匹配的概念(共41张PPT)
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的方法，使新的相等子图的最大匹配逐渐扩大，最后出现相等
子图的完备匹配。 这就是KM算法。
KM算法
(1) 选 定 初 始 可 行 顶 标 l， 在 G l上 选 取 一 个 初 始 匹 配 M 。
(2)
若
V
中
1
的
顶
皆
为
M
中
边
的
端
点
，
止
，
M
即
为
最
佳
匹
配
；
否
则
，
取
G
中
l
不
与
M
中
边
关
联
的
顶
u，
记
S
{u},T
Dt2≤ Du ； 在结点数少的一侧添加虚结点，使得X结点和Y结点的数目相等。
二分图。使用匈牙利算法求最大匹配数及匹 我们将所有同种颜色的格子组成X顶点集。
即同一颜色的任意两个格子间不存在边。 KM算法中，首先给二分图的每个顶点都设一个可行顶标，X结点i为li，Y结点j为rj。
配方案 设完备匹配X的所有匹配边的权值和为SX，则
例题：小狗散步
Grant喜欢带着他的小狗Pandog散步。Grant以一定的 速度沿着固定路线走，该路线可能自交。Pandog喜欢 游览沿途的景点，不过会在给定的N个点和主人相遇。 小狗和主人同时从点出发，并同时在点汇合。小狗的 速度最快是Grant的两倍。当主人从一个点以直线走向 另一个点时，Pandog跑向一个他感兴趣的景点。 Pandog每次与主人相遇之前最多只去一个景点。 已知n个定点的坐标和m个景点的坐标。你的任务是：为 Pandog寻找一条路线（有可能与主人的路线部分相同）， 使它能够游览最多的景点，并能够准时与主人在给定地 点相遇或者汇合。
G的 最 佳 匹 配 。
由于引入了权，所以最佳匹配不能直接套用最大匹配算法进行求 解。同时，由于对最佳匹配的定义是建立在完全加权二分图的基础上 的，对于不完全图，可以通过引入权为0（或是其他不影响最终结果 的值），使得二分图称为完全二分图，从而使用最佳匹配算法来解决。
KM算法前的准备
在介绍求最佳匹配的KM算法前，首先介绍一些相关的概 念：
1. 匹配的概念 2. 二分图的定义和判定 3. 二分图的最大匹配 4. 二分图的最小覆盖问题 5. 二分图的最佳匹配问题
1、匹配的概念(1)
定义1 设图GVG,EG，而 M是 EG的一个
子集，如果M中的任两条边均不邻接，则称 M是 G的 一个匹配。M中的一条边的两个端点叫做在 M下是配 对的。
若 匹 配 M 中 的 某 条 边 与 定 点 v 关 联 ， 则 称 M 饱 和 顶 点 v ， 并 称 v 是 两个非空的
互补顶点子集X和Y，若图G的一个匹配MEG能饱
和X中的每个顶点，换言之，X中的全部顶点和Y中的 一个子集的顶点之间确定一个一一对应关系，则称M 是图G的一个完备匹配。
二分图的定义
定义2 设图G(V,E)，若能把V分成两个集合V1和 V2，使得E中的每条边的两个端点，一个在V1中，另 一个在V2中，这样的图称为偶图，也叫二分图，或 是二部图。偶图也可表示为G(V1,V2;E)。
二分图的最大匹配
Edmonds于1965年提出了解决二分图的最大匹配的匈牙利算法：
(1) 从 G中 取 一 个 初 始 匹 配 M 。 (2) 若X中的顶皆为M中边的端点，止，M 即为完 备 匹 配 ； 否 则 ， 取 X 中 不 与 M 中 边 关 联 的 顶 u， 记 S {u},T 。
将顶点分成两类
由于“当主人从一个点以直线走向另一个点时，Pandog跑向一个他 感兴趣的景点”，并且主人的移动路线是确定的，所以寻找一条
路线可以看作确定在每一段路线上小狗的选择：或是跑向哪一个 景点，或是和主人的路线重合。因此图中的点被自然的分成了两 类：
1. 每一段路线 2. 景点
定义边
由于在一个线段上，小狗只能跑向一个景 点，所以景点是否可达，只和景点到线段两 端点的距离有关，而小狗的速度最快是主人 的两倍。由此得出线段的定义
定义 5 映射l:VGR满足xV1，yV2，成立 lxlywxy，则称 lv是偶图 G的可行顶标；令
