【北京B版】2019版高考文数一轮课件：7.2-简单的线性规划(含答案)

高考文数(北京市专用)
§7.2简单的线性规划
考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域
1.(2013北京,14,5分)已知点A (1,-1),B (3,0),C (2,1).若平面区域D 由所有满足 =λ +μ (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成,则D 的面积为.AP →AB →AC →A 组
自主命题·北京卷题组
五年高考
答案3
解析 =(2,1), =(1,2).设P (x ,y ),由 
=λ +μ ,得 故有 
又λ∈[1,2],μ∈[0,1],故有 即 则平面区域D 如图中阴影部分所示.易知其面积为3.
AB
→AC →AP →AB →AC →12,12,x λμy λμ-=+⎧⎨+=+⎩23,323.3x y λx y μ--⎧=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩2312,32301,3x y y x --⎧≤≤⎪⎪⎨-+⎪≤≤⎪⎩3236,023 3.
x y y x ≤--≤⎧⎨≤-+≤⎩
思路分析设P (x ,y ),由P 点坐标减A 点坐标得到 坐标后,再由λ +μ 得到 坐标,建立方程组,再将λ,μ分离,由λ,μ的范围得到关于x ,y 的不等式组,画出平面区域求出面积即可.
AP →AB →AC →AP →
评析本题考查了平面向量的坐标运算、线性规划等知识;同时又考查了转化及数形结合思想,综合能力要求较高.
2.(2011北京,14,5分)设A (0,0),B (4,0),C (t +4,3),D (t ,3)(t ∈R).记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则N (0)=
;N (t )的所有可能取值为
.答案6;6,7,8
解析当t=0时,四边形ABCD为矩形,内部整点个数为6,故N(0)=6;当t≠0时, 
如图所示,▱ABCD(不包括边界)中整点必在直线l
1:y=1和直线l2:y=2上,当AD(BC)不经过l1、l2上
整点时,▱ABCD中整点个数为8(如图▱ABC
1D1);
当AD(BC)仅经过l
1或l
2
上一个整点时,▱ABCD中整点个数为3+4=7(如图▱ABC
2D2);
当AD(BC)经过l
1、l
2
上各一个整点时,▱ABCD中整点个数为3+3=6(如图▱ABC
3D3).故N(t)的所
有可能取值为6,7,8.
考点二线性规划问题
1.(2017北京,4,5分)若x ,y 满足 则x +2y 的最大值为 ()
A.1
B.3
C.5
D.93,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩答案D 本题考查简单的线性规划.
作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分.
令z =x +2y ,
当z =x +2y 过A 点时,z 取最大值.
由 
得A (3,3),∴z 的最大值为3+2×3=9.故选D.
3,x y x =⎧⎨=⎩
2.(2016北京,7,5分,0.90)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为 ()
A.-1
B.3
C.7
D.8
答案C点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),如图:
设z=2x-y,则y=2x-z,
当直线y=2x-z经过点B(4,1)时,z取得最大值,最大值为2×4-1=7.
一题多解由题意,易得线段AB 的方程为y -1= (x -4),即y =-2x +9(2≤x ≤4).
因为2x -y =4x -9,且2≤x ≤4,
所以-1≤2x -y ≤7.故选C.1542
--评析本题考查线性规划问题,与常规的线性规划的不同之处在于本题的可行域为一条线段.
3.(2018北京,13,5分)若x ,y 满足x +1≤y ≤2x ,则2y -x 的最小值是.
答案3
解析本题主要考查简单的线性规划.由x +1≤y ≤2x 作出可行域,如图中阴影部分.
设z =2y -x ,则y = x + z ,由 得A (1,2).由图可知,当直线y = x + z 过A (1,2)时,z 取得最小值,z min =3.1212
2,1,
y x y x =⎧⎨=+⎩1212
方法总结简单的线性规划问题的解题思路:
先利用线性约束条件作出可行域,然后找到最优解,进而求得最值.
