湖北省武汉市第二中学、麻城一中高二数学下学期期中试题 理

武汉二中、麻城一中2014-2015学年度下学期期中联考
高二（理科）数学试卷
考试时间：2015年4月28日上午8：00—10：00 试卷满分：150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“
1
4xy ≤
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2．函数()ln f x a x x =+在1x =处取到极值，则a 的值为( )
A.1-
B.12-
C.0
D.12
3．函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数（ ）
A. )23,2(ππ
B.)2,(ππ
C. )
25,23(ππ D. )3,2(ππ
4. 若)(,cos sin )(/
x f x x x f +=是)(x f 的导函数，要得到)()(2)(/x f x f x g =的图象，需
将)2(x f 的图象（ ）
A. 向左平移8π个单位
B. 向右平移8π
个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移4π
个单位
5. 用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n
n n n n n +++=-L L ··
··，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（ ） Ａ．21k +
Ｂ．2(21)k +
Ｃ．211k k ++ Ｄ．231k k ++
6. 过抛物线y2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →
的值是( ) A ．12
B ．－12
C ．3
D ．－3
7. 把座位编号为6,5,4,3,2,1的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为（ ） A. 240 B. 144 C. 196 D .288
8．如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．若
EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出：
n m nb
ma EF ++=
．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上
面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设
OAB △，OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与
AB 的距离之比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ）
Ａ．
120mS nS S m n +=
+
Ｂ．
120nS mS S m n +=
+ Ｃ．
12
0m S n S S +=
Ｄ．
12
0n S m S S +=
9 已知函数
⎪⎩⎪⎨⎧≥++-=)0)(1(In )0(2
1
)(2x x x ＜x x x f ，若函数kx x f y -=)(有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ）
A.
)21
,0(
B. )1,21
(
C. ),1(+∞
D. )1,41(
10. 设函数)cos (sin )(x x e x f x
-=（0＜x ＜2015π），则函数)(x f 的各极小值之和为（ ）
A. πππ2201521)1(e e e ---
B. πππe e e ---
1)
1(20152 C.
ππ220161)1(e e ---
D. πππ2201421)1(e e e ---
11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体
的三视图， 则该多面体的每条棱中，最长的棱的长度为（ ） A. 26 B. 24
C. 6
D. 4
12. 设二次函数c bx ax x f ++=2
)(的导函数为)(x f '.对R x ∈∀，不等式)()(x f x f '≥恒成
立，则2
22
2c a b +的最大值为（ ）
A.
26+
B.
26-
C. 222+
D. 222-
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 积分1
(2)x
x e dx +=⎰ .
14. 若
)()21(20142014102014
R x x a x a a x ∈+++=-Λ，则201420142
1222
a a a +++Λ的值为________.
15. 若函数x x x f sin 2)(+=，对任意的]2,2[-∈m ，0)
()3(＜x f mx f +-恒成立，则x 的取值范围是__________.
16. 定义域为R 的函数
⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠-=)
1(1)1(|
1|1
)(x x x x f ，若关于
x
的函数
85
21)()]([)(22-
++=b x bf x f x h 有5个不同的零点x1，x2， x3，x4，x5，设x1＜x2＜x3
＜x4＜x5 ，且x1，x2，x3，x4，x5构成一个等差数列
}
{n x 的前5项，则数列
}
{n x 的前10项
和为__________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分10分）
已知曲线x
x x y S 432
:23++-=及点P （0，0），求过点P 的曲线S 的切线方程.
18.（本小题满分12分)
一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的. （1）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；
（2）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”(每次操作完成后将球放回)，某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
19. (本小题满分12分）
如右图所示，在长方体D C B A ABCD ''''-中，
A A AD A
B '==λλ(λ＞0)，E ，F 分别是
C A ''和A
D 的中点，且
EF ⊥平面D BC A ''. （1）求λ的值；
（2）求二面角E B A C -'-的余弦值.
20（本小题满分12分）)
如图，点P(0，−1)是椭圆C1：x2a2+y2
b2=1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径．l1，l2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A ，B 两点，l2交椭圆C1于另一点D ． （1）求椭圆C1的方程；
（2）求△ABD 面积取最大值时直线l1的方程．
21.（本小题满分12分）已知函数
]1,0[,1)1()(∈+-=x e x x f x
. （1）证明：0)(≥x f ；
（2）若a ＜x e x 1
-＜b 在（0，1）恒成立，求b-a 的最小值.