El xy|xyEG,lxlywxy
称以El为边集的生成子图为“相等子图”，记做 Gl。
可以证明，Gl的完备匹配即为G的最佳匹配。 以此为基础，1955年Kuhn，1957年Munkres给出修改顶标
构造Gl，并求其最大匹配：（其流程过长，此处略）
流程(2)
其最终得到的最大匹配如图所示：
x1
x2
x3
x4
x5
y1
y2
y3
y4
y5
图中粗点划线构成最大匹配。
流程(3)
Gl中无完备匹配，故修改顶标。
由于u x4,S x4, x3, x1,T y3, y2，所以
al
min xS, yT
l x l y w xy
一个景点也只在第一次访问的时候才有意义， 满足了匹配的定义。
在证明这个定理的过程中，要用到Hall婚姻定理： 如果X结点i和Y结点j之间没有边，则添加一条权值为0的虚边(i,j)。
因此任何两项关联都不会有任何交点，这显 可以证明，Gl的完备匹配即为G的最佳匹配。
n为偶数，且i和j的奇偶性不同；
然满足了匹配的定义。两类顶点组成了一个 同理对于虚结点Yj，rj = 0。
棋盘定义在攻击关系上是一个二分图
在一张国际象棋的棋盘上，白格和黑格相交错，一匹马只能 从一个白格跳到一个黑格，或是从一个黑格跳到一个白格。 必要条件：一个位置上的马只能攻击和其所在位置颜色不同的 格子。即同一颜色的任意两个格子间不存在边。
棋盘格子按照颜色分成两个部分。
如果按照自上而下、由左而右的顺序给格子编号的话，在 所有未被拿走的格子（i,j）中(1≤i,j≤n，map[i,j]=true)，同 种颜色的格子必须满足如下条件：
都 有 SPS。
1931年König给出最大匹配与最小覆盖的关系定理如下：
在 偶 图 G 中 ， 若 M *是 最 大 匹 配 ， K *是 最 小 覆 盖 集 ， 则 M *＝ K *。
例题：国际象棋
一张大小为n*n的国际象棋棋盘，上面有一些 格子被拿走了，棋盘规模n不超过200。马的 攻击方向如下图，其中S处为马位置，标有X 的点为该马的攻击点。
对于顶点集V V1，用PV表示V2中所有和V相
连的顶点的集合。
定 义 3 如 果 偶 图 G 的 互 补 结 点 子 集 V 1 中 的 每 一 结 点 都 与 V 2 中 的 所 有 结 点 邻 接 ， 则 称 G 为 完 全 偶 图 。
二分图的判定
定 理 1 当 且 仅 当 无 向 图 G 的 每 一 个 回 路 的 次 数 均 为 偶 数 时 ， G 才 是 一 个 偶 图 。 如 果 无 回 路 ， 相 当 于 任 一 回 路 的 次 数 为 0,0视 为 偶 数 。
匹配的概念(2)
设 M是 图 G的 一 个 匹 配 ， 若 G中 存 在 一 条 基 本 路 径 R， 路 径 的 边 是 由 属 于 M的 匹 配 边 和 不 属 于 M的 非 匹 配 边 交 替 出 现 组 成 ， 则 称 R为 交 替 路 。 若 R的 两 个 端 点 都 是 M 的 非 饱 和 点 ， 则 称 这 条 交 替 路 为 可 增 广 路 。
1
修改后的顶标为：
x1 4, x2 2, x3 3, x4 0, x5 3; y1 0, y2 1, y3 1, y4 0, y5 0
流程(4)
根据新的顶标构造Gl ，并求其上的一个完全匹配 如图所示：
x1
x2
x3
x4
x5
y1
。
(3) 若 P S T , 转 (4 )； 若 P S T ， 取
al
m in
xS , yT
l x l y w xy
l v al,v S，
l
v
l
v
al
,
v
T
，
l
v
,
其它。
l l , G l G l。
(4) 选 P S T 中 的 一 点 y， 若 y是 M 中 边 的 端 点 ， 且 yz M ，
你的任务是确定在这个棋盘上放置尽可能多的马，并 使他们不互相攻击。
求最小覆盖集的图论问题
将棋盘的每一个格子作为一个顶点，两点间直 接可达（互可攻击）的关系作为边。则题目所 要求的就是在这样一张图中的寻找一个最大独 立子集（即顶点集合中的任意两顶点都不相邻、 且含顶点数最多）。由于对于任意一张图，其 最大独立子集和最小覆盖集互为补集︳最大独 立子集︳=n-︳最小覆盖集︳，所以本题也是一 个求最小覆盖集的图论问题。