4.(2015北京,13,5分,0.91)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为.
答案7
解析由题意可知直线z=2x+3y经过点A(2,1)时,z取得最大值,即z
max=2×2+3×1=7.
思路分析画出l
0:y=- x,向上平移l0,当经过A点时的z值即为所求. 2
3
5.(2014北京,13,5分,0.80)若x ,y 满足 则z = x +y 的最小值为.
1,10,10,y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩3答案1
解析约束条件 
表示的平面区域如图中阴影部分,作出基本直线l 0: x +y =0,经平移可得z = x +y 在点A (0,1)处取得最小值,其最小值为1. 
1,10,10y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩33思路分析由约束条件作出可行域,将目标函数转化为y =- x +z ,作出基本直线l 0: x +y =0,由图可得最优解,代入目标函数可得最小值.33
6.(2013北京,12,5分)设D 为不等式组 
表示的平面区域.区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为
.
0,20,30x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩答案 255解析不等式组表示的平面区域如图所示.
由题意得A (1,2),B (0,3),O (0,0).由图可知最小值是点(1,0)到直线y =2x 的距离,即d = = .|210|5
⨯-255解后反思解题关键是发现平面区域D 上的点与点(1,0)之间的最小值的几何意义,即点A (1,0)到直线2x -y =0的距离.
考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域
1.(2016山东,4,5分)若变量x ,y 满足 则x 2+y 2的最大值是 ()
A.4
B.9
C.10
D.12
2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩B 组
统一命题、省(区、市)卷题组答案C 作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界),
x 2+y 2表示平面区域内的点与原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A (3,-1)与原点的距离最大,所以x 2+y 2的最大值是10,故选C.
评析本题考查了数形结合的思想方法.利用x 2+y 2的几何意义是求解的关键.
2.(2014福建,11,5分)已知圆C :(x -a )2+(y -b )2=1,平面区域Ω: 
若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切,则a 2+b 2的最大值为 (
)
A.5
B.29
C.37
D.4970,30,0.x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩答案C 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界.∵圆C 与x 轴相切,∴b =1.显然当圆心C 位于直线y =1与x +y -7=0的交点(6,1)处时,a max =6.∴a 2+b 2的最大值为62+12=37.故选C.
评析本题主要考查了数形结合的思想方法.
3.(2014安徽,13,5分)不等式组 表示的平面区域的面积为.
20,240,320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩答案4
解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.
由 得 
∴A (0,2),B (2,0),C (8,-2).
直线x +2y -4=0与x 轴的交点D 的坐标为(4,0).
因此S △ABC =S △ABD +S △BCD = ×2×2+ ×2×2=4.
故答案为4.320,240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩8,2.x y =⎧⎨=-⎩1212
考点二线性规划问题
1.(2018天津,2,5分)设变量x ,y 满足约束条件 则目标函数z =3x +5y 的最大值为 ()
A.6
B.19
C.21
D.455,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩答案C 本题主要考查线性目标函数最值的求解.
由变量x ,y 满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示).
作出基本直线l 0:3x +5y =0,平移直线l 0,当经过点A (2,3)时,z 取最大值,z max =3×2+5×3=21,故选C.
方法总结线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略:
(1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以对于一般的线性规划问题,我们可以直接求出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.
(2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数.
2.(2017山东,3,5分)已知x ,y 满足约束条件 则z =x +2y 的最大值是 ()
A.-3
B.-1
C.1
D.3
250,30,2,x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩答案D 本题考查简单的线性规划.
画出可行域如图:
作直线l 0:y =- x .经平移可得z =x +2y 在点A 处取得最大值,由 解得A (-1,2),所以z max =-1+2×2=3.故选D.
