高三数学上学期第四次月考试题 文 试题

卜人入州八九几市潮王学校宁夏兴庆区长庆高级2021届高三数学上学期第四次月考试
题文
本卷须知
第一卷〔一共60分〕
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．
1. 假设集合{}21≤≤-=x x A ，{}
1log 3≤=x x B ，那么=B A ()
A.
{}21≤≤-x x B.{}20≤<x x C.{}21≤≤x x
D.
{}21>-≤x x x 或
2.假设角θ满足0sin <θ
,0tan <θ,那么角θ是〔〕
A.第三象限角
B.第四象限角
C.第三象限角或者第四象限角
D.第二象限角或者第四象限角
3.向量a ，b 的夹角为ο
601=2=，那么=+a 3()
A.
5B.17
C.
19
D.
21
4.等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且16102=+a a ，118
=a ，那么=7S ()
A.56
B.42
C.35
D.30
5.某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)， 那么该几何体的外表积为()
A ． π1492+
B ．π1482+
C ．π2492+
D ．π2482+ 6.直线m x y +-=是曲线x x y ln 32-=的一条切线，那么m 的值是〔〕
A ．0
B ．3
C ．1
D ．2
7.数列
{}n a 满足递推关系：11+=
+n n n a a a ，2
1
1=a ,那么=2020a 〔〕 A.
20191 B.20201 C.20211 D.2022
1
8.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： (1)BM 与ED 平行；(2)CN 与BE 是异面直线； (3)CN 与BM 成ο
60；(4)CN 与AF 垂直．
)
A ．(3)(4)
B ．(2)(4)
C ．(3)
D ．(1)(2)(3)
9.实数x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≥+-020101y x y x y x ，那么y x z +=2的最小值为〔〕
A.0B.5- C.2D.1 10.在三棱锥ABC P -
中，AC AB PA ==，PAC BAC ∠=∠，点D ，E 分别为棱BC ，PC 的
中点，那么以下结论正确的选项是〔〕 A.AD DE
⊥
B.PA DE ⊥
C.AB DE ⊥
D.AC DE ⊥ 11.在ABC ∆中a ，b ，c 分别为内角
A ，
B ，
C 所对的边，假设()42
2+-=b a c ，3
π
=
C ，那么
ABC ∆的面积是〔〕
A ．
2
3
B ．3
C ．3
D ．32 12．定义在R 上的函数
()x f 满足()()x f x f -=-4，且当11≤≤-x 时，()12+--=x x f ，那么
()=2019f 〔〕
A ．41-
B ．4
1 C ．4- D ．4
第二卷〔一共90分〕
二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。

13. 设函数()x f 满足()()()1132
f x f x x f -'+=，那么()='1f ___________．
14. 正方体的内切球与外接球的半径之比为___________． 15. 向量()11，=a
，()23，-=b ，假设b a k 2-与a 垂直，那么实数=k __________．
16. 在数列{}n a 中，其前n 项和为32+=n
n S ，那么
n a =__________．
三、解答题：一共70分。

解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题。

第22、23题为选考题，考生根据要求答题。

〔一〕必考题：一共60分
17. 〔此题12分〕在ABC ∆中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，假设10=a ，角B 是最小
的内角，且A b B a c
cos 3sin 43+=．
〔1〕求B sin 的值；〔2〕假设14=c
，求b 的值．
18. 〔此题12分〕如图(a)，在直角梯形ABCD 中，ο
90=∠ADC ，CD ∥AB ，4=AB ，
2==CD AD ，将ADC ∆沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体ABC D -，如图(b)
所示．
（1）求证：BC ⊥平面ADC ；
〔2〕求几何体ABC D -
的体积．
19. 〔此题12分〕如图，在五面体ABCDEF 中，侧面ABCD 是正方形，ABE ∆是等腰直角三角形，
点O 是正方形
ABCD 对角线的交点，EB EA =,62==EF AD 且EF ∥AD .
〔1〕证明：OF ∥平面ABE ；
〔2〕假设侧面
ABCD 与底面ABE 垂直，求五面体ABCDEF 的体积。

20. 〔此题12分〕设数列
{}n a 的前n 项和为n S ，11=a 且()n n n S S S a ，21-=+，()n b ，2=，
a ∥
b ．
21. 〔1〕求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n S n 为等比数列； 22. 〔2〕求数列{}n S 的前n 项和n T ．
23. 〔此题12分〕函数()()x x a x f ln -=(e 是自然对数的底数)．
〔1〕假设函数
()x f 在()∞+，0上单调递减，求a 的取值范围；
〔2〕当
1=a 时，记()()
x
e x
f x x
g '=，其中
()x f '为()x f 的导函数；证明：对任意0>x ，
()21-+<e x g ．
〔二〕选考题：一共10分．请考生在第22、23题中任选一题答题。