则S S
{z},T T
{
y }，
转
( 3 )；
否
则
，
取
G
中
l
M
可
增
广
路
径 R u , y ， 令 M M E ( R )， 转 (2 )。
一个例题
某公司有工作人员x1,x2,…,xn ，他们去做
工作y1,y2,…,yn ，每个人都能做其中的几项工作， 并且对每一项工作都有一个固定的效率。问能否 找到一种合适的工作分配方案，使得总的效率最 高。要求一个人只能参与一项工作，同时一项工 作也必须由一个人独立完成。不要求所有的人都 有工作。
但是，如果问题可以抽象成二分图的最小覆盖问题，结局就不 一样了。由于二分图的特殊性，二分图的最小覆盖问题存在多 项式算法。
二分图最大匹配与最小覆盖的关系
在证明这个定理的过程中，要用到Hall婚姻定理：
设 G是 一 个 偶 图 ， 顶 集 划 分 成 V1和 V2， G 中 存 在 对 于 V1的 完 备 匹 配 的 充 要 条 件 是 ， 对 于 一 切 SV1，
求二分图的最大匹配
由于一条线段只能和一个景点发生关联，而 Pandog每次与主人相遇之前最多只去一个景点。
那么显然树边的边权应该减小(或不变)，而非树边的边权则应该增大(或不变)。 由于一条线段只能和一个景点发生关联，而一个景点也只在第一次访问的时候才有意义，因此任何两项关联都不会有任何交点，这显然
(3) 若 P S T， 止 ， 无 完 备 匹 配 ， 否 则 ， 取 y P S T。
(4) 若 y是 M 中 边 的 端 点 ， 设 yz M ， 令 S S {z}, T T { y}， 转 (3)； 否 则 ， 取 可 增 广
路 径 R u , y ， 令 M M E ( R )， 转 (2)。
n为奇数，且(i-1)*n+j为奇数；
n为偶数，且i和j的奇偶性不同；
我们将所有同种颜色的格子组成X顶点集。显然X顶点集 中每个顶点跳后位置的颜色是不同的，其中未被拿走的 跳后位置组成Y顶点集。
通过二分图最大匹配计算问题解
二分图的最大匹配数与最小覆盖数之间存在着 对应的数量关系，而最大独立子集和最小覆盖 集互为补集，因此我们可以通过求二分图的最 大匹配数，
互不攻击情况下马的最多放置数目=未被拿 走的格子数-最多匹配数
二分图的最佳匹配问题
定 义 4 GV1,V2;E是 加 权 完 全 偶 图 ， V1x1,x2,...,xn，
V2y1,y2,...,yn， 权 wxiyj 0。 如 果 有 一 完 备 匹 配 M，
对 所 有 完 备 匹 配 M， 都 有 WMWM， 则 称 M为 偶 图
一个实例
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
X1
3
5
5
4
1
X2
2
2
0
若全2 工不人能参x完2
X3
2
4
4
与1 工作y，0
则w(x,y)=0
X4
0
1
1
0
0
X5
1
2
1
3
3
流程(1)
首先，选取可行顶标l(v)如下：
l y 0,i 1, 2,3, 4,5; l x1 m ax 3, 5, 5, 4 ,1 5, l x2 m ax 2,2,0,2,2 2, l x3 m ax 2, 4, 4,1,0 4, l x4 m ax 0,1,1,0,0 1, l x1 m ax 1, 2,1, 3, 3 3
Pandog喜欢游览沿途的景点，不过会在给定的N个点和主人相遇。 换一句话说，一般图的最小覆盖问题，是没有有效算法的图论模型。
图的最小覆盖问题
设D是图G的一个顶点子集，对于G的任一顶点u，要末u是D集合的一 个顶点元素，要末与D中的一个顶点相邻，那末D称为图G的一个覆 盖集。若在D集中去除任何元素D不再是覆盖集，则覆盖集D是极小 覆盖集。称G的所有覆盖集中顶点个数最少的覆盖集为最小覆盖集D0， 一般图的最小覆盖问题是一个已被证明的NPC问题。换一句话说，一 般图的最小覆盖问题，是没有有效算法的图论模型。所以，将一个实 际问题抽象成最小覆盖问题，是没有任何意义和价值的。