12
250,2
x y y -+=⎧⎨=⎩
3.(2017课标全国Ⅲ,5,5分)设x ,y 满足约束条件 则z =x -y 的取值范围是 ()
A.[-3,0]
B.[-3,2]
C.[0,2]
D.[0,3]3260,0,0,x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩答案B 由题意,画出可行域(如图中阴影部分所示),易知A (0,3),B (2,0).由图可知,目标函数z =x -y 在点A ,B 处分别取得最小值与最大值,z min =0-3=-3,z max =2-0=2,故z =x -y 的取值范围是[-3,2].故选B.
4.
(2017课标全国Ⅱ,7,5分)设x ,y 满足约束条件 则z =2x +y 的最小值是 ()
A.-15
B.-9
C.1
D.9
2330,2330,30,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩答案A 本题考查简单的线性规划问题.
根据线性约束条件画出可行域,如图.
作出直线l 0:y =-2x .平移直线l 0,当经过点A 时,目标函数取得最小值.
由 
得点A 的坐标为(-6,-3).
2330,30x y y -+=⎧⎨+=⎩∴z min =2×(-6)+(-3)=-15.故选A.
解题关键正确画出可行域、找到最优解是求解关键.
5.(2017课标全国Ⅰ,7,5分)设x ,y 满足约束条件 则z =x +y 的最大值为 ()
A.0
B.1
C.2
D.3
33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩答案D 本题考查简单的线性规划问题.
作出约束条件表示的可行域如图:
平移直线x +y =0,可得目标函数z =x +y 在A (3,0)处取得最大值,z max =3,故选D.一题多解由约束条件求出三个交点的坐标(3,0),(1,0), ,分别代入目标函数z =x +y ,得到z max =3.31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
6.(2017浙江,4,5分)若x ,y 满足约束条件 则z =x +2y 的取值范围是 ()
A.[0,6]
B.[0,4]
C.[6,+∞)
D.[4,+∞)
0,30,20,x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩答案D 本题考查线性规划中可行域的判断,最优解的求法.
不等式组形成的可行域如图所示.
平移直线y =- x ,当直线过点A (2,1)时,z 有最小值4.显然z 没有最大值.故选D.12
易错警示 1.易把可行域看成是图中的三角形OAB 区域,而错选A;同时,又错认为过点A 时,取到最大值,而错选B.
2.可行域判断对了,但错认为过点B 时,z 有最小值,从而错选C.
7.(2015安徽,5,5分)已知x ,y 满足约束条件 则z =-2x +y 的最大值是 ()
A.-1
B.-2
C.-5
D.1
0,40,1,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩答案A 作出可行域,如图所示,
当z =-2x +y 经过点A 时,z 取得最大值,由 得A (1,1),则z max =-2×1+1=-1.
0,1
x y y -=⎧⎨=⎩
8.(2015福建,10,5分)变量x ,y 满足约束条件 
若z =2x -y 的最大值为2,则实数m 等于 
(
)A.-2 B.-1 C.1 D.2
0,220,0.x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩答案C 当m <0时,约束条件所表示的平面区域是开放的,目标函数z =2x -y 无最大值.当m =2时,目标函数z =2x -y 的最大值为0.于是排除D,故选C.
9.(2015陕西,11,5分)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为 ()甲乙原料限额
A (吨)
3212B (吨)128
A.12万元
B.16万元
C.17万元
D.18万元
答案D 设该企业每天生产甲产品x 吨,乙产品y 吨,获利z 万元,则
由题设可得 
z =3x +4y .画出可行域(图略),利用线性规划知识可求得z max =18,故选D.
3212,28,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩
10.(2014课标Ⅰ,11,5分)设x ,y 满足约束条件 且z =x +ay 的最小值为7,则a = ()
A.-5
B.3
C.-5或3
D.5或-3,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩答案B 二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中A .平移直线x +ay =0,可知在点A 处,z 取得最值, 
因此 +a × =7,化简得a 2+2a -15=0,解得a =3或a =-5,但a =-5时,z 取得最大值,故舍去,答案为a =3,故选B.11,22a a -+⎛⎫
⎪⎝⎭11,22a a -+⎛⎫
⎪⎝⎭12a -12
a +评析本题考查简单的线性规划问题,对含字母系数的问题,一要判断存在最小值的条件,二要考虑字母系数对平面区域的影响.
