甘肃省白银市靖远县2022高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)

甘肃省白银市靖远县2022高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符01合题目要求的．
1.已知集合{|91}A x x =-<≤，{|73}B x x =-<<，则A B =
A. {|73}x x -<<
B. {|93}x x -<<
C. {|91}x x -<≤
D. {|71}x x -<≤
【答案】D 【解析】 【分析】
利用集合交集的概念，直接求得两个集合的交集.
【详解】两个集合的交集是由两个集合公共的元素构成，故(]
7,1A B ⋂=-，故选D. 【点睛】本小题考查集合交集的概念，求解时要注意区间端点值是否能够取得，属于基础题. 2.设21i i 55z ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭，则z =（ ） A. 55
B. 25
5
C. 15
D. 125
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数乘法运算化简z ，再由复数几何意义即可求得z . 【详解】2155z i i ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭ 12
55
i =+， 由复数模的求法可得2
2
125555z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
． 故选:A.
【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数模的求法，属于基础题.
3.以圆M ：22
460x y x y ++-=的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（ ） A. ()()2
2
239x y ++-=
B. ()()22
239x y -++=
C. ()()2
2
233x y ++-= D. ()()2
2
233x y -++=
【答案】A 【解析】
【分析】
先求得圆M 的圆心坐标，再根据半径为3即可得圆的标准方程.
【详解】由题意可得圆M 的圆心坐标为()23-，
， 以()23-，
为圆心，以3为半径的圆的方程为()()2
2
239x y ++-=． 故选:A.
【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程转化，圆的方程求法，属于基础题.
4.某超市抽取13袋袋装食用盐，对其质量（单位：g ）进行统计，得到如图所示的茎叶图，若从这13袋食用
盐中随机选取1袋，则该袋食用盐的质量在[]499501，
内的概率为（ ）
A.
513
B.
613
C.
713
D.
813
【答案】B 【解析】 【分析】
由题，分析茎叶图，找出质量在[499,501]的个数，再求其概率即可. 【详解】这13个数据中位于[]
499,501的个数为6，故所求概率为
6.13
故选B
【点睛】本题考查了茎叶图得考查，熟悉茎叶图是解题的关键，属于基础题.
5.若函数*
12*log (1),()3,x x x N f x x N
⎧+∈⎪
=⎨⎪∉⎩，则((0))f f =( ) A. 0 B. -1
C.
1
3
D. 1
【答案】B
【解析】 【分析】
根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值.
【详解】因为0N *∉,所以0(0)3=1f =，((0))(1)f f f =， 因为1N *∈，所以(1)=1f -，故((0))1f f =-，故选B. 【点睛】本题主要考查了分段函数，属于中档题.
6.将A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A ，B ，C 三个字母连在一起，且B 在A 与C 之间的概率为（ ） A.
112
B.
15
C.
115
D.
215
【答案】C 【解析】 【分析】
将A ，B ，C 三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案.
【详解】由捆绑法可得所求概率为24
24
6
6A A 1A 15
P ==. 故答案为C
【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算. 7.若()2,X
N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=.设一批白
炽灯的寿命（单位：小时）服从均值为1000，方差为400的正态分布，随机从这批白炽灯中选取一只，则（） A. 这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.8186 B. 这只白炽灯寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.8186 C. 这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.9545 D. 这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.9545 【答案】A 【解析】 【分析】
先求出1000μ=，20σ=，再求出(9801020)P X <<和(10201040)P X <<，即得这只白炽灯的寿命在
980小时到1040小时之间的概率.
【详解】∵1000μ=，2400σ=，∴1000μ=，20σ=， 所以()(9801020)==0.6827P X P X μσμσ<<-<<+，
0.95450.6827
(10201040)=
2
P X -<<，
∴()9801040P X <<0.95450.6827
0.68270.81862-=+
=. 故选A
【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定区间的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平和分析推理能力.
8.已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，22S 3a =，则34
12
a a a a ++（ ）
A.
14
B.
