a 2+c 2=12，
解方程组，
得 a=c=． 所以a+c=2
．
19. （本小题满分12人）
△ABC 中，
，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD=2DC ，BD
（Ⅰ）求BC 的长； （Ⅱ）求△DBC 的面积。

参考答案：
见解析
【知识点】余弦定理倍角公式
解（Ⅰ）∵cos∠ABC
在△ABC中，设BC=a，AC=3b ∴9b2＝①
在△ABD中，cos∠ADB＝
在△BDC中，cos∠BDC＝
cos∠ADB=－cos∠BDC
=－②
由①②，∴BC=3
（Ⅱ）
20. 已知函数，其中为正实数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若的最小值为，问是否存在正实数a，b，使得不等式能成立？若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
参考答案：
（1）不等式等价于
或或
解得：，所以不等式的解集是（2）在正实数
上式等号成立的等价条件为当且仅当，即，
所以存在，使得不等式成立.
21. 已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，A、B是椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于A、B的动点，且△APB面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线AP与直线交于点D，证明：以BD为直径的圆与直线PF相切．
参考答案：
（1）由题意可设椭圆的方程为．
由题意知解得．
故椭圆的方程为．
（2）由题意，设直线的方程为.
则点坐标为，中点的坐标为．
由得．
设点的坐标为，则．
所以，．
因为点坐标为，
当时，点的坐标为，点的坐标为.
直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．
当时，则直线的斜率.
所以直线的方程为．
点到直线的距离．
又因为，所以．
故以为直径的圆与直线相切．
综上得，以为直径的圆与直线相切．
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的普通方程为.
（1）求曲线的普通方程；
（2）在曲线上求一点，使得点到直线的距离最小.
参考答案：（1）曲线的参数方程（为参数）
即（为参数），
所以，所以，即，考虑到，故，
所以曲线的普通方程为，.
（2）不妨设曲线上一点，其中，则点到直线的距离，考虑到，所以当时，．故点．。