11.(2014天津,2,5分)设变量x ,y 满足约束条件 则目标函数z =x +2y 的最小值为 ()A.2 B.3 C.4 D.5
20,20,1,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩答案B 由线性约束条件画出可行域(如图所示).由z =x +2y ,得y =- x + z , z 的几何意义是直线y =- x + z 在y 轴上的截距,要使z 最小,需使 z 最小,易知当直线y =- x + z 过点A (1,1)时,z 最小,最小值为3,故选B.
121212
1212121212
12.(2014广东,4,5分)若变量x ,y 满足约束条件 则z =2x +y 的最大值等于 ()
A.7
B.8
C.10
D.11
28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩答案C 由约束条件画出如图所示的可行域,由z =2x +y 得y =-2x +z .当直线y =-2x +z 过点A 时,z 有
最大值,由 
得A (4,2),∴z max =2×4+2=10.故选C. 
4,28x x y =⎧⎨+=⎩
13.(2014湖北,4,5分)若变量x ,y 满足约束条件 则2x +y 的最大值是 ()
A.2
B.4
C.7
D.8
4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩答案C 画出可行域如图(阴影部分).
设目标函数为z =2x +y ,由 
解得A (3,1),当目标函数过A (3,1)时取得最大值,∴z max =2×3+1=7,故选C.
4,2x y x y +=⎧⎨-=⎩
14.(2014课标Ⅱ,9,5分)设x ,y 满足约束条件 则z =x +2y 的最大值为 ()
A.8
B.7
C.2
D.1
10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩答案B 约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示,
由z =x +2y ,得y =- x + , 为直线y =- x + 在y 轴上的截距,要使z 最大,则需 最大,所以当直线y =- x + 经过点B (3,2)时,z 最大,最大值为3+2×2=7,故选B.122z 2z 122z 2
z 122z
15.(2018课标全国Ⅰ,14,5分)若x ,y 满足约束条件 则z =3x +2y 的最大值为.
220,10,0,x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩答案6
解析本题主要考查线性规划.
由x ,y 满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示). 
由图知当直线3x +2y -z =0经过点A (2,0)时,z 取得最大值,z max =2×3=6.
规律总结线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略:
(1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.
(2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参问题的基本方法有两种:一是把参数当常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数.
16.
(2018课标全国Ⅱ,14,5分)若x ,y 满足约束条件 则z =x +y 的最大值为.
250,230,50,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩答案9
解析本题考查简单的线性规划.
由线性约束条件画出可行域(如图所示的阴影部分),
由图可知,当直线x +y -z =0经过点A (5,4)时,z =x +y 取得最大值,最大值为9.
解题关键由可行域正确找到最优解是解题的关键.
17.(2018课标全国Ⅲ,15,5分)若变量x ,y 满足约束条件 
则z =x + y 的最大值是.
230,240,20,x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩13答案3
解析本题考查简单的线性规划.
解法一:根据约束条件作出可行域,如图所示.
z =x + y 可化为y =-3x +3z .求z 的最大值可转化为求直线y =-3x +3z 纵截距的最大值,
显然当直线y =-3x +3z 过A (2,3)时,纵截距最大,
故z max =2+ ×3=3.解法二:画出可行域(如上图),
由图知可行域为三角形区域,易求得顶点坐标分别为(2,3),(2,-7),(-2,1),将三点坐标代入,可知13
13
z max =2+ ×3=3.1
3
18.(2018浙江,12,6分)若x ,y 满足约束条件 则z =x +3y 的最小值是,最大值是
.
0,26,2,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩答案-2;8
解析本题考查简单的线性规划.
