全国各地高考数学试题文理科汇总含答案解析 (6)

普通高等学校招生全国统一考试
（北京卷） 数 学 （文史类）
第Ⅰ卷 (选择题 共40分)
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项。

（1）．设集合A ={}312＜+x x ，B ={}23＜＜x x -，则A ⋂B 等于( A )
(A) {}3x x -＜＜1 (B) {}21＜＜x x (C) 3-＞x x (D) 1＜x x
解：集合A ={}312＜+x x ＝｛x|x <1｝，借助数轴易得选A
(2)．函数y = 1+cos x 的图象( B )
（A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称
（C ）关于原点对称 （D ）关于直线x = 2π
对称
解：函数y =1+cos 是偶函数，故选B
（3）．若 a 与 b c - 都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的 ( C
) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解：a b a c ⋅=⋅⇔a b a c 0⋅⋅－＝⇔a b c 0⋅（－）＝⇔a b c ⊥（－），故选C
（4）．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，
各位数字之和为偶数的共有( A )
（A ）36个 （B ）24个 （C ）18个 （D ）6个
解：依题意，所选的三位数字只有一种情况：即一偶两奇，有123
233C C A ＝36，故选A
（5）．已知(3)4,1
()log ,
1a a x a x f x x x --⎧=⎨≥⎩＜，是（-∞，+∞）上的增函数，
那么a 的取值范围是( D )
（A ）(1，+∞) （B ）(-∞,3) (C) 3
[,3)5 (D) (1,3)
解：当1x ≥时，()log a f x x =单调递增，故1a >；
当1x <时， ()(31)4f x a x a =-+单调递增，故303;a a ->⇒<．
综上，则有：03a <<．故选Ｄ．
(6)．如果-1，a,b,c ,-9成等比数列，那么( B )
（A ）b =3,ac =9 (B)b =-3,ac =9
(C)b =3,ac =-9 (D)b =-3,ac =-9
解：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b ×b ＝9且b 与
奇数项的符号相同，故b ＝－3，选B
(7)．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．
的是( C ) （A ）若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面
（B ）若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线
(C) 若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC
(D) 若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC
解：A 显然正确；B 也正确，因为若AD 与BC 共面，则必有AC 与BD 共面与条件矛盾；
C 不正确，
D 正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明。

选C
(8)．下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，
单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车辆数如图所示，
图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段AB ⋂
, BC ⋂,CA ⋂
的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段
中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则( C )
（A ）x 1＞x 2＞x 3 （B ）x 1＞x 3＞x 2
（C ）x 2＞x 3＞x 1 （D ）x 3＞x 2＞x 1
解：依题意，有x 1＝50＋x 3－55＝x 3－5，∴x 1<x 3，
同理，x 2＝30＋x 1－20＝x 1＋10∴x 1<x 2，同理，
x 3＝30＋x 2－35＝x 2－5∴x 3<x 2故选C
第Ⅱ卷 (共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

（9）．若三点A (2，2)，B (a ,0),C (0,4)共线，则a 的值等于 4 。

解：AB ＝（a －2，－2），AC ＝（－2，2），依题意，向量 AB 与AC 共线，
故有2（a －2）－4＝0，得a ＝4
（10）．在7
2⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，x 3的系数是 84 .（用数字作答）
解：7721772()(2)r r r r r r r T C x C x x
--+=-=-，令7－2r ＝3，解得r ＝2， 故所求的系数为227(2)C -＝84
（11）．已知函数()43x
f x a a =-+的反函数的图象经过点（-1，2），
那么a 的值等于 2 .
解：依题意，当x ＝2时，y ＝-1，代入()43x f x a a =-+中，得a ＝2
（12）．已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),且a ±≠b ，那么a+b 与a-b 的
解：a+b ＝（cos α＋cos β，sin α＋sin β），a-b ＝（cos α－cos β，sin α－sin β），
设a+b 与a-b 的夹角为θ，则cos θ＝0，故θ＝2
π。

