人教B版人教B版高中数学必修五第2章2.1第2课时

A．2＋ ln n
B．2＋( n－1)ln n
C．2＋ nln n
D．1＋n＋ln n
[ 答案 ] A
[ 解析 ] 解法一：取 n＝2，则 a2＝a1＋ln2 ＝2＋ln2 ，排除 C、D；
1
3
取
n＝3，则
a3＝a2＋ ln(1
＋
) 2
＝
2＋
ln2
＋
ln
2＝ 2＋ ln3
，排除
B，选
A.
解法二：直接将选项依次代入验证．
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又 a1＝ 1 满足上式．
∴
an＝
n＋ 2
1 (
n∈
*
N
)
．
10．设数列 { an} 的前 n 项的和为 Sn，且方程 x2－anx－ an＝ 0，有一根为
Sn－ 1， n＝1,2,3 ，…，求 a1、 a2. [ 解析 ] 当 n＝ 1 时， x2－ a1x－ a1＝ 0 有一根为 S1－ 1＝ a1－1，于是 ( a1
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站号
12
3
4
5
6 78
剩余邮件数 7 12 15 16 15 12 7 0
该数列的图象如图所示．
它在 {1,2,3,4} 上是递增的，在 {4,5,6,7,8} 上是递减的．
信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
三、解答题 5．数列 { an} 的通项公式是 an＝－ 2n2＋19n－23，则数列 { an} 中最大的
一项是第几项？并求出该项．
[ 解析 ]
an＝－
2n2＋
19n－
23＝－
2(
19 n－ 4 )
2－
23＋
192 8 ＝－
2(
n－
19 )
4
2
177 ＋8，
∵n∈N*，∴当 n＝5 时， an最大， a5＝－ 2× 52＋ 19× 5－ 23＝ 22.
信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
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5
8
11
14
17
∴ b1＝2， b2＝ 5， b3＝ 8 ， b4＝11，b5＝14.
1 当 an＝ 2＋ln n 时， an＋ 1＝ an＋ln(1 ＋ n)
1 ＝2＋ln n＋ln(1 ＋n)
信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
-----------------------------------------------------
故数列 { an} 最大的一项是第 5 项，且 a5＝22. 6．设函数 f ( x) ＝ log 2x－log x4(0< x<1) ，数列 { an} 的通项 an 满足 f (2 )an
＝2n( n∈N*) ，求数列 { an} 的通项公式．
[ 解析 ] ∵ f ( x) ＝log 2x－log x4，
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
[ 答案 ] C
[ 解析 ] ∵由 ak＋1＝ Sk＋1－ Sk＝Sk＋ Sk＋1 ∴ Sk＝0( k∈N* )
可知此数列每一项均为 0，即 an＝0 是常数列．
6．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样 10 条直线相交，交点
的个数最多的是 ( )来自信达∴n＝11 或 n＝－ 7( 舍去 ) ．
故 65 是这个数列的第 11 项． (3) 令 n2－4n－12>0，得 n>6 或 n<2.
∴这个数列从第 7 项起以后各项都为正数．
三、解答题
an 9．在数列 { an} 中，已知 a1＝ 1，且满足 an＋1＝an＋ n＋1，求通项公式．
an
n＋ 2
-----------------------------------------------------
16 2 8 8 A. 5 B. 19C.5D.7
[ 答案 ] B
2
2
2
[ 解析 ] 由递推关系可得 a2＝ 7， a3＝13，a4＝ 19.
4．已知数列 { an} 满足 a1＝ x， a2＝ y，且 an＋1＝ an－ an－ 1( n≥ 2) ，则 a2007
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3．设
f
(
n)
1 ＝ n＋1＋
1 n＋ 2 ＋…＋
1 2n(
n
∈
*
N
)
，那么
f ( n＋ 1) － f ( n) ＝
________.
1
1
[ 答案 ] 2n＋1－2n＋2
1
1
1
11
1
[ 解析 ] f ( n＋1) ＝n＋2＋n＋3＋n＋4＋…＋ 2n＋2n＋1＋2n＋ 2，
数列的递推公式 ( 选学 )
一、选择题
1
1．已知数列
{ an}
中，a1＝
1，a2＝
3，an＝
an
－
1＋
an
(
－2
n≥3) ，则
a5＝(
)
55 A. 12
13 B. 3
C． 4
D．5
[ 答案 ] A
[ 解析 ] 令 n＝ 3,4,5 ，求 a5即可．
2．已知数列
{
an}
中，
a a ＝ n＋1
n＋
2＋an，
＝( )
A．xB．yC．y－xD．－ x
[ 答案 ] C
[ 解析 ] 根据递推关系可得 x，y，y－ x，－ x，－ y，x－y，这 6 个数
值重复出现 a2007＝ a334× 6＋ 3＝a3. 5．已知 Sk 表示数列的前 k 项和，且 Sk＋ Sk＋ 1＝ ak＋1( k∈N*) ，那么此数
列是 ( )
＝2＋ln( n＋1) 满足，故选 A. 1
解法三：∵ an＋ 1＝ an＋ln(1 ＋ n) ，
1 ∴ a2－a1＝ln(1 ＋ 1) ＝ ln2 ，
1
3
a3－ a2＝ ln(1 ＋2) ＝ln 2，
1
4
a4－ a3＝ ln(1 ＋3) ＝ln 3，
…
1
n
an－ an－1＝ ln(1 ＋n－ 1) ＝ ln n－ 1.