12
C. 2
D. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比1
2
q =
，进而可求解，得到答案． 【详解】由题意得，22123S a a a =+=，2112a a =，公比12
q =，则2
341214a a q a a +==+，故选A ．
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 9.将偶函数()()()sin 30πf x x ϕϕ=+<<的图象向右平移π
12
个单位长度后，得到的曲线的对称中心为（ ）
A. ()π7π,0336k k ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
Z B. ()ππ,0312k k ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
Z C. ()ππ,0336k k ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭Z D. ()ππ,034k k ⎛⎫
+∈
⎪⎝
⎭Z 【答案】D 【解析】
【分析】
根据函数为偶函数求出函数解析式，根据余弦函数的图象和性质求对称轴即可. 【详解】∵()()()sin 30πf x x ϕϕ=+<<偶函数，
∴()cos3f x x =±，
∴ππcos 3124f x x ⎛⎫⎛
⎫-=±- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭． 令()ππ3π42x k k -
=+∈Z ，得()ππ34
k x k =+∈Z ． 故选：D
【点睛】本题主要考查了诱导公式和余弦函数的图象与性质，属于中档题.
10.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如102(mod 4)≡.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的i 等于( )
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
【答案】C 【解析】 初如值n=11,i=1, i=2,n=13,不满足模3余2.
i=4,n=17, 满足模3余2, 不满足模5余1. i=8,n=25, 不满足模3余2,
i=16,n=41, 满足模3余2, 满足模5余1.
输出i=16.选C ．
11.已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，4AB =，25AD =，
2BC CD ==，则球O 的体积为（ ）
A. 105π
B.
205
π3
C. 205π
D.
105
π3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据所给关系可证明BC CD ⊥，即可将三棱锥A BCD -可补形成长方体，即可求得长方体的外接球半径，即为三棱锥A BCD -的外接球半径，即可得球O 的体积.
【详解】因为AB ⊥平面BCD ，所以AB BD ⊥，又AB =4，25AD =， 所以2BD =，又2BC CD ==
，
所以222BC CD BD +=，则BC CD ⊥．
由此可得三棱锥A BCD -可补形成长方体如下图所示：
设长方体的外接球半径为R ，
则()()
2
2
222
2
425R =
++=，
所以球O 的体积为3
344
5
ππ
5
π33
3
V R ===
， 故选:B.
【点睛】本题考查了三棱锥外接球体积的求法，将三棱锥补全为棱柱是常用方法，属于中档题.
12.若函数()322,0
20
x x a x f x x x a x ⎧-->=⎨+-≤⎩，恰有2个零点，则a 的取值范围为（ ）
A. 4027⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， B. (()4
1,]0+27
--
⋃∞， C. 4127⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
，
D. ()410+27⎛⎫
--⋃∞ ⎪⎝
⎭
，
，
【答案】D 【解析】 【分析】
将问题转化为()322,0
2,0
x x x g x x x x ⎧->=⎨+≤⎩与y a =恰有2个交点；利用导数和二次函数性质可得到()g x 的图象，
通过数形结合可确定0a >或()213g a g ⎛⎫
-<< ⎪⎝⎭
时满足题意，进而求得结果.
【详解】令()322,0
2,0
x x x g x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，则()f x 恰有2个零点等价于()y g x =与y a =恰有2个交点
当0x >时，()3
2
g x x x =-，则()2
32g x x x '=-
∴当20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；当2,3x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>
()g x ∴在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增
当0x ≤时，()()2
2211g x x x x =+=+-
()g x ∴(),1-∞-上单调递减，在(]1,0-上单调递增
可得()g x 图象如下图所示：
若()y g x =与y a =有两个交点，则0a >或()213g a g ⎛⎫-<<
⎪⎝⎭
又()11g -=-，284
4327927g ⎛⎫=-=-
⎪⎝⎭
()41,0,27a ⎛
⎫∴∈--+∞ ⎪
⎝
⎭
即当()41,0,27a ⎛⎫∈--
+∞ ⎪⎝⎭
时，()f x 恰有2个零点
本题正确选项：D
【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于x 轴的直线与曲线的交点个数的问题，利用数形结合的方式找到临界状态，从而得到满足题意的范围. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13.设向量a 与b ，共线，且()3,a k =，()11
b =-,，则k =________． 【答案】-3 【解析】 【分析】
根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】
()3,a k =，()11b =-,,且a ，b 共线，
31k ∴⨯=-
即3k =-． 故答案为：3-
【点睛】本题主要考查了向量共线的坐标运算，属于容易题.