（13）．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ,b ,c .若sin A :sin B :sin C = 5∶7∶8,则a ∶b ∶c = 5:7:8 , ∠B
解：由正弦定理得 sin :sin :sin 5:7:8A B C =⇔a :b :c ＝5:7:8设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ，
由余弦定理可解得B ∠的大小为
3
π. (14)． 已知点P (x,y )的坐标满足条件4,,1,x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥
⎩点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值
等于
最大值等于
解：画出可行域，如图所示：易得A （2，2），
OA ＝
B （1，3），OB
C （1，1），OC
；
故|OP|
三、解答题： (本大题共6小,共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
(15)．（本小题共12分）已知函数f (x )=x
x cos 2sin 1-
x
(Ⅰ)．求f (x )的定义域；
(Ⅱ)．设α是第四象限的角，且tan α=34-
，求f (α)的值. 解：(Ⅰ)．由cos x ≠0得x ≠k π+2
π（k ∈Z ), 故f (x )的定义域为｛|x |x ≠k π+2
π,k ∈Z ｝. (Ⅱ)．因为tan α=3
4-,且α是第四象限的角, 所以sin α=5
4-,cos α=53, 故f(α)=ααcos 2sin 1- =12sin cos cos ααα
- =43125535
⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭ =15
49.
(16)．（本小题共13分）已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx
在点x 0处取得极大值5，其导函数f ’(x)的图象
经过点（1，0）、（2，0），如图所，求：
(Ⅰ)． x 0的值;
(Ⅱ)．a 、b 、c 的值.
解法一： (Ⅰ)．由图象可知，在(-∝,1)上f '(x )＞0,
在(1,2)上f '(x )＜0.在(2,+∝)上f ' (x )＞0.
故f (x )在(-∝,1),(2,+∝)上递增，在(1,2)上递减.
因此f (x )在x =1处取得极大值，所以x 0=1. (Ⅱ) ．f '(x )=3ax 2+2bx +c ,由f '(1)=0, f '(2)=0, f (1)=5,
得⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=++.5,0412,023c b a c b a c b a 解得a =2,b =－9,c =12.
解法二：(Ⅰ)．同解法一.
(Ⅱ)．设f '(x )=m (x -1)(x -2)=mx 2-3mx +2m ,
又f '(x )=3ax 2+2bx +c ,
所以a =
3m ,b =3,2,2
m c m -= f (x )=.22
3323mx mx x m +- 由f (l)=5, 即,52233=+-m m m 得m =6. 所以a =2,b =－9,c =12.
(17)．（本小题共14分）如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是正四棱柱。

