数学最后冲刺浓缩精华卷5(山东版理)

本试卷分
第Ⅰ卷（选择题)和第II 卷(非选择题）两部分,共21小题，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目求的）． 1．【陕西省汉中市2017届高三4月模拟】已知集合
{}2{|320},30A x x x B x x =-+<=-,则A B ⋂=
( ）
A. ()2,3
B. ()1,3
C. ()1,2 D 。

(),3-∞ 【答案】C
2．【湖南省娄底市2017届高考仿真模拟二】若复数z 满足()i 11i z -=+(i 为虚数单位），则z =( ） A 。

2i -
B 。

2i +
C 。

12i -
D 。

12i +
【答案】A
【解析】由已知得iz=1+2i ,所以12i 2z i i
+==-，选A.
3．【湖北省六校联合体2017届高三4月联考】已知函数
()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2
πϕ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象
（ ）
A. 关于点,012π
⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 B 。

关于轴512
x π=-对称
C. 可由函数()f x 的图象向右平移6
π个单位得到
D. 可由函数()f x 的图象向左平移3
π个单位得到
【答案】B
4．【安徽省淮北市第一中学2017届高三下学期二练】已知向量
()
()1,3,3,a b m ==。

若向量,a b
的夹角为6
π,则实数m 等于（ ）
A 。

3
B 。

3
C 。

0 D.
3-【答案】B
【解析】由题意可得2
33m 3
cos 629a b a b
m
π
⋅+=
=
=+,解得3m = B.
5．【2017届山西太原市高三上期中】关于x 的不等式12x x m -++≥在R 上恒成立,则实数m 的取值范围为( ）
A.()1,+∞
B.(],1-∞
C.()3,+∞
D.(],3-∞ 【答案】D 【解析】
试题分析：()
min
1212x x m x x m -++≥⇔-++≥,由绝对值的几何意义可知
12x x -++表示数轴上的点到1和2-的距离之和，其最小值为3，所以3m ≤,即实数m 的取值范围为(],3-∞，故选D 。

6．【2017届湖南省衡阳市高三上期末】已知实数满足210{
2
10
x y x x y -+><+->,若
221z x y =--，则z 的取值范围为（
）
A.
5,53⎛⎫
- ⎪⎝⎭
B.
5,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
C 。

[]0,5 D.
5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【答案】A
【解析】
画出可行域如图所示，平移直线
()1
212
y x =
- ,当直线经过点()2,1A - 时目标函数221z x y =-- 取得最大值
()max 222115z =⨯-⨯--=
,当直线经过点12,33B ⎛⎫
⎪⎝⎭
时目标函数221z x y =-- 取得
最小值min
125
221333
z
=⨯-⨯-=- ，即z 的取值范围为5,53
⎛⎫
-
⎪⎝⎭。

7．【福建省2017届4月检测】已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5,7,2AB BC AC ===，则此三棱锥的外接球的体积为(
)
A.
8
3
π B 。

82
3
π C.
163
π D 。

323
π 【答案】B
8．【2017届重庆市第一中学一诊】若随机变量,则有如下
结论
,一班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态
分布，平均分，方差为，理论上说在分到分之间的人数约为（ )
A. B 。

C 。

D 。

【答案】C
9．【陕西省汉中市2017届4月模拟】已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A ，B 是切点，C 是圆心,那么四边形PACB 面积的最小值是 （ ）
A. 2 B 。

2 C 。

3 D. 32
【答案】A
【解析】
由题设可知圆心和半径分别为()1,1,1C r =，结合图形可知四边形PACB 的面积222211PCA
S S
PA r PC r PC ∆==⋅=-=-所以当PC 最小时， S 最小,而min PC
就是圆心()1,1C 到直线3480x y ++=的距离，所以min
31418
3916
PC ⨯+⨯+=
=+,所以四
边形PACB 的面积的最小值是2min
min 122S
PC =-=,应选答案A.
10．【辽宁省鞍山市2017届高三下学期一模】已知定义域在R 上的函数()f x 满足()()112f x f x ++-=.当1x >时, ()11
f x x =-。

则关于x 的方程
()20f x a +=没有负实根时实数a 的取值范围是（
）
A 。

(]1,1,2
⋃⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣
⎭
B 。

()0,1 C.
111,,22⋃⎛⎫⎛⎫
---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D 。