14.已知数列{}n a 的前n 项和公式为2
2n S n n =-，则数列{}n a 的通项公式为_________．
【答案】43n a n =-
【解析】 【分析】
由1n n n a S S -=-，可得当2n ≥时的数列{}n a 的通项公式，验证1n =时是否符合即可.
【详解】当1n =时，2
112111a S ==⨯-=,
当2n ≥时，1n n n a S S -=- ()()2
22211n n n n =---+-
43n =-，
经验证当1n =时，上式也适合，
故此数列的通项公式为43n a n =-，故答案为43n a n =- .
【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前n 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前n 项和，求数列
通项公式，常用公式11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推
关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形
构造等比或等数列求通项公式. 在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n = 的情况. 15.某公司从甲、乙、丙、丁四名员工中安排了一名员工出国研学.有人询问了四名员工，甲说：好像是乙或丙去了.”乙说：“甲、丙都没去”丙说：“是丁去了”丁说：“丙说的不对.”若四名员工中只有一个人说的对，则出国研学的员工是___________. 【答案】甲 【解析】 【分析】
分别假设是甲、乙、丙、丁去时，四个人所说的话的正误，进而确定结果. 【详解】若乙去，则甲、乙、丁都说的对，不符合题意； 若丙去，则甲、丁都说的对，不符合题意； 若丁去，则乙、丙都说的对，不符合题意；
若甲去，则甲、乙、丙都说的不对，丁说的对，符合题意. 故答案为：甲.
【点睛】本题考查逻辑推理的相关知识，属于基础题.
16.已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为22，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】
先设两圆的圆心为12O O ，球心为O ，公共弦为AB ，中点为E ，由球心到这两个平面的距离相等，可得两圆半径相等，然后设两圆半径为r,由勾股定理表示出2116OO r =-，2322OE r =-，再由
222
OE AE OA +=，即可求出r ，从而可得结果.
【详解】设两圆的圆心为12O O ，球心为O ，公共弦为AB ，中点为E ，因为球心到这两个平面的距离相等，则12OO EO 为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为r ，2116OO r =-，2322OE r =-，又
222
OE AE OA +=，2322216r -+=，29r =，3r =.这两个圆的半径之和为6.
【点睛】本题主要考查球的结构特征，由球的特征和题中条件，找出等量关系，即可求解.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．
17.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =. （1）若23b =30A =︒，求角B 的值； （2）若ABC ∆的面积3ABC S ∆=，cos 4
5
B =
，求,b c 的值. 【答案】（1）60B =︒或120︒. (2) 13b = 【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理，求得3
sin B =
，进而可求解角B 的大小； （2）根据三角函数的基本关系式，求得3
sin 5
B =
，利用三角形的面积公式和余弦定理，即可求解． 【详解】（1）根据正弦定理得，sin 3sin303
sin 22
b A B a ︒=
==
.
b a >，30B A ∴>=︒，60B ∴=︒或120︒.
（2）
4cos 05B =
>，且0B π<<，3sin 5B ∴=. 1sin 32ABC
S ac B ∆==，13
2325
c ∴⨯⨯⨯=，5c ∴=. ∴由正弦定理2222cos b a c ac B =+-，得13b =.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．其中在ABC ∆中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
18.如图，在底面为正方形的四棱锥E ABCD -中，BE ⊥平面ABCD ，点F ，G 分别在棱AB ，EC 上，且满足2AF FB =，3CE CG =.