子图的完备匹配。 这就是KM算法。
KM算法
(1) 选 定 初 始 可 行 顶 标 l， 在 G l上 选 取 一 个 初 始 匹 配 M 。
(2)
若
V
中
1
的
顶
皆
为
M
中
边
的
端
点
，
止
，
M
即
为
最
佳
匹
配
；
否
则
，
取
G
中
l
不
与
M
中
边
关
联
的
顶
u，
记
S
{u},T
Dt2≤ Du ； 在结点数少的一侧添加虚结点，使得X结点和Y结点的数目相等。
二分图。使用匈牙利算法求最大匹配数及匹 我们将所有同种颜色的格子组成X顶点集。
即同一颜色的任意两个格子间不存在边。 KM算法中，首先给二分图的每个顶点都设一个可行顶标，X结点i为li，Y结点j为rj。
配方案 设完备匹配X的所有匹配边的权值和为SX，则
例题：小狗散步
Grant喜欢带着他的小狗Pandog散步。Grant以一定的 速度沿着固定路线走，该路线可能自交。Pandog喜欢 游览沿途的景点，不过会在给定的N个点和主人相遇。 小狗和主人同时从点出发，并同时在点汇合。小狗的 速度最快是Grant的两倍。当主人从一个点以直线走向 另一个点时，Pandog跑向一个他感兴趣的景点。 Pandog每次与主人相遇之前最多只去一个景点。 已知n个定点的坐标和m个景点的坐标。你的任务是：为 Pandog寻找一条路线（有可能与主人的路线部分相同）， 使它能够游览最多的景点，并能够准时与主人在给定地 点相遇或者汇合。
G的 最 佳 匹 配 。
由于引入了权，所以最佳匹配不能直接套用最大匹配算法进行求 解。同时，由于对最佳匹配的定义是建立在完全加权二分图的基础上 的，对于不完全图，可以通过引入权为0（或是其他不影响最终结果 的值），使得二分图称为完全二分图，从而使用最佳匹配算法来解决。
KM算法前的准备
在介绍求最佳匹配的KM算法前，首先介绍一些相关的概 念：
1. 匹配的概念 2. 二分图的定义和判定 3. 二分图的最大匹配 4. 二分图的最小覆盖问题 5. 二分图的最佳匹配问题
1、匹配的概念(1)
定义1 设图GVG,EG，而 M是 EG的一个
子集，如果M中的任两条边均不邻接，则称 M是 G的 一个匹配。M中的一条边的两个端点叫做在 M下是配 对的。
若 匹 配 M 中 的 某 条 边 与 定 点 v 关 联 ， 则 称 M 饱 和 顶 点 v ， 并 称 v 是 两个非空的
互补顶点子集X和Y，若图G的一个匹配MEG能饱
和X中的每个顶点，换言之，X中的全部顶点和Y中的 一个子集的顶点之间确定一个一一对应关系，则称M 是图G的一个完备匹配。
二分图的定义
定义2 设图G(V,E)，若能把V分成两个集合V1和 V2，使得E中的每条边的两个端点，一个在V1中，另 一个在V2中，这样的图称为偶图，也叫二分图，或 是二部图。偶图也可表示为G(V1,V2;E)。
二分图的最大匹配
Edmonds于1965年提出了解决二分图的最大匹配的匈牙利算法：
(1) 从 G中 取 一 个 初 始 匹 配 M 。 (2) 若X中的顶皆为M中边的端点，止，M 即为完 备 匹 配 ； 否 则 ， 取 X 中 不 与 M 中 边 关 联 的 顶 u， 记 S {u},T 。
将顶点分成两类
由于“当主人从一个点以直线走向另一个点时，Pandog跑向一个他 感兴趣的景点”，并且主人的移动路线是确定的，所以寻找一条
路线可以看作确定在每一段路线上小狗的选择：或是跑向哪一个 景点，或是和主人的路线重合。因此图中的点被自然的分成了两 类：
1. 每一段路线 2. 景点
定义边
由于在一个线段上，小狗只能跑向一个景 点，所以景点是否可达，只和景点到线段两 端点的距离有关，而小狗的速度最快是主人 的两倍。由此得出线段的定义
定义 5 映射l:VGR满足xV1，yV2，成立 lxlywxy，则称 lv是偶图 G的可行顶标；令
El xy|xyEG,lxlywxy
称以El为边集的生成子图为“相等子图”，记做 Gl。