由约束条件得可行域是以A (1,1),B (2,2),C (4,-2)为顶点的三角形区域(含边界),如图.
当直线y =- x + 过点C (4,-2)时,z =x +3y 取得最小值-2,过点B (2,2)时,z =x +3y 取得最大值8.133
z 思路分析(1)作出可行域,并求出顶点坐标.(2)平移直线y =- x ,当在y 轴上的截距最小时,z =x +3y 取
得最小值,当在y 轴上的截距最大时,z =x +3y 取得最大值.
13
19.(2016课标Ⅲ,13,5分)设x ,y 满足约束条件 则z =2x +3y -5的最小值为.
210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩答案-10
解析可行域如图所示(包括边界),直线2x -y +1=0与x -2y -1=0相交于点(-1,-1),当目标函数线过(-1,-1)时,z 取最小值,z min =-10.
评析本题考查了简单的线性规划问题,正确画出可行域是求解的关键.
20.(2014大纲全国,15,5分)设x 、y 满足约束条件 则z =x +4y 的最大值为.
0,23,21,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩答案5
解析作出可行域(如图所示的阴影部分),
当z =x +4y 经过点A 时,z 取得最大值,
由 
得A (1,1),故z max =1+4×1=5. 
0,23x y x y -=⎧⎨+=⎩
21.(2016课标Ⅱ,14,5分)若x ,y 满足约束条件 则z =x -2y 的最小值为.
10,30,30,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩答案-5
解析由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线x -2y -z =0过点B (3,4)时,z 取得最小值,z min =3-2×4=-5.
22.(2016课标Ⅰ,16,5分)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为
元.答案216 000
解析设生产产品A x 件,生产产品B y 件,利润之和为z 元,则z =2 100x +900y .
根据题意得 即 
作出可行域(如图).
由 得 
当直线2 100x +900y -z =0过点A (60,100)时,z 取得最大值
,z max =2 100×60+900×100=216 000.
故所求的最大值为216 000元.
1.50.5150,0.390,53600,,N,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪∈⎩3300,103900,53600,
,N,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪∈⎩103900,53600x y x y +=⎧⎨+=⎩60,100.x y =⎧⎨=⎩
23.(2015课标Ⅰ,15,5分)若x ,y 满足约束条件 则z =3x +y 的最大值为.
20,210,220,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩答案4
解析由线性约束条件画出可行域,如图. 
解方程组 得 
即A 点坐标为(1,1).当动直线3x +y -z =0经过点A (1,1)时,z 取得最大值,z max =3×1+1=4.
20,210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩1,1,x y =⎧⎨=⎩
24.(2015课标Ⅱ,14,5分)若x ,y 满足约束条件 则z =2x +y 的最大值为.
50,210,210,x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩答案8
解析由约束条件画出可行域(如图所示).解方程组 得A (3,2).当动直线2x +y -z =0经过点A (3,2)时,z max =2×3+2=8.
50,210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩评析本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想方法.
25.(2015湖北,12,5分)若变量x ,y 满足约束条件 则3x +y 的最大值是.
4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩答案10
解析由线性约束条件画出可行域,如图中的阴影部分(包括边界),令z =3x +y ,则当直线y =-3x +z
经过点A 时,z =3x +y 取得最大值,解方程组 
得点A 的坐标为(3,1),则z max =3×3+1=10. 
4,2x y x y +=⎧⎨-=⎩评析本题考查了简单的线性规划问题和数形结合思想.正确画出可行域是求解的关键.
26.(2014浙江,12,4分)若实数x ,y 满足 则x +y 的取值范围是.
240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩答案[1,3]
解析画出可行域如图,
可行域为△ABC 的内部及其边界.设x +y =t ,则y =-x +t ,t 的几何意义为直线y =-x +t 在y 轴上的截距,当直线通过点A 、B 时,t 取得最小值与最大值,可求得A 、B 两点的坐标分别为(1,0)和(2,1),所以1≤t ≤3,即x +y 的取值范围是[1,3].