112,,022⋃⎛
⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】A
第II
卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分)．
11．【河北省石家庄市2017届一模】程序框图如图所示,若输入0s =,
10n =, 0i =，则输出的s 为__________．
【答案】1024
【解析】由程序框图的功能知，该程序执行的是
01210
101010101021024C C C C +++
+==．
12．【2017届重庆市第一中学一诊】高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个,设，用表示不超过的最大整数，并用表示的非负纯小数，
则
称为高斯函数，已知数列满足：
,则
__________．
【答案】
【解析】 试题分析：
,
，
，… 可归纳:
当为奇数时，
；当为偶数时
,，故答案为.
13．【辽宁省鞍山市2017届高三下学期一模】给出下列四个命题：①“若5x y +≠，则2x ≠或3y ≠”是假命题；②已知在ABC 中,“A B <”是
“sin sin A B <”成立的充要条件；③若函数()()314{
log a a x a f x x
-+= ()
(1)
1x x <≥，对任
意的12x
x ≠都有
()()2121
f x f x x x --＜0，则实数a 的取值范围是1,17⎛⎫
⎪⎝⎭
；
④若实数x , []1,1y ∈-，则满足221x y +≥的概率为14
π
-。

其中正确的命题的序号是
__________（请把正确命题的序号填在横线上）． 【答案】②④
14．【重庆市2017届高三4月调研】设函数
()22log ,1
2{142
,1333
x x f x x x x ⎛⎫
-≤- ⎪⎝⎭=-++>-，若()f x 在区间[],4m 上的值域为[]1,2-，则实数m 的取值范围为__________． 【答案】[]8,1--
【解析】由题意，可以考虑采用数形结合法,作出函数()f x 的图象，当1x ≤-时，函数()2log
2x f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
单调递减，且最小值为()11f -=-，则令
2log 22x ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭,解得8x =-，当1x >-时，函数()2142333f x x x =-++在()12-，上单调递
增，在[)2+∞，上单调递减，则最大值为2，且()2423f =<， ()1
13
f -=,综上
得所求实数m 的取值为[]81--，.
15．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017届高三一模】已知抛物线
2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线切于,32
p M ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，且AOB ∆的面积为13,则抛
物线C 的方程为________ 【答案】2
4y
x =
三、解
答题（本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程）
16.（本小题满分12分）
【陕西省黄陵中学2017届高三4月月考】已知函数
()()2sin 22cos 16f x x x x R π⎛
⎫=-+-∈ ⎪⎝
⎭。

(1)求()f x 的单调递增区间;
（2）在ABC ∆中，三内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知()12
f A =,
b a
c 、、成等差数列，且9AB AC ⋅=，求a 的值。

【答案】（1）(),3
6
k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
；(2）32。

(2）
()1sin 262f A A π⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭， 0A π<<, 22666A ππππ<+≤+
，
于是526
6
A ππ+=,故3
A π=.
由b a c 、、成等差数列得： 2a b c =+，
由9AB AC ⋅=得： 1
cos 9,9,182
bc A bc bc ===,
由余弦定理得：
()2
2222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，
于是， 222454,18,32a a a a =-==.
17. （本小题满分12分）
【2017届淮北市高三二模】如图，三棱柱11
1
ABC A B C -中，四边形1
1
AA BB 是
菱形，
,二面角11
C A B B --为6
π,
1CB =.
(Ⅰ）求证：平面1
ACB ⊥平面1
CBA ；
（Ⅱ)求二面角1
A A C
B --的余弦值。

【答案】（1)见解析(2)1cos 4
AEO ∠=
取11
A B
得中点为D,连CD ，BD ， 则11
BD A B ⊥，又11
CB A B ⊥
易得11
CD A B ⊥，则CDB ∠为二面角11
C A B B --的平面角，
因1BC =, CDB ∠=
6
π
，所以3BD =
所以11
112A B
BB A B ===
过1
1
,AB A B 交点O 作1
OE A C ⊥,垂足为E ,连AE
则AEO ∠为二面角1
A A C
B --的平面角，
又5
,35
OE AO =
= 得4
55
AE =
所以1cos 4
AEO ∠=
另：建系用向量法相应给分。