22.（本小题满分12分）已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0其中a ＞0. （1）求a 的值；
（2）若对任意的),0[+∞∈x ，有2
)(kx x f ≤成立，求实数k 的范围；
x
O
y
B
l 1
l 2
P
D
A
（3）证明：∑=+--n
i n i 1)12ln(122
＜
)(2*
N n ∈
武汉二中、麻城一中2014-2015学年度下学期期中联考 高二（理科）数学试卷答题卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
题
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A A
B A B D B
C B
D
C
B
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分） 13. e 14. -1 15. (-3,1) 16. 35
三 解答题： 17.解：设切点)
,(00y x Q ，则切线
4
22|02
00++-='==x x y k x x ………………（2分）
∴切线方程：
)
)(422(002
00x x x x y y -++-=-
∵P （0，0）在切线上 ∴
02
00)422(x x x y ++-=……………………………………………………………（6分）
即02
03002030422432x x x x x x ++-=++-
即003402030=⇒=-x x x 或43……………………………………………………（8分）
①若
0=x ，则切线方程为x y 4=…………………………………………………（9分）
②若
430=
x ，则切线方程为x
y 835
=………………………………………………（10分）
18.（1）设从袋子中任意摸出3个球, 摸出的球均为白球的概率是P
.30
1=
C C =
P 310
3
4 ……………………………………………………………………（4分）
（2）由一次”摸球成功”的概率32=C C C +C =P 3
10142636. ………………………………（8分）
ξ)
32
,3(B 2=ξE ………………………………………………………………………………（12分）
19.解：如图建立直角坐标系，设2=='AD A A ，则λ2=AB ，则
)2,0,2(A '，)2,0,0(D '，)0,2,2(λB ，)2,,1(λE ，)0,0,1(F ……………………（2分）
（1）)2,,0(--=λEF ，)0,0,2(-=''D A ，)2,2,0(-='λB A . ∵EF ⊥平面D BC A ''
∴20=
⇒='⋅λB A EF ………………（5分）
（2）由（1）知)2,2,0(--=EF 设),,(z y x n =为平面BE A '的法向量，
由⎪⎩⎪⎨⎧='⋅='⋅00
E A n B A n 得)1,22,1(=n ……………………………………………………（7分）
∴
515
,cos -
=〉〈n EF ………………………………………………………………（10分）
又二面角为锐二面角 ∴
515
cos =
θ（θ为其平面角）…………………………（12分）
20.(1）由题意得： ⎩⎨⎧b=1，
a=2．
………………………………………………………………（2分）
椭圆C 的方程为： x2
4+y2=1． …………………………………………………………（4分） （2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l1的方程为y=kx−1．
又圆C2：x2+y2=4，故点O 到直线l1的距离d=1
k2+1 ， ………………………… (5分)
所以 |AB|=24−d2=24k2+3
k2+1 ……………………………………………………（6分）
又l1
l2，故直线l2的方程为 x+ky+k=0．
由 ⎩⎪⎨⎪⎧x+ky+k=0，
x24
+y2=1． 消去y ，整理得 (4+k2)x2+8kx=0
故 x0=−8k 4+k2． 所以 |PD|=8k2+1
4+k2． ……………………………（9分） 设△ABD 的面积为S ，则S=12|AB||PD|=84k2+3
4+k2， 所以 S=
324k2+3+
134k2+3
= 322
4k2+3 ×
134k2+3
=
1613
13，…………（11分）
当且仅当k=±10
2时取等号
所以所求直线l1的方程为y=±10
2x−1…………………………………………（12分）
21. 解：（1）∵
0)(≥⋅='x
e x x
f 在[0，1]恒成立. ∴)(x f 在[0，1]上单调递增 ∴
)0()(min
==f x f
∴)(x f ≥0………………………………………………………………………………（2分）
（2）令x e x g x 1)(-=，则21
)1()(x e x x g x +-=
'＞0
在（0，1）恒成立)(x g ⇒在（0，1）单增
于是)(x g ＜1)1(-=e g ∴1-≥e b ………………………………………………（7分）
令1)(--=ax e x h x ，则
a e x h x
-=')( ①当1≤a 时 ∵)(x h '＞0在（0，1）恒成立
∴)(x h ＞0)0(=h 符合条件
②当e a ≥时 ∵)(x h '＜0在（0，1）恒成立
∴)(x h ＜0)0(=h 与条件矛盾，舍去；
③当1＜a ＜e 时，∵)(x h 在（0，Ina ）单减，在[Ina ，1）单增 ∴)(x h ＜0在（0，Ina ）成立与已知矛盾，舍去.
综上：1≤a ，从而2)(min -=-e a b ………………………………………………（12分） 备注：在求a 的最大值也可用洛必塔法则. 22.解：（1）函数的定义域为),(+∞-a .
由0)(='x f 得：a x -=1＞a - 又由0)(≥'x f 得：a x -≥1
∴)(x f 在)1,(a a --单减，在),1[+∞-a 单增
∴
1
0)1()(min
=⇒=-=a a f x f ……………………………………………………（2分）
（2）设
)In()(2
a x x kx x g ++-=)0(≥x
则0)(≥x g 在),0[+∞恒成立
)
0(0)(min
g x g =≥⇔ (※)
注意到k k g ⇒≥+-=02In 1)1(＞0
又
1)
122()(+-+=
'x k kx x x g
①当12-k ＜0k (＜21)时，由0)(≥'x g &得
k k
x 221-≥
. ∵)(x g 在
]221,
0[k k -单减，),221(+∞-k k
单增，这与（※）式矛盾；
②当
21≥
k 时
∵0)(≥'x g 在),0[+∞恒成立 ∴0)0()(=≥g x g 符合(※)
∴
21
≥
k ………………………………………………………………………………（7分）
（3）由（2）知：令
21=
k 得：2
21
)1(x x In x ≤+-
令),,2,1(122n i i x Λ=-=得:)]12()12([122
--+--i In i In i ＜2
)12(2-i
当i=1时，322In x -⇒=＜2；
当2≥i 时，2
)12(2-i ＜--321i 121
-i
从而∑=-++--2
1
)]12()12(122
[
i i In i In i ＜
121132--+-n In ＜2.………………（12分）。