（1）证明：//FG 平面ADE ；
（2）若BE AB =，求二面角F EG B --的余弦值. 【答案】（1）见解析； （2）311
11
. 【解析】 【分析】
（1）在棱DE 上取一点H ，使得3DE DH =，连接AH ，HG ，
可证明AFGH 是平行四边形，可得//FG AH ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）以B 为坐标原点以,,BA BE BC 为
,y,z x 轴建立空间直角坐标系，设3AB =，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面EFG 的法向量，结合平面EGB 的一个法向量为BA ，利
用空间向量夹角余弦公式求解即可.
【详解】
（1）在棱DE 上取一点H ，使得3DE DH =，连接AH ，HG ， 因为3CE CG =，3DE DH =，所以//GH DC ， 所以2
3
HG DC =
.又因为2AF FB =，AB CD =，所以//AF HG ，AF HG =， 所以AFGH 是平行四边形，所以 //FG AH ，
因为FG ⊄平面ADE ，AH ⊂平面ADE ，所以//FG 平面ADE .
（2）依题意，以B 为坐标原点，以,,BA BE BC 为
,y,z x 轴建立空间直角坐标系B xyz -， 设3AB =，则()1,0,0F ，()0,3,0E ，()0,1,2G ， 所以()1,3,0FE =-，()1,1,2FG =-. 设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =，则00
FE n FG n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30
20
x y x y z -+=⎧⎨
-++=⎩，取3x =，
则()3,1,1n =.
又BA ⊥平面EGB ，所以平面EGB 的一个法向量为()3,0,0BA =， 所以311
cos ,11
BA n BA n BA n
⋅=
=
， 又二面角F EG B --为锐角，所以二面角F EG B --的余弦值为
311
11
. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19.某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互，
出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为
1
2
．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．
（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率； （2）已知该厂现有4名维修工人．
（ⅰ）记该厂每月获利为X 万元，求X 的分布列与数学期望；
（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？
【答案】（1）12
；（2）（ⅰ）1395
32；（ⅱ）不应该.
【解析】 【分析】
（1）根据相互事件的概率公式计算出事故机器不超过2台的概率即可； （2）（i ）求出X 的可能取值及其对应的概率，得出X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求出有5名维修工人时的工厂利润，得出结论．
【详解】解：（1）因为该工厂只有2名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有2台大型机器出现故障．
∴该工厂正常运行的概率为：5142
2355111111()C ()C ()()222222+⋅+⋅=⋅⋅．
（2）（i ）X 的可能取值有31，44，
511(31)()232P X ===，131
(44)13232P X ==-
=． ∴X 的分布列为：
∴ 1
3113953144323232
EX =⨯
+⨯=． （ⅱ）若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行， 工厂所获利润为510 1.5542.5⨯-⨯=万元， 因为
1395
42.532
>
， ∴该厂不应该再招聘1名维修工人．
【点睛】本题考查了相互事件的概率计算，离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题． 20.已知点)
F
是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的一个焦点,点12M ⎫⎪⎭ 在椭圆 C 上.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 与椭圆 C 交于不同的,A B 两点,且1
2
OA OB k k +=- ( O 为坐标原点),求直线l
斜率的取值范围.
【答案】（1）2
214x y +=（2）()1,01,4k ⎡⎫∈-+∞⎪
⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为()
，利用椭圆的定义，求得2a =，再理由椭圆中222c a b =-，求得b
的值，即可得到椭圆的方程；
（2）设l 直线的方程为y kx m =+，联立方程组，利用根与系数的关系，求得1212,
x x x x +，在由1
2
OA OB k k +=-，进而可求解斜率的取值范围，得到答案．
【详解】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为()
，
所以点M 1
42
=. 所以2a =.
又因为c =，所以1b =，则椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
（2）当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，0OA OB k k +=，不符合题意. 故设l 直线的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立22
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222
418410k x kmx m +++-=.