可以证明，Gl的完备匹配即为G的最佳匹配。 以此为基础，1955年Kuhn，1957年Munkres给出修改顶标
构造Gl，并求其最大匹配：（其流程过长，此处略）
流程(2)
其最终得到的最大匹配如图所示：
x1
x2
x3
x4
x5
y1
y2
y3
y4
y5
图中粗点划线构成最大匹配。
流程(3)
Gl中无完备匹配，故修改顶标。
由于u x4,S x4, x3, x1,T y3, y2，所以
al
min xS, yT
l x l y w xy
一个景点也只在第一次访问的时候才有意义， 满足了匹配的定义。
在证明这个定理的过程中，要用到Hall婚姻定理： 如果X结点i和Y结点j之间没有边，则添加一条权值为0的虚边(i,j)。
因此任何两项关联都不会有任何交点，这显 可以证明，Gl的完备匹配即为G的最佳匹配。
n为偶数，且i和j的奇偶性不同；
然满足了匹配的定义。两类顶点组成了一个 同理对于虚结点Yj，rj = 0。
棋盘定义在攻击关系上是一个二分图
在一张国际象棋的棋盘上，白格和黑格相交错，一匹马只能 从一个白格跳到一个黑格，或是从一个黑格跳到一个白格。 必要条件：一个位置上的马只能攻击和其所在位置颜色不同的 格子。即同一颜色的任意两个格子间不存在边。
棋盘格子按照颜色分成两个部分。
如果按照自上而下、由左而右的顺序给格子编号的话，在 所有未被拿走的格子（i,j）中(1≤i,j≤n，map[i,j]=true)，同 种颜色的格子必须满足如下条件：
都 有 SPS。
1931年König给出最大匹配与最小覆盖的关系定理如下：
在 偶 图 G 中 ， 若 M *是 最 大 匹 配 ， K *是 最 小 覆 盖 集 ， 则 M *＝ K *。
例题：国际象棋
一张大小为n*n的国际象棋棋盘，上面有一些 格子被拿走了，棋盘规模n不超过200。马的 攻击方向如下图，其中S处为马位置，标有X 的点为该马的攻击点。
对于顶点集V V1，用PV表示V2中所有和V相
连的顶点的集合。
定 义 3 如 果 偶 图 G 的 互 补 结 点 子 集 V 1 中 的 每 一 结 点 都 与 V 2 中 的 所 有 结 点 邻 接 ， 则 称 G 为 完 全 偶 图 。
二分图的判定
定 理 1 当 且 仅 当 无 向 图 G 的 每 一 个 回 路 的 次 数 均 为 偶 数 时 ， G 才 是 一 个 偶 图 。 如 果 无 回 路 ， 相 当 于 任 一 回 路 的 次 数 为 0,0视 为 偶 数 。
匹配的概念(2)
设 M是 图 G的 一 个 匹 配 ， 若 G中 存 在 一 条 基 本 路 径 R， 路 径 的 边 是 由 属 于 M的 匹 配 边 和 不 属 于 M的 非 匹 配 边 交 替 出 现 组 成 ， 则 称 R为 交 替 路 。 若 R的 两 个 端 点 都 是 M 的 非 饱 和 点 ， 则 称 这 条 交 替 路 为 可 增 广 路 。
1
修改后的顶标为：
x1 4, x2 2, x3 3, x4 0, x5 3; y1 0, y2 1, y3 1, y4 0, y5 0
流程(4)
根据新的顶标构造Gl ，并求其上的一个完全匹配 如图所示：
x1
x2
x3
x4
x5
y1
。
(3) 若 P S T , 转 (4 )； 若 P S T ， 取
al
m in
xS , yT
l x l y w xy
l v al,v S，
l
v
l
v
al
,
v
T
，
l
v
,
其它。
l l , G l G l。
(4) 选 P S T 中 的 一 点 y， 若 y是 M 中 边 的 端 点 ， 且 yz M ，
你的任务是确定在这个棋盘上放置尽可能多的马，并 使他们不互相攻击。
求最小覆盖集的图论问题
将棋盘的每一个格子作为一个顶点，两点间直 接可达（互可攻击）的关系作为边。则题目所 要求的就是在这样一张图中的寻找一个最大独 立子集（即顶点集合中的任意两顶点都不相邻、 且含顶点数最多）。由于对于任意一张图，其 最大独立子集和最小覆盖集互为补集︳最大独 立子集︳=n-︳最小覆盖集︳，所以本题也是一 个求最小覆盖集的图论问题。
