高中数学 1.1 第一讲 相似三角形的判定及有关性质课件 新人教A版选修41

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∵BD平分∠ABC，BD⊥AD， ∴△ABM是等腰三角形． ∴AD＝DM.同理AE＝EN. ∴DE∥MN，即DE∥BC. (2)由(1)知EF∥NB，AE＝EN， ∴F是AB的中点，同理可证G是AC的中点．
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【例3】 证明梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两 底，并且等于两底和的一半．
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解析 (1)由AB＝BC知，l1，l2，l3截任一直线所得线段相 等，∴A、B、D正确，C不正确．
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(2)如图，过A作直线AM平行于A1C，过D作直线DN平行于 BC2，由AB∥CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD 的两个三等分点，且AB＝CD，可得四边形A1CC1A2，四边形 A2C1C2B为平行四边形，所以A1C∥A2C1∥C2B，所以AM∥A1C ∥A2C1∥C2B∥DN，因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝ C2D，由平行线等分线段定理知，A1C，A2C1，BC2把AD分成 四条线段的长度相等．
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【证明】 连接AF并延长交BC的延长线于G， ∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠GCF. 又∠AFD＝∠GFC，DF＝CF， ∴△ADF≌△GCF，∴AF＝FG. 又∵AE＝EB， ∴EF∥BG，且EF＝12BG.
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又CG＝AD，AD∥BC，∴BG＝BC＋CG＝BC＋AD. ∴EF∥AD∥BC, 且EF＝12(AD＋BC)．
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变式2 如图，从△ABC的顶点A向∠ABC，∠ACB的平分 线作垂线，垂足分别为D，E，连接DE，交AB于点F，交AC于 点G.
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求证：(1)DE∥BC； (2)F，G分别是AB，AC的中点．
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证明 (1)延长AD交BC的延长线于点M，延长AE交CB的延 长线于点N.
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
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一 平行线等分线段定理
课前预习目标
课堂互动探究
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课前预习目标
梳理知识 夯实基础
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学习目标 1.探索并理解平行线等分线段定理的证明过程． 2．能独立证明平行线等分线段定理的推论1、推论2. 3．能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问 题． 4．会用尺规作图法等分一条已知线段.
【证明】 ∵直线l1∥l2∥l3，AB＝BC， ∴A1B1＝B1C1. 又∵直线l2∥l3∥l4且BC＝CD， ∴B1C1＝C1D1. ∴A1B1＝B1C1＝C1D1.
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规律技巧 平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用 的过程中要注意，其所截线段的确定与对应，分析相等线段， 并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．
提示 点M不是EF的中点，它是BD的中点．由推论1可知 EM＝12AD，MF＝12BC，而AD≠BC，故EM≠MF.
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名师点拨 1.对平行线等分线段定理的理解 (1)定理中“平行线”是指平行线组，要求三条或三条以 上，且相邻两条平行线间的距离都相等． (2)用数学语言表达为：已知l1∥l2∥l3，l分别交l1，l2，l3于 A，B，C，l′分别交l1，l2，l3于A1，B1，C1，若AB＝BC，则 A1B1＝B1C1.如图所示．
已知：如图． AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF. 求证：EF∥AD∥BC，且EF＝12(AD＋BC)．
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【分析】 要证明EF∥BC，需要构造三角形，利用三角 形中位线定理，只要连接AF并延长交BC的延长线于G，显然 有EF为△ABG的中位线，则有EF∥BC，且EF＝ 12 BG＝ 12 (BC＋ CG)，比较知，只要AD＝CG即可．由图知，可证△ADF≌△ GCF.
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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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典例剖析 【例1】 已知：如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，l，l′分别交 l1，l2，l3，l4于A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，AB＝BC＝CD. 求证：A1B1＝B1C1＝C1D1.
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【分析】 由平行线等分线段定理可以证明A1B1＝B1C1， B1C1＝C1D1，从而得到结论．
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2．对两个推论的理解 (1)推论1，如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，DE∥ BC，交AC于E，过A作BC的平行线a，则a∥BC∥DE，由AD＝ DB知，AE＝EC，即E为AC的中点．
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(2)推论2，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中 点，即AE＝EB，EF∥BC交CD于F，则由AD∥EF∥BC，AE＝ EB知，DF＝FC.即F为CD的中点．
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3．等分已知线段 利用平行线等分线段定理可以把已知线段AB任意n等分， 其步骤如下： (1)过已知线段AB的一个端点A作射线AC； (2)在射线AC上，以适当的长度依次截取AA1＝A1A2＝A2A3 ＝…＝An－1An(其中n为题中要求AB的n等分)；
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(3)连接AnB； (4)分别过点A1，A2，…，An－1作AnB的平行线，交AB于 B1，B2，…，Bn－1，则B1，B2，…，Bn－1为线段AB的n等分点．
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线段相等 截得的线段也相等 答
平行 平分 案
平行 另一腰
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思考探究1 若一组平行线满足平行线等分线段定理的条 件，则这组平行线有什么特征？
提示 这组平行线间的距离相等．
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思考探究2 在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点， 且EF∥AD，连接BD交EF于点M，点M是EF的中点吗？
证明 过点E作EF∥BC，交DC于F，在梯形ABCD中，AD ∥BC，
∴AD∥EF∥BC.
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∵AE＝BE，∴DF＝CF. ∴F是DC的中点． ∵BC⊥DC，∴EF⊥DC. ∴EF是线段DC的垂直平分线． ∴EC＝ED.
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课前预习 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的__________，那么在 其他直线上__________． 推论1：经过三角形一边的中点且与另一边________的直 线必__________第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边________的直线 平分__________.
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【证明】 过D作DH∥BF交AC于H点，
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∵BD＝CD，DH∥BF， ∴FH＝CH. 同理：AF＝FH. ∴AF＝FH＝CH. ∴AF＝13AC.
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规律技巧 运用平行线等分线段定理的推论1证明或计算 要抓住三角形一腰的中点及过此中点且平行于第三边的直线这 一条件，有时需添加直线，构造平行线，再利用推论1去解决 问题．
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规律技巧 在证明文字表达的命题时，需写明：已知、求 证、画出图形，再给出证明．若需添加辅助线，需简述作辅助 线的过程．证明过程每一步要有根据．
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变式3 在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AE＝ BE(如图)．
求证：EC＝ED.
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变式1 (1)已知：如图，l1∥l2∥l3，那么下列结论中错误 的是( )
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A．由AB＝BC可得FG＝GH B．由AB＝BC可得CD＝DE C．由AB＝BC可得OB＝OG D．由CE＝2DC可得CA＝2B∥CD且AB＝CD，A1，A2为AB的 两个三等分点，C1，C2为CD的两个三等分点，连A1C，A2C1， BC2，则把AD分成四条线段的长度________(填“相等”或 “不相等”)．
答案 (1)C (2)相等
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【例2】 已知：如图，AD是三角形ABC的中线，E为AD 的中点，BE的延长线交AC于F.求证：AF＝13AC.
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【分析】 可利用平行线等分线段定理的推论1，添加过 三角形一边中点且平行于第三边的直线，确定F为AC的一个三 等分点．
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例 已知：线段AB， 求作：线段AB的五等分点． 作法：(1)作射线AC. (2)在射线AC上顺次截取AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5. (3)连接A5B.
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(4)过A4，A3，A2，A1分别作A5B的平行线A4B4，A3B3， A2B2，A1B1分别交AB于B4，B3，B2，B1，则B1，B2，B3，B4就 是线段AB的五等分点，如图所示．