18.（本小题满分12分）
【天津市十二重点中学2017届高三联考一】已知等比数列{}n a 的公比1q >，且1
3
20a a
+=, 28a =．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ)设n
n
n b
a =
，
n S 是数列{}n b 的前
n 项和，对任意正整数n 不等式
()1
12
n
n n n S a ++
>-⋅恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12n n
a
+=；（Ⅱ） 13,24⎛⎫
-
⎪⎝
⎭．
19.（本小题满分12分）
【河北省唐山市2017届二模】某仪器经过检验合格才能出厂，初检：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其合格率为3
4
.每台仪器进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为4
5
各项费用如表：
项目生产成本检验费/次调试费出厂价
金额（元）10001002003000
（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；
(Ⅱ）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；
（Ⅲ)假设每台仪器是否合格相互独立，记X 为生产两台仪器所获得的利润,求X 的分布列和数学期望．
【答案】（Ⅰ）1920
；(Ⅱ）15
；（Ⅲ)见解析。

（Ⅲ）
X
可取3800, 3500, 3200， 500， 200， 2800-．
()33938004416P X ==⨯=， ()1213335005410P X C ==⨯⨯=， ()2
113200525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，
()1
2311350044540P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭, ()12111120054550
P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯=
⎪⎝⎭， ()2
111280045400P X ⎛⎫
=-=⨯=
⎪⎝⎭
． X
的分布列为：
X 3800
3500
3200
500
200
2800-
P
916
310
125
340
150
1400
()()931311380035003200500200280033501610254050400
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=． 20.（本小题满分13分）
【湖南省娄底市2017届高考仿真模拟二】已知椭圆E ：
22
221x y a b
+=（0a b >>)的离心率为23
, 1
F 、2
F 分别是它的左、右焦点，且存在直线l ，使1
F 、2
F 关于l 的对称点恰好是圆C ：
22242540x y mx my m +--+-=（R m ∈,
0m ≠）的一条直径的四个端点.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线l 与抛物线2
2y
px =（0p >）相交于A 、B 两点，射线1F A 、1F B
与椭圆E 分别相交于点M 、N 。

试探究：是否存在数集D ，当且仅当p D ∈时，总存在m ，使点1
F 在以线段MN 为直径的圆内？若存在,求出数集D ；
若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ)22
195
x y +=;
（Ⅱ）见解析。

注意到1F M 与1F A 同向，
1F N 与1F B 同向,所以
点1
F 在以线段MN 为直径的圆内110F M F N ⇔⋅< 110F A F B ⇔⋅<
()()1212220x x y y ⇔+++< ()12121224x x x x y y ⇔++++ ()2
2501024
m p m <⇔
+- ()440p ++<，②
当且仅当()2
1002p ='∆-
()10040p -+>即5p >时,总存在m ，使②成立.
又当5p >时,由韦达定理知方程()2
251024
m
p m +-+ ()440p +=的两根均为正
数，故使②成立的0m >，从而满足①.
故存在数集()5,D =+∞，当且仅当p D ∈时,总存在m ，使点1
F 在以线段MN 为
直径的圆内。

21.（本小题满分14分)
【辽宁省鞍山市2017届高三下学期一模】已知函数()()2ln 1f x x ax =++,其中a R ∈
（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线与直线10x y +-=垂直,求a 的值； （Ⅱ)讨论函数()f x 极值点的个数,并说明理由； （Ⅲ)若0x ∀>， ()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

【答案】（1)14
a =；(2）当0a <时，函数()f x 有一个极值点；当02a ≤≤时,
函数()f x 无极值点;当2a >时,函数()f x 有两个极值点;（3)[)0,+∞.
所以
当()11,x x ∈时， ()0g x >， ()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时, ()0g x <， ()0f x '>，函数()f x 单调递减；
当()2,x x ∈+∞时， ()0g x >, ()0f x '>，函数()f x 单调递增。

因此函数()f x 有
两个极值点。

（iii ）当0a <时，
0∆>，由()()1010g g -==>，可得11x <-， 20x >
当()21,x x ∈-时， ()0g x >， ()0f x '>，函数()f x 单调递增;
当()2,x x ∈+∞时， ()0g x <， ()0f x '<,函数()f x 单调递减，所以函数有一个极值点.
综上所述，当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当02a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当2a >时,函数()f x 有两个极值点. （Ⅲ)由（Ⅱ）知，
①当02
≤≤时，函数()
a
x∈+∞时，
0,
0,+∞单调递增，因为()00
f=，所以()
f x在()
()0
f x>，符。