第八节以2l为周期的函数的傅立叶级数

f (x) 4 (1)n1 sin n x
n1 n
2
(0 x 2)
(2) 将 作偶周期延拓, 则有
y
a0

2 2
2
0 x
dx
o2
x
an

2 2
2 x cos n x d x
0
2
2 x sin n x 2 2 cos n x 2
i n x
f (x) e l dx
l
(n 1, 2, )
因此得 傅里叶级数的复数形式:
i 2n x
f (x) cne T
n
cn

1 2l
l
i 2n x
f (x)e T d x
l
(n 0, 1, 2,)
例4. 把宽为 ,高为 h ,周期为 T 的矩形波展成复数形
f
(x)

a0 2

n 1
an
2
i bn
2


c0
a0


an i bn
ei
n l
x
2 n1 2

an
i bn 2
ei
n x l

cn cn
注意到 c0
a0 2
1 l
2l l
f (x) dx
cn

an
i bn 2

2
8
o2
x
二、傅里叶级数的复数形式
设 f (x)是周期为 2 l 的周期函数 , 则
f
(x)

a0 2


an
n1
cos n
l
x
bn
sin n
l
x

cos n
x

1
ei
n l
x

ei
n l
x

利用欧拉公式
l2
sin n
x


i
ei
n l
x

ei
n l
x

l2
f (x) a0 2
(x 间断点)
其中
1 l
l
l
f
(x) cos
n
l
xd
x
1 l
l
l
f
( x) sin
n
l
xd
x
(n 0,1,) (n 1, 2,)
当f (x)为奇(偶)函数时, 为正弦(余弦) 级数.
思考与练习
1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其 图形?

f (x)sin n x d x
l
(n 1, 2,)
如果 f (x) 为偶函数, 则有
(在 f (x) 的连续点处)
其中 an
f (x) cos n x d x
l
(n 0, 1, 2,)
注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数
收敛于
例1. 把
答: 易看出奇偶性及间断点, 从而便于计算系数和写出 收敛域 .
式的傅里叶级数 .
y
解: 在一个周期
h
内矩形波的函数表达式为

T 22来自o2T 2
x
它的复数形式的傅里叶系数为
c0

1 T
T
2

T 2
u(t) d t
h
T
1
T
2
2
i 2n t
u(t) e T
dt
1 T

i 2n t
2 he T dt

2

h T

T
n
2 n
20


4
n2
2

(1)n
1


f
(x)

x
1
8
2


k 1(2k
1 1) 2
cos
(2k
1) x 2 (0

x

2
)
f
(x)

x

1

8
2


k 1(2k
1 1) 2
cos
(2k
1)
2
x
(0 x2)
说明: 此式对
也成立,
y
据此有
1 k 1(2k 1)2
其中
(在 f (x) 的连续点处)
an
1 l
l f (x) cos n x d x
l
l
(n 0, 1, 2,)
bn

1 l
l f (x)sin n x d x
l
l
(n 1, 2,)
说明: 如果 f (x) 为奇函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处)
其中 bn
2n
i
i
e
2n
T
t


2

2

h
n

1 2i

e
i
n
T

i n
e T

h sin n n T
( n 1, 2 , )
u(t) h h

1
sin
n

i
e
2n t
T
T n n
T
n0
内容小结
1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式

1 2

1 l
l
l
f
(x) cos n
l
xd
x
i l
l
l
f
( x) sin
n
l
xdx


1 2l
l
l
f
(x)
cos n
l
x
i
sin n
l
x
d x
1
l
i n x
f (x) e l dx
(n 1, 2,)
同理
2l l
cn

an
bn 2

1 2l
l
第八节 一般周期的函数的傅里叶级数
一、以2 l 为周期的函数的 傅里叶展开
二、傅里叶级数的复数形式
一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开
周期为 2l 函数 f (x)
变量代换 z x
l
周期为 2 函数 F(z) 将F(z) 作傅氏展开
f (x) 的傅氏展开式
定理. 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为
展开成
(1) 正弦级数;
(2)
余弦级数.
在 x = 2 k 处级 数收敛于何值?
解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有
y
bn

2 2
2
0 x

sin
n
2
x
d
x
o2
x
2 x cos n x 2 2 sin n x 2
n
2 n
20
4 cos n n