则S S
{z},T T
{
y }，
转
( 3 )；
否
则
，
取
G
中
l
M
可
增
广
路
径 R u , y ， 令 M M E ( R )， 转 (2 )。
一个例题
某公司有工作人员x1,x2,…,xn ，他们去做
工作y1,y2,…,yn ，每个人都能做其中的几项工作， 并且对每一项工作都有一个固定的效率。问能否 找到一种合适的工作分配方案，使得总的效率最 高。要求一个人只能参与一项工作，同时一项工 作也必须由一个人独立完成。不要求所有的人都 有工作。
但是，如果问题可以抽象成二分图的最小覆盖问题，结局就不 一样了。由于二分图的特殊性，二分图的最小覆盖问题存在多 项式算法。
二分图最大匹配与最小覆盖的关系
在证明这个定理的过程中，要用到Hall婚姻定理：
设 G是 一 个 偶 图 ， 顶 集 划 分 成 V1和 V2， G 中 存 在 对 于 V1的 完 备 匹 配 的 充 要 条 件 是 ， 对 于 一 切 SV1，
求二分图的最大匹配
由于一条线段只能和一个景点发生关联，而 Pandog每次与主人相遇之前最多只去一个景点。
那么显然树边的边权应该减小(或不变)，而非树边的边权则应该增大(或不变)。 由于一条线段只能和一个景点发生关联，而一个景点也只在第一次访问的时候才有意义，因此任何两项关联都不会有任何交点，这显然
(3) 若 P S T， 止 ， 无 完 备 匹 配 ， 否 则 ， 取 y P S T。
(4) 若 y是 M 中 边 的 端 点 ， 设 yz M ， 令 S S {z}, T T { y}， 转 (3)； 否 则 ， 取 可 增 广
路 径 R u , y ， 令 M M E ( R )， 转 (2)。
n为奇数，且(i-1)*n+j为奇数；
n为偶数，且i和j的奇偶性不同；
我们将所有同种颜色的格子组成X顶点集。显然X顶点集 中每个顶点跳后位置的颜色是不同的，其中未被拿走的 跳后位置组成Y顶点集。
通过二分图最大匹配计算问题解
二分图的最大匹配数与最小覆盖数之间存在着 对应的数量关系，而最大独立子集和最小覆盖 集互为补集，因此我们可以通过求二分图的最 大匹配数，
互不攻击情况下马的最多放置数目=未被拿 走的格子数-最多匹配数
二分图的最佳匹配问题
定 义 4 GV1,V2;E是 加 权 完 全 偶 图 ， V1x1,x2,...,xn，
V2y1,y2,...,yn， 权 wxiyj 0。 如 果 有 一 完 备 匹 配 M，
对 所 有 完 备 匹 配 M， 都 有 WMWM， 则 称 M为 偶 图
一个实例
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
X1
3
5
5
4
1
X2
2
2
0
若全2 工不人能参x完2
X3
2
4
4
与1 工作y，0
则w(x,y)=0
X4
0
1
1
0
0
X5
1
2
1
3
3
流程(1)
首先，选取可行顶标l(v)如下：
l y 0,i 1, 2,3, 4,5; l x1 m ax 3, 5, 5, 4 ,1 5, l x2 m ax 2,2,0,2,2 2, l x3 m ax 2, 4, 4,1,0 4, l x4 m ax 0,1,1,0,0 1, l x1 m ax 1, 2,1, 3, 3 3
Pandog喜欢游览沿途的景点，不过会在给定的N个点和主人相遇。 换一句话说，一般图的最小覆盖问题，是没有有效算法的图论模型。
图的最小覆盖问题
设D是图G的一个顶点子集，对于G的任一顶点u，要末u是D集合的一 个顶点元素，要末与D中的一个顶点相邻，那末D称为图G的一个覆 盖集。若在D集中去除任何元素D不再是覆盖集，则覆盖集D是极小 覆盖集。称G的所有覆盖集中顶点个数最少的覆盖集为最小覆盖集D0， 一般图的最小覆盖问题是一个已被证明的NPC问题。换一句话说，一 般图的最小覆盖问题，是没有有效算法的图论模型。所以，将一个实 际问题抽象成最小覆盖问题，是没有任何意义和价值的。