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
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A．40 个 B．45 个 C．50 个 D．55 个
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
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第 2 章 2.1 第 2 课时
面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个，
试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图
象，并判断该数列的增减性．
[ 解析 ] 将 A、 B之间所有站按序 1,2,3,4,5,6,7,8 编号，通过计算，
上面各站剩余邮件数依次排成数列： 7,12,15,16,15,12,7,0. 填写下表：
3
n
相加得：an－ a1＝ln2 ＋ln 2＋…＋ ln n－1＝ln n，∵a1＝2，∴ an＝2＋ln n.
an－ 3
2．已知数列 { an} 满足 a1＝ 0， an＋ 1＝
( n∈N＋) ，则 a20＝(
)
3an＋1
3 A．0B．－ 3C. 3D. 2
[ 答案 ] B
a1－ 3
a2－ 3
a3－ 3
8．已知数列 { an} 的通项公式 an＝n2－ 4n－ 12( n∈ N* ) ，则
(1) 这个数列的第四项是 ________；
(2)65 是这个数列的第 ________项；
(3) 这个数列从第 ________项起以后各项都为正数．
[ 答案 ] － 12；11；7 [ 解析 ] (1) a4＝42－4×4－ 12＝－ 12. (2) 令 65＝n2－4n－12，∴ n2－4n－77＝ 0，
即
2 an－ an＝ 2n，∴ an
2
－
2nan－
2＝
0，
∴ an＝n± n2＋ 2. 又∵ 0<x<1，∴ 0<2an<1，
∴ an<0( n∈ N* ) ，∴ an＝n－ n2＋2( n∈N*) ．
7．一辆邮车每天从 A 地往 B 地运送邮件，沿途 ( 包括 A，B) 共有 8 站，
从 A 地出发时，装上发往后面 7 站的邮件各一个，到达后面各站后缷下前
[ 解析 ] 由 an＋1＝an＋ n＋1，得 an＋1＝n＋ 1an，
an＋ 1 n＋ 2 a2 3 a3 4 a4 5 即 an ＝ n＋ 1. ∴a1＝ 2， a2＝ 3， a3＝ 4，…，
an n＋ 1 an－1＝ n ( n≥ 2) ．
将以上各式相乘，得
a2 a3 a4
an 3 4 5
n＋ 1
一个新数列 { bn} ，那么 { bn} 的前五项为 ________________．
[ 答案 ] [ 解析 ]
5 8 11 14 17 2，5， 8 ，11，14 ∵ an＝ 3n－ 1( n∈ N* )
∴ an＋ 1＝ 3( n＋ 1) － 1＝ 3n＋ 2，
an＋1 3n＋2 ∴ bn＝ an ＝3n－1.
1
1
1
1
1
∴f ( n＋1) －f ( n) ＝2n＋1＋ 2n＋2－n＋1＝2n＋1－2n＋2.
4．若数列 { an} 中， a1＝ 3，且 an＋1＝ a2n( n 是正整数 ) ，则数列的通项 an
＝ ________. [ 答案 ] an＝ 32n－1 [ 解析 ] a1＝ 3，a2＝32， a3＝34，a4＝ 38…，猜想 an＝32n－1.
[ 答案 ] B
2×1 2×3 3× 4 [ 解析 ] 交点个数依次组成数列为 1,3,6 ，即 2 ， 2 ， 2 ，由
n n－1 此猜想 an＝ 2 ，
10× 9 ∴ a10＝ 2 ＝45.
二、填空题
7．已知数列 { an} 的通项公式
an＝3n－1( n∈N*) ，通过公式
an＋ 1 bn＝ an 构造
a1＝
2，
a2＝
5，则
a6＝ (
)
A．－ 3B．－ 4C．－ 5D．2
[ 答案 ] A
[ 解析 ] 由 an＋1＝an＋2＋ an 得 a3＝ 3，
a4＝－ 2， a5＝－ 5， a6＝－ 3.
an
3．正项数列 { an} 中， an＋1＝1＋ 3an，a1＝ 2，则 a4＝ (
)
信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
[ 解析 ] ∵ a1＝ 0，a2＝
＝－ 3，a3＝
＝ 3，a4＝
3a1＋ 1
3a2＋ 1
3a3＋ 1
＝ 0，…
至此可知：数列 { an} 的各项的值依次为 0，－ 3， 3，0，－ 3， 3， 0，…，周而复始．
∵ 20÷ 3＝6 余 2，∴ a20＝a2＝－ 3.
二、填空题
信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
∴f
(2
)a n
＝log
22an－ log
2an4＝2n，
信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
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－
1)
2
－
a1(
a1－
1)
－
a1＝
0，解得
1 a1＝ 2.
当 n＝2 时，有一根为
S2－
1＝
a2－
1 2，于是
(
1 a2－2)
2－
a2(
1 a2－2)
－a2＝0，
1
解得
a2＝
. 6
能力提升
一、选择题
1
1．在数列 { an} 中， a1＝ 2， an＋1＝ an＋ ln(1 ＋n) ，则 an＝ (
)
a1· a2· a3·…· an－1＝2· 3· 4·…· n
an n＋ 1
n＋ 1
∴ a1＝ 2 ，∴ an＝ 2 ( n≥2) ，
信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点