高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》知识点总复习含解析

新《推理与证明》专题解析
一、选择题
1．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取
结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 【答案】D 【解析】 【分析】
推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案. 【详解】
根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，
曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）. 故选：D . 【点睛】
本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.
2．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76
C ．123
D ．199
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现，
347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，
即1010123a b +=, 故选C.
考点：观察和归纳推理能力.
3．设
a ，
b ，
c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1
c a
+的值（ ） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案 【详解】
因为
a ，
b ，
c 都大于0
1111116a b c a b c b c a a b c +
++++=+++++≥ 当且仅当1a b c ===时取得最小值
若12a b +<，12b c
+<，1
2c a +<
则111
6a b c b c a
+++++<，与前面矛盾
所以三个数1a b +，1b c +，1
c a
+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】
本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.
4．给出下面类比推理：
①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”； ②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“
a b a b
c c c
+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”． 其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也
可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答. 【详解】
①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“
(0)a b a b
c c c c
+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；
④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；
所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.
5．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为
212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫
=+-- ⎪+-+-⎝⎭
，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示
两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫
+-=+
⎪⎝⎭
，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭，且()1
211x x x -+≈-+，则U 的近似值为
（ ）
A ．212
3
kcq x x R
B ．212
3kcq x x R -
C ．21232kcq x x R
D ．212
3
2kcq x x R -
【答案】D 【解析】 【分析】
将12121x x R x x R R -⎛⎫
+-=+ ⎪⎝
⎭，
111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()
1
211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.
【详解】
221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+
-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭
++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
222
2
121211221111x x x x x x x x kcq R
R R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
212
3
2kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】
本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
6．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】D 【解析】 【分析】
对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论. 【详解】
若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； 若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符； 若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；
若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符． 故选：D ． 【点睛】
本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
7．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a ，b ，c ，d ，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表：
则a ，b ，c ，d 四个出水口放水速度最快的是（ ） A ．d B ．b
C ．c
D ．a
【答案】A 【解析】 【分析】
利用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可. 【详解】
由题易解得a ，b ，c ，d 放水时间分别为70，100，90，50，所以d 出水速度最快. 故选：A. 【点睛】
本题考查了方程的思想，属于基础题.
8．用数学归纳法证明 11151236
n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111
313233
k k k +++++ B ．112
313233
k k k +-+++ C ．
11
331k k -++ D ．
1
33
k + 【答案】B 【解析】
分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为
111123k k k
++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为
111111233313233
k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是
1111112
3132331313233
k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.
9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】B 【解析】
【分析】
结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】
结合题意分类讨论：
若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.
10．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）
A 3
B ．
23
C 65
D 5【答案】D 【解析】 【分析】
如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率. 【详解】
对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，
1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .
在直角三角形ABO 中，2AB =，1022
32
BO -⨯==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠==，又因为22
sin sin 3
r AOB OCD OC OC ∠=∠===， 所以3a OC ==.
由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得
22945c a b =--=，
所以5c e a =
=
， 故选：D. 【点睛】
此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.
11．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下： 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．甲或乙 【答案】A
【解析】假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.
12．设函数()()02x f x x x =
>+，观察下列各式：()()12
x
f x f x x ==
+，()()()2134x f x f f x x ==
+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516
x
f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…，根据以上规律，若1122018
n f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭，则整数n 的最大值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
【答案】C 【解析】
分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案． 详解：观察：()()12x f x f x x ==
+，()()()2134
x f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==
+，()()()431516
x f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…可知：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一
次项的系数比常数项小1，故f n （x ）=
(21)2n n
x
x -+，所以
1
1
1112()(21)22122018
22
n n n n n
f +==>--++，即12122018n n +-+<20192673103
n
n ⇒<=⇒<，故n 的最大值为9，选C. 点睛：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．然后再结合函数的最值分析思维即可解决问题.
