云南省2013年1月学业水平考试数学试卷

2013年1月云南省普通高中学业水平考试
数学试卷 选择题（共51分）
一、选择题：本大题共17个小题，每小题3分，共51分.
1.设集合{}210，，
=A ，{}4321，，，=B ，则集合B A 等于( ) A .{}21
， B .{}43210，，，， C .{}42，
D .{}430，， 2.一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A .三棱柱
B .三棱锥
C .四棱柱
D .四棱锥
3.已知向量)43(，=a ，)3(，x =b ，若b a ⊥，则x 的值是( )
A .4-
B .4
9
-
C .49
D .4
4.已知⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2321，P 在角α的终边上，则αsin 的值是（ ）
A .
1
2
B
C
D
5.已知两点)12(，A ，)33(，B ，则直线AB 的斜率是（ ）
A .2
B .45
C .1
2
D .2-
6.已知5
3
sin =α，则α2cos 的值为（ ）
A .
2524 B .257 C .257- D .54- 7.将一个骰子掷一次，则向上的点数是3的倍数的概率是（ ）
A .
16 B .14 C .13 D .12
8.在△ABC 中，C B A ,,角所对的边长分别是,,a b c ，若︒
︒===45,60,3B A a ，则
b 等于( )
A
. B
. C
D
9.在[]21
，-上随机取一个实数，则取到的实数是负数的概率为（ ） A .
13 B .12 C .2
3
D .1 10.函数32)(-=x x f 的零点所在区间是（ ）
A .)01(，-
B .)10(，
C .)21(，
D .)32(， 11.不等式0)3)(2(>-+x x 的解集是（ ）
A .{}32<<-x x
B .{}
32>-<x x x 或
C .{}23<<-x x
D .{}23>-<x x x 或
12.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1451,8,a a S ==则等于（ ）
A .2
B . 15
C . 31
D .63 13.下列函数中，是偶函数的为（ ）
A .1
y x
=
B . 21y x =+
C .x y 2=
D . 2log y x = 14.若a 的输入值为2，则右边程序运行结果是（
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
15.圆096422=+-++y x y x 的圆心坐标是（ A .)32(， B . )32(--，
C .)32(-，
D . )32(，- 16.若四边形ABCD 中，设→=a AB ，→
=b BC ，
→
=c AD 则→CD 等于（ ）
A .)(b a c +-
B .)(c a b +-
C .c b a -+
D .c b a +-
17.已知一个算法的流程图如图所示，则输出结果是（ ）
A .10
B . 90
C .720
D .5040 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 18.已知圆C 的圆心为)02(，，且圆C 与直线
023=+-y x 相切，则圆C 的方程为
. 19.高二年级某班有50人，某次数学测验的分数在
[]50,100内，现将这次数学测验的分数分成如下
5个组：[)[)[]50,60,60,70,
,90,100,绘制成如
图所示的频率分布直方图，则分数在[)50,60内的人数是___________.
题
第2正视图
侧视图
俯视图
.0.0.0.0题
第19
20.某校高一、高二、高三年级各有学生400人、400人、300人，现按年级分层抽样
的方法从这个年级学生中一共抽取n 名学生了解该校学生的视力情况.已知从高三 年级抽取了30名学生，则n 等于___________.
21.若[)∞+--+=，在33)1(2)(2x a x x f 上是增函数，则实数a 的取值范围是 .
22.已知x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-≤+22142y x y x y x ，则z x y =+的最小值为________.
三、解答题：本大题共4小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程. 23.（本小题满分8
分）已知()sin f x x x =+.
（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间.
24.（本小题满分8分） 如图，在三棱锥S -ABC 中，AC AB ABC SA ⊥⊥,平面. （1）求证：SAC AB 平面⊥；
（2）设1,SA AB AC ===求点A 到平面SBC 的距离.
25.（本小题满分8分）已知等差数列{}n a 满足12341,9a a a a =++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n S 1的前n 项和.
26.（本小题满分10分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，P 是AB 边上的点，
AB =3，AD =2.
（1）设AP = x ，DPE ∆的周长为y ，求函数y =f (x )的解析式； （2）当DPE ∠取得最大值时，求AP 的值.
S
A B
C
A
B
C
D P
E
数学参考答案及评分标准
二、填空题（每小题3分，共15分）
三、解答题（共30分）
23.（1）
1
()sin2sin cos2sin
223
f x x x x x x
π
⎛⎫⎛⎫
==+=+
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
∴()
f x的最小正周期T=2
（2）由
3
22()
232
k x k k Z
πππ
ππ
+≤+≤+∈
()
f x
∴的递减区间是
7
2,2()
66
k k k Z
π
πππ
⎡⎤
++∈
⎢⎥
⎣⎦
24.（1）略，（2）
3
3
.
25.（1）n
a
n
=，（2）
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
n
S
1
的前n项和为
1
2
+
=
n
n
T
n
.
26.（1）)3
0(1
4
12
2<
<
+
+
+
+
=x
x
x
y，
（2）
EPA
DPA
EPA
DPA
EPA
DPA
DPE
∠
∠
+
∠
-
∠
=
∠
-
∠
=
∠
tan
tan
1
tan
tan
)
tan(
tan
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
≤
+
=
+
-
=
x
x
x
x
x
当且仅当
x
x
2
=，即2
=
AP时，DPE
∠
tan有最大值，
综上知，当且仅当2
=
AP，DPE
∠最大.。