1.(2015四川,9,5分)设实数x ,y 满足 
则xy 的最大值为 ()A. B. C.12 D.16210,214,6,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩
252492C 组教师专用题组
答案A 解法一:作出可行域,如图.设z =xy ,则y = .
∵y = 关于y =x 对称,∴当y = 与2x +y =10相切时,z 有最大值.把y =10-2x 代入xy =z ,得x (10-2x )=z ,
即2x 2-10x +z =0,
z x
z x
z x
由Δ=100-4×2×z =0,得z = .此时切点为 ,满足线性约束条件.∴xy 的最大值为 .解法二:作出可行域,如图.
易求得A (2,6),B (4,2).
设z =xy ,若xy 有最大值,则点(x ,y )在第一象限,xy 的几何意义为以可行域中的点对应的横坐标x ,纵坐标y 为邻边长的矩形面积,所以z =xy 的最大值在上边界或右边界取得.
252
5,52⎛⎫ ⎪⎝⎭252
当0<x ≤2时,
z =xy =x · =- [(x -7)2-49],∴当x =2时,z 取得最大值,z max =12.当2<x ≤4时,
z =xy =x (10-2x )=-2 + ,∴当x = 时,z 取得最大值,z max = .∴xy 的最大值为 ,故选A.142x -12
2
52x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭25252252
252
2.(2015湖南,4,5分)若变量x ,y 满足约束条件 则z =2x -y 的最小值为 ()
A.-1
B.0
C.1
D.2
1,1,1,x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩答案A 作出可行域,如图,
直线2x -y -z =0经过点A (0,1)时,直线的横截距最小,z min =2×0-1=-1.故选A.
3.(2015广东,4,5分)若变量x ,y 满足约束条件 则z =2x +3y 的最大值为 ()
A.2
B.5
C.8
D.10
22,0,4,x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩答案B 作出不等式组所表示的平面区域,如图.
z =2x +3y 可化为y =- x + ,
当直线y =- x + 经过点A (4,-1)时,z 最大,最大值为2×4+3×(-1)=5.选B.
233
z 2
33z
4.(2014山东,10,5分)已知x ,y 满足约束条件 
当目标函数z =ax +by (a >0,b >0)在该约束条件下取到最小值2 时,a 2+b 2的最小值为 ()
A.5
B.4
C. 
D.2
10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩55答案B 不等式组 
表示的平面区域为图中的阴影部分.由于a >0,b >0,所以目标函数z =ax +by 在点A (2,1)处取得最小值,即2a +b =2 
.解法一:a 2+b 2=a 2+(2 
-2a )2=5a 2-8 a +20=( a -4)2+4≥4,即a 2+b 2的最小值为4.解法二: 
表示坐标原点与直线2a +b =2 上的点之间的距离,故 的最小值为 =2,即a 2+b 2的最小值为4.
10,230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩555522a b +522a b +222521+评析本题考查线性规划与最值问题,考查学生运算求解的能力以及数形结合和转化与化归思想的应用能力.
5.(2015山东,12,5分)若x ,y 满足约束条件 则z =x +3y 的最大值为.
1,3,1,y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩答案7
解析如图,可行域为△ABC 及其内部.
由z =x +3y ,得y =- x + ,当 最大时,z 最大,而 的几何意义是直线y =- x + 在y 轴上的截距,所以当直线y =- x + 通过点A (1,2)时,z 最大.所以z max =1+3×2=7.133z 3z 3
z
133
z 133z
6.(2014湖南,13,5分)若变量x ,y 满足约束条件 则z =2x +y 的最大值为.
,4,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩答案7
解析二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分,由z =2x +y 得y =-2x +z .当直线
y =-2x +z 过B 点时,z 最大.由 
得B (3,1),因此,当x =3,y =1时,z max =2×3+1=7,故答案为7. 4,1,x y y +=⎧⎨=⎩。