13．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．乙 B ．甲 C ．丁 D ．丙 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论. 【详解】
在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；
假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；
由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，
由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，
由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A. 【点睛】
本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
14．数列{}1212:1
,(2)n n n n F F F F F F n --===+>，最初记载于意大利数学家斐波那契
在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{}n F 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前50项和为（ ） A ．33 B ．34
C ．49
D ．50
【答案】B 【解析】 【分析】
根据{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n F 的各项，从而可得{}n a 是按1,1,0的周期排列规律，即可求出结论. 【详解】
依次写出{}n F 的各项1234561,1,2,3,5,8F F F F F F ======L ，
{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n a 各项为
1234561,1,0,1,1,0a a a a a a ======L ，
{}n a ∴各项是按1,1,0的周期规律排列，
1234950162234a a a a a +++++=⨯+=L .
故选：B. 【点睛】
本题考查归纳推理、猜想能力，考查分析问题、解决问题能力，属于中档题.
15．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】C 【解析】 【分析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案. 【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知
只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙. 综上所述，年纪最大的是丙 故选：C. 【点睛】
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
16．用数学归纳法证明不等式11112321
n n +
++⋅⋅⋅+<-（2n ≥且*n N ∈）时，在证明从n k =到1n k =+时，左边增加的项数是（ ）
A ．2k
B ．21k -
C ．12k -
D ．k
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意由n k =递推到1n k =+时，由1n k =+时的不等式左边
1111111
1232122121k k k k +=+++⋯++++⋯+-+-与n k =时不等式的左边比较即可求
解.
【详解】
用数学归纳法证明不等式11112321
n n +
++⋅⋅⋅+<-的过程中， 假设n k =时不等式成立，则左边111
12321
k =+++⋅⋅⋅+-， 那么当1n k =+时，左边11111111232122121
k k k k +=+
++⋯++++⋯+-+-， ∴由n k =递推到1n k =+时，不等式左边增加了：
1111
22121
k k k +++⋯++-， 共(
)
1
2
1212k k k +--+=项.
故选：A 【点睛】
本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题.
17．用数学归纳法证明()11111111
1234212122n N n n n n n
*-
+-+-=+++∈-++L L ，
则从k 到1k +时左边添加的项是（ ）
A ．
121
k + B ．112224k k -++ C ．122k -+ D ．112122k k -++ 【答案】D
【解析】
【分析】 根据式子的结构特征，求出当n k =时，等式的左边，再求出1n k =+ 时，等式的左边，
比较可得所求．
【详解】 当n k =时，等式的左边为111111234212k k
-+-+⋯+--， 当1n k =+ 时，等式的左边为111111112342122122
k k k k -+-+⋯+-+--++， 故从“n k =到1n k =+”，左边所要添加的项是
112122k k -++． 故选：D ．
【点睛】
本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化．
18．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆
的面积
S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）
A
B
． C
D
．【答案】A
【解析】
【分析】 根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得
sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3
A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=
，代入公式=S . 【详解】
由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=，
因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-
， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-=
=，所以3bc =，
由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．下列表述正确的是（ ）
①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；
A ．②④
B ．①③
C ．①④
D ．①②
【答案】D
【解析】分析：根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案.
详解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确； 对于②，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确； 对于③，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误；
对于④，分析法、综合法是常见的直接证明法，所以错误；
则正确的是①②，故选D.
点睛：该题考查的是有关推理的问题，对归纳推理、演绎推理和类比推理的定义要明确，以及清楚哪些方法是直接证明方法，哪些方法是间接证明方法，就可以得结果.
20．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ）
A ．大于2
B ．小于2
C ．不小于2
D ．不大于2
【答案】B
【解析】
【分析】
把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号．
【详解】
解：2a b c ++=Q ，
2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．
则2()ab bc ac ++
222ab ac bc =++
ab ac bc ac ab bc =+++++
()()()a b c c b a b a c =+++++
(2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-
222222b b a a c c =-+-+-
()()2222a b c a b c =-+++++
()2224a b c =-+++，
2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，
即()2220a b c -++<，
2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<
即ab bc ac ++的值小于2．
故选：B ．
【点睛】
本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．。