2018届四川省绵阳南山高三二诊热身考试数学(文)试题

2018届四川省绵阳南山高三二诊热身考试数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合(){},1A x y xy ==，(){}(),0,B x y x y x y =-=∈R ，则集合A
B 中元素个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．4 2．已知复数cos sin 66z i π
π
=+，则2z 所对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．“1a =”是“直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．下列4个图从左到右位次是四位同学甲、乙、丙、丁的五能评价雷达图：
在从他们四人中选一位发展较全面的学生，则应该选择（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
5．若1sin cos 5
αα+=
，则sin 2α=（ ） A ．1225- B ．2425- C ．1225 D ．1225- 6．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）
A ．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误
B ．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
C ．若2K 的观测值为 6.635k =，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
D ．以上三种说法均不正确
7．函数()4sin x x f x x
-=的部分图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．执行如下图所示的程序框图，若输出的结果是55，则在菱形框内可以填入（ ）
A ．8?i ≤
B ．9?i ≤
C ．10?i ≤
D ．11?i ≤
9．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，曲线22
22:1x y C m n
+=.则曲线C 的焦点在x 轴上且离心率32e ≤的概率等于（ ） A ．56 B ．16 C ．34 D ．14
10．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得
90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
11．若3x =是函数()()21x f x x ax e =++的极值点，则()f x 的极大值等于（ ）
A ．-1
B ．3
C ．32e -
D ．16e -
12．已知ABC ∆是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且3CP =，则()PC PA PB ⋅+的取值范围是（ ）
A ．[]0,12
B ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．[]0,6
D ．[]0,3 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800
个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是 ．
14．已知焦点在坐标轴上，中心是原点的双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点()1,3，则双曲线的焦点到渐近线的距离等于 ．
15．函数()f x 是R 上的奇函数，()12f =，且对任意12x x >，有()()1212
0f x f x x x ->-，则不等式()212f x -≤-≤的解集为 ．
16．设抛物线28y x =的焦点为,F M 是抛物线上一点，FM 的延长线与y 轴相交于点N ，若2NM MF =，则FN = ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且()21n n S a n =-∈*N .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令2log n n b a =，求数列(){}
21n n b -前2n 项的和T . 18． ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin b C b C a +=.
（1）求角B 的大小； （2）若BC 边上的高等于14
a ，求cos A 的值. 19． 某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x （单位:盒，100200x ≤≤）表示这个开学季内的市场需求量，y （单位:元）表示这个开学季内经销该产品的利润.
（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的平均数；
（2）将y 表示为x 的函数；
（3）根据直方图估计利润y 不少于4000元的概率.
20． 已知椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的焦距为22且经过点()
2,1.过点()0,2D -的斜率为k 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，与x 轴交于P 点，点A 关于x 轴的对称点C ，直线BC 交x 轴于点Q .
（1）求k 的取值范围；
（2）试问：OP OQ ⋅是否为定值？若是，求出定值；否则，说明理由.
21． 已知函数()ln f x x =，()()()01
m x n g x m x +=>+. （1）若函数()y f x =与()y g x =在1x =处有相同的切线，求m 的值；
（2）若1x ∀≥，恒有()()f x g x ≥成立，求实数m 的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线
2sin 4l t πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭经过点42,4P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线()
22:13sin 4C ρθ+=. （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若点Q 为曲线C 上任意一点，且点Q 到直线l 的距离为d ，求d 的最小值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知1a >，函数()22f x x x a =---.
（1）若()f x 的最小值为－2，求实数a 的值；
f x的图象与x轴所围的图形的面积不大于6时，求a的取值范围. （2）若函数()
2018级南山绵阳二诊热身考试
数学（文科）参考答案与评分标准
一、选择题
1-5:CACBB 6-10:ADCDB 11、12：DA
二、填空题
0,2 16．10
13．9 14．[]
三、解答题
17．解：（1）由112121
n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩得()12,1n n a a n n -=∈≥*N ， 于是{}n a 是等比数列.
令1n =得11a =，所以12n n a -=.
（2）122log log 21n n n b a n -===-，
于是数列{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列.
2222221234212n n T b b b b b b -=-+-+--+123212n n b b b b b -=+++++，
所以()()221212
n n T n n -==-. 18．解：（1）因为cos sin b C b C a +=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得， sin cos sin sin sin B C B C A +=.
因为A B C π++=，
所以()sin cos sin sin sin B C B C B C +=+.