假设多做，那么按所做的第一题计分．
24. 〔此题10分〕[选修4-4:极坐标与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 22221〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
θ
θρ222cos 3sin 412
+=
，直线l 与曲线C 交于
B A ，两点．
〔1〕求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； 〔2〕求
AB ．
25. 〔此题10分〕[选修5-4:不等式选讲]
函数
()212++-=x x x f .
〔1〕求不等式()4≥x f 的解集；
〔2〕设函数
()x f 的最小值为M ，假设不等式M
m x x ≤++22有解，务实数m 的取值范围.
BBCCADCADDCD
13.-11 5.-116.
()
()
1
51
{
22 n n
n
a
n
-
=
=
≥
17.解：〔Ⅰ〕由且，
由正弦定理得：，
即，
由于，整理可得，
又，所以．
〔Ⅱ〕因为角是最小的内角，所以，
又由〔Ⅰ〕知，所以，
由余弦定理得，即．18.(1)证明在图中，可得AC＝BC＝2，
从而AC2＋BC2＝AB2，
故AC⊥BC，
又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥平面ACD.
(2)解由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，
∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，
由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为.
19.证明：取AB中点M，连OM,EM,
因为EF//BC,EF=1
2
BC,且侧面ABCD是正方形，所以EF//OM,EF=OM.所以四边形EFOM是平行四边形，所以OF//EM,
又EM⊂平面ABE，OF⊄平面ABE，所以0F//平面ABE.......5分(2)取AD的中点G,BC的中点H,连接GH,FG,FH。

AD ⊥AB ,所以AD ⊥底面ABE .那么EF =3,AE =BE =3
2,3232
3272
ABE GHF V -⨯=
⨯= 因为M 为AB 中点，EA =EB ,所以EM ⊥AB ,EM ⊥底面ABCD ，从而FO ⊥平面ABC 又FO =EM =3,那么1
633183
F CDGH V -=⨯⨯= 所以271845ABCDFE
V =+=五面体...........12分.
20.证明
,
, ,,
数列是以1为首项,以2为公比的等比数列 解：由
可知,
,
,
,
由错位相减得
,
．
21.解：〔1〕由
()()ln f x a x x =-得,ln ()a x x x f x x --'=
,由ln ()0a x x x
f x x
--'=≤得
ln x x x a +≥.令()ln x x x x ϕ=+,那么()2ln x x ϕ'=+令'()0x ϕ=的2x e -=,当2(0,)
x e -∈时,'()0x ϕ<,()x ϕ递减;当2
(,)x e -∈+∞时,'()0x ϕ>,()x ϕ递增.22min ()()x e e ϕϕ--==-那
么a 的取值范围取值范围是2(,]e -∞-
〔2〕当1a =时,1ln ()x
x x x
g x e --=
,令()1ln (0)h x x x x x
=-->,所以()ln 2h x x =--'令
()0h x '=得2x e -=.因此当2(0,)x e -∈时,()0h x '>,()h x 单调递增;当2(,)
x e -∈+∞
时,()0h x '<,()h x 单调递减.22max ()()1h x h e e --==+.即21ln 1x x x e ---≤+又0
x >时,1x
e
>故221ln 1(1)x x x x e e e ----≤+<+),那么
21ln 1x
x x x
e e
---<+,即对任意0x >,2
()1g x e -<+
22.解：〔Ⅰ〕由直线l
的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩，消去参数，可得直线l 的方程为1y x =+，由曲线C 的极坐标方程
22
212
43sin cos ρθθ=
+，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，曲线C 的方程为22
143x y +=．
〔Ⅱ〕将122x y ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩〔t 参数〕，代入2243x y +=1
，得27180t --=， 设
AB 所对应的参数分别为12,t t
，那么
121218
77t t t t +=
⋅=-，
那么
12247AB t t =-==
．
23.解：〔1〕
()212
f x x x =-++，
①当1x ≥时，()()()2123f x x x x
=-++=，由
()4
f x ≥，解得
4
3x ≥
；
②当21x -<
<时，()()()2124f x x x x =--++=-+，由()4f x ≥，解得20x -<≤；
③当2x ≤-时，
()()()2123f x x x x
=---+=-，由
()4
f x ≥，解得2x ≤-.
综上0x ≤或者
43x ≥
.
所以不等式
()4f x ≥的解集是
403x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或. 〔2〕由〔1〕可知
()3,14,21
3,2x x f x x x x x ≥⎧⎪
=-+-<<⎨⎪-≤-⎩
，
所以函数
()
f x
在区间
(],1
-∞
单调递减，在区间
[)
1,+∞
上单调递增，
所以函数
()
f x
的最小值
()13
f=
.
由题意得
223
x x m
++≤有解，
所以
223
m x x
≤--+有解.
设
()()2
22314 g x x x x
=--+=-++
，
那么
()
max
4 g x=
.
所以
4 m≤.
故实数m的取值范围是
(],4
-∞
.。