所以()
1222
1228,4141,41km x x k m x x k -⎧
+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩
而()()()()
2122112122
212121282221
41OA OB
kx m x kx m x m x x y y km k
k k k k x x x x x x m m ++++--+=+==+=+=--， 由1
2
OA OB k k +=-，可得241m k =+. 所以14
k ≥-
，又因为()
22
16410k m -+>，所以2440k k ->. 综上，()1,01,4k ⎡⎫
∈-
⋃+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
21.已知函数()e ln x
f x a b x =+，且曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为()e 11y x =-+．
（1）证明：()f x '在()0,∞+上为增函数． （2）证明：()136
f x >
． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）求导函数，利用曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线方程，可得f （1），f '（1），由此可求a ，b 的值，再由单调性的性质即可得证；
（2）运用函数的零点存在定理可得存在01(2x ∈，2
)3
，可得0()0f x '=，可得001x e x =，即00ln x x =-，再由
单调性可得0()()min f x f x =，再由对勾函数的单调性可得所求结论．
【详解】（1）由()e ln x
f x a b x =+，得()e x
b
f x a x
'=+，
所以()1e e f a ==，()1e e 1f a b '=+=-， 解得1a =，1b =-．因此()()1
e 0x
f x x x
'=-
>， 设()()1e 0x
p x x x =-
>，()21
e 0x p x x
'=+>， 所以()f x '为增函数．
（2
）1202f ⎛
⎫'=< ⎪⎝⎭，23223235327e 0e 32228f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=->>>= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
故存在012,23x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，使得()00f x '=， 即0
1
e
x x =
，即00ln x x =-. 进而当()00,x x ∈时，()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，
即()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，
则()()0
000min 0
1e ln x
f x f x x x x ==-=+
． 令()1G x x x =+
，12,23x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
， 则()222
11
10x G x x x
-'=-=<， 所以()G x 在12,23⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减， 所以()213
36
G x G ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，
故()136
f x >
． 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，解题的关键是构造函数，确定函数的单调区间，求出函数的最值，属于中档题．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为13cos ,
13sin x y αα
=+⎧⎨
=+⎩（α为参数），在以坐标为极点，x 轴正半
轴为极轴的极坐标系中，直线l
cos 4m πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭.
（1）求曲线M 的普通方程，并指出曲线M 是什么曲线； （2）若直线l 与曲线M 相交于,A B 两点，AB 4=，求m 的值.
【答案】(1) 曲线M 的轨迹是以()1,1为圆心，3为半径的圆
. (2) m =【解析】 【分析】
（1）由曲线的参数方程，消去参数，即可得到曲线的普通方程，得出结论；
（2）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．
【详解】（1）由13,13x cos y sin αα
=+⎧⎨=+⎩（α为参数），消去参数得()()22
119x y -+-=，
故曲线M 的普通方程为()()2
2
119x y -+-=. 曲线M 的轨迹是以()1,1为圆心，3为半径的圆.
（2
cos 4m πθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，展开得cos sin 0m ρθρθ--=，
l ∴的直角坐标方程为0x y m --=.
则圆心到直线l
，
则2
22
32=-
，解得m =【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用，
重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
23.设函数()1f x x x a =++-.
（1）当1a =时，求关于x 的不等式()3f x ≥的解集； （2）若()4f x ≤在[]0,2上恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1) 33,,22⎛
⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦⎣⎭
(2) 13a ≤≤ 【解析】 【分析】
（1）根据绝对值的意义，取到绝对值号，得到分段函数，进而可求解不等式的解集； （2）因为[]
0,2x ∈，得14x x a ++-≤，再利用绝对值的定义，去掉绝对值号，即可求解．
【详解】（1）因为()2,1
112,112,1x x f x x x x x x -<-⎧⎪
=++-=-≤<⎨⎪≥⎩
，
所以()3f x ≥的解集为33,,22
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
.
（2）因为[]
0,2x ∈，所以14x x a ++-≤， 即3x a x -≤-，则332a x -≤-≤-， 所以13a ≤≤.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。