即sin cos sin sin sin cos cos sin B C B C B C B C +=+.
因为sin 0C ≠，所以sin cos B B =
因为cos 0B ≠，所以tan 1B =.
因为()0,B π∈，所以4B π
=.
（2）设BC 边上的高线为AD ，则14
AD a =
. 因为4B π=，则14BD AD a ==，34CD a =.
所以AC ==
，AB a =.
由余弦定理得222cos 25
AB AC BC A AB AC +-==-⋅. 所以cos A
的值为5
-19．解：（1）需求量为[)100,120的频率0.005200.1=⨯=，
需求量为[)120,140的频率0.01200.2=⨯=，
需求量为[)140,160的频率0.015200.3=⨯=，
需求量为[)160,180的频率0.0125200.25=⨯=，
需求量为[)180,200的频率0.0075200.15=⨯=. 则平均数1100.11300.21500.31700.251900.15153x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
（2）因为每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元， 所以当100160x ≤≤时，()3010160401600y x x x =-⨯-=-，
当160200x <≤时，160304800y =⨯=，所以401600,1001604800,160200x x y x -≤≤⎧=⎨<≤⎩
（3）因为利润不少于4000元，解得4016004000x -≥，解得140x ≥. 所以由（1）知利润不少于4000元的概率10.30.7p =-=.
20．解：（1）由已知得2
1b a
=
，c = ∴2a =
，b = 所以椭圆方程为22
142
x y += 设直线l 的方程为2y kx =-，与椭圆22
142
x y +=联立得()2212840k x kx +-+=. 由()226416120k k ∆=-+>得212
k >，
所以2,,22k ⎛⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. （2）令()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,C x y -，
则122812k x x k +=+，122412x x k
=+. 由2y kx =-中，令0y =得2P x k =
，即2,0P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设直线BC 的方程为()211121
y y y x x y x x +=---，
令0y =得211221
Q x y x y x y y +=+. 将112y kx =-，222y kx =-代入上式得：
()()121221122112224Q kx x x x x y x y x y y k x x -++==++-222
4162121228412k k k k k k k k ⨯-++==⨯-+ 所以224P Q OP OQ x x k k
⋅=⋅=⋅=，为值. 21．解：（1）函数()y f x =在1x =处的切线为1y x =-.
由()10g =得1n =-.由()11g '=得2m =.
（2）当1x =时，由()()11f g ≥得1n =-.
当1x >时，()0f x >，()0g x >，
令()()()()1ln 1
m x x f x g x x x ϕ-=-=-+. 则问题转化为：当1x ≥时()0x ϕ≥恒成立.
而()()()()22212221111x m x m x x x x x x ϕ+-+
+-+'==++.
当1x ≥时，函数122y x m x
=+-+是单调函数，最小值为42m -， 为使()0x ϕ≥恒成立，注意到()10ϕ=，所以420m -≥，即02m <≤.
22．解：（1）将点P 的坐标代入直线l 的极坐标方程，得8t =.
整理可得直线l 的直角坐标方程为80x y +-=.
由()22
13sin 4ρθ+=，得()223sin 4ρρθ+=， 即2
2234x y y ++=，C 的直角坐标方程为2
214x y +=. （2）设()2cos ,sin Q θθ，则点Q 到直线l 的距离
d ==，
当()sin 1θϕ+=
时，min d ==23．解：（1）()21f x x x a =---，因为1a >，所以：
当1x ≤时，()[)21,f x x a a =-+-∈-+∞；
当1x a <<时，()()321,22f x x a a a =--∈--；
当x a ≥时，()[)222,f x x a a =-+∈-+∞.
于是()f x 的值域是[)1,a -+∞，
由题意知，12a -=-，所以3a =.
（2）由（1）知
()2,132,12,x a x f x x a x a x a x a -+-≤⎧⎪=--<<⎨⎪-+≥⎩
，因()f x 的最小值等于10a -<，()220f a a =->， 所以当1a >时，函数()f x 的图象与x 轴有两个交点，其坐标为()2,0a -与2,03a +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 于是函数()f x 与x 轴所围成图象的面积等于()122123
a S a a +=⨯--⨯-. 因1a >，所以()()()2411211233
a a a S ---=⨯=. 于是()()22216193
a a -≤⇒-≤31324a a ⇒-≤-≤⇒-≤≤. 又因1a >，故a 的取值范围是(]1,4.。