(Ⅰ)．求证：BD ⊥平面ACC 1A 1；
(Ⅱ)．若二面角C 1-BD-C 的大小为60，
求异面直线BC 1与AC 所成角的大小。

解法一：(Ⅰ) ．1111ABCD A B C D -是正四棱柱，
1CC ∴⊥平面ABCD ，1BD CC ∴⊥．
ABCD 是正方形,BD AC ∴⊥. 111,,AC CC ACC A ⊂又平面 且1,AC CC C = ∴ BD ⊥平面ACC 1A 1 .
(Ⅱ)．设BD 与AC 相交于O,连接1.
C O 1CC ⊥平面ABCD,,B
D AC ⊥ 1,BD C O ∴⊥11C OC C BD C ∴∠--是二面角的平面角,160C OC ∴∠=. 连接1A B .11//A C AC ,111AC B BC AC ∴∠是与所成角.设BC=a,则有
126,tan 60,22CO CC CO a ==⋅=111110,2.2
A B BC a A C a === 在11A BC ∆中,由余弦定理得222111111111
5cos 2AC BC A B AC B AC BC +-∠==⋅, 115AC B ∴∠=∴异面直线BC 1与AC 所成角的大小为5
解法二：(Ⅰ)．建立空间直角坐标系D-xyz,如图.设AD=a,1DD b =, 则有D(0,0,0),A(a,0,0), B(a,a,0),C(0,a,0),1C (0,a,b),1(,,0),(,,0),(0,0,)BD a a AC a a CC b ∴=--=-=, 110,0,,.BD AC BD CC BD AC BD CC ∴⋅=⋅=∴⊥⊥
111,,AC CC ACC A ⊂又平面 且1,AC CC C = ∴BD ⊥平面ACC 1A 1 . (Ⅱ)． 设BD 与AC 相交于O,连接1.C O 则点O 坐标为1(,,0),(,,).2222a a a a OC b =-110,,BD OC BD OC ⋅=∴⊥又BD CO ⊥,
11C OC C BD C ∴∠--是二面角的平面角,160C OC ∴∠=
.
11tan CC C OC OC ∠===
b ∴=
. 1111(,,0),(,0,),cos ,||
||AC BC AC a a BC a b AC BC AC BC ⋅=-=-∴<>=
=⋅. ∴异面直线BC 1与AC 所成角的大小为
（18）．（本小题共13分）
某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，
且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：
(Ⅰ)．该应聘者用方案一考试通过的概率；
(Ⅱ)．该应聘者用方案二考试通过的概率.
解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B,C ，
则P (A )=0.5，P (B )＝0.6，P (C )=0.9.
(Ⅰ) ．应聘者用方案一考试通过的概率
p 1=P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )
=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9
=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.
(Ⅱ)． 应聘者用方案二考试通过的概率
p 2=
31P (A ·B )+31P (B ·C )+ 3
1P (A ·C ) =31×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9) =31×1.29=0.43
(19)．（本小题共14分）
椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点为F 1、F 2,点P 在椭圆C 上， 且PF 1⊥F 1F 2, 143PF =,2143PF =. (Ⅰ)．求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)．若直线l 过圆22420x y x y ++-=的圆心M,交椭圆C 于A 、B 两点，
且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程。

解法一： (Ⅰ)．因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3.
在Rt △PF 1F 2中，,52212221=-=
PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5, 从而b 2=a 2－c 2=4, 所以椭圆C 的方程为4
92
2y x +＝1. (Ⅱ)．设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）.
已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）.
从而可设直线l 的方程为 ： y =k (x +2)+1,
代入椭圆C 的方程得 ： （4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0. 因为A ，B 关于点M 对称.
所以.29491822221-=++-=+k
k k x x 解得98=k ，所以直线l 的方程为,1)2(9
8++=x y 即8x -9y +25=0. (经检验，所求直线方程符合题意)
解法二： (Ⅰ)．同解法一.
(Ⅱ)．已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且
,14
92121=+y x ① ,1492222=+y x ②
由①－②得
.04))((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x ③
因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2, 代入③得2121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为9
8， 所以直线l 的方程为y －1＝9
8（x+2）， 即8x －9y +25=0. (经检验，所求直线方程符合题意.)
（20）．（本小题共14分）
设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n .
(Ⅰ)．若a 11=0,S 14=98,求数列｛a n ｝的通项公式；
(Ⅱ)．若a 1≥6，a 11＞0，S 14≤77，求所有可能的数列｛a n ｝的通项公式.
解：（Ⅰ）．由S 14=98得2a 1+13d =14,又a 11=a 1+10d =0,故解得d =－2,a 1=20.
因此，{a n }的通项公式是a n =22－2n ,n =1,2,3…
（Ⅱ）．由1411177,0,6S a a ≤⎧⎪>⎨⎪≥⎩得11121311,100,6a d a d a +≤⎧⎪+>⎨⎪≥⎩即11121311,2200,212.a d a d a +≤⎧⎪--<⎨⎪-≤-⎩
由①+②得－7d ＜11，即d ＞－
7
11， 由①+③得13d ≤－1，即d ≤－13
1。

于是－711＜d ≤－131 又d ∈Z ,故d =－1 ④ 将④代入①②得10＜a 1≤12.又a 1∈Z ,故a 1=11或a 1=12.
所以，所有可能的数列{a n }的通项公式是
a n =12-n 和a n =13-n ,n =1,2,3,…．
录入：湖南省示范性（重点）高中
洞口一中 曾维勇
时间：２００６．６．１８．。