数学建模：建筑物人员疏散方案的数学模型研究

第32卷　第11期
2010年6月武　汉　理　工　大　学　学　报JOURNA L OF WUHAN UNIVERSIT Y OF TECHN OLOG Y Vol.32　No.11　J un.2010DOI :10.3963/j.issn.167124431.2010.11.038
建筑物人员疏散方案的数学模型研究
王卫华1,吴淑娴2,程　建3
(1.三峡大学理学院,宜昌443002;2.三峡大学应急管理研究所,宜昌443002;
3.三峡大学机械与材料学院,宜昌443002)
摘　要:　研究了在险情发生时如何在最短时间内组织人员逃出某建筑物这类应急处理问题。

为了寻求到最佳的疏散方案,建立了人流疏散数学模型,该模型考虑到人流速度与人流密度之间的关系,以疏散时间最短为目标函数。

根据此模型求解得到了某教学楼人员快速疏散的优化方案。

通过对模型的检验,对有关部门提出了若干建设性意见。

关键词:　疏散方案;　疏散模型;　人流密度;　人流速度
中图分类号:　TU 972+.4文献标识码:　A 文章编号:167124431(2010)1120155204
Mathematical Model of Evacuation Program in a Building
W A N G Wei 2hua 1,W U S hu 2xian 2,CH EN G Jian 3
(1.School of Science ,China Three G orges University ,Y ichang 443002,China ;
2.Research Center for Emergency Management ,China Three G orges University ,Y ichang 443002,China ;
3.School of Mechanical and Materials ,China Three G orges University ,Y ichang 443002,China ;
Abstract :　This article researches that how to organize personnel to escape of a building in the shortest time.In order to find out the best evacuation program ,this paper establishes a mathematical model of flow of people to evacuate.The model takes the relationship between flow velocity and flow density into account to evacuate the shortest of the objective function.According to this model solution we get a quickly evacuate optimization program of a classroom building.Through the model tests ,the au 2thorities make a number of constructive comments.
K ey w ords :　evacuation program ;　evacuation model ;　flow density ;　flow velocity
收稿日期:2010201210.
作者简介:王卫华(19662),男,讲师.E 2mail :zhangliliwwh @
进入21世纪以来,各类突发事件层出不穷。

当突发事件发生在某一特定的建筑物的时候,如果不能迅速让建筑物内的人员有组织、有秩序地疏散撤离将会造成严重的人员伤亡,严重威胁公众的生命安全。

以人为本是应急管理的一个重要原则。

对于一个特定的建筑物,应急疏散是事关多数人生命的重大问题。

当险情发生时,要在尽可能短的时间内组织人员疏散撤离,必须制定最佳的疏散方案,以最大限度地提高疏散速度,尽可能减少和避免人员伤亡。

因此,特定建筑物内的人员疏散问题是必须解决的关乎人生安全的重大问题。

国外关于疏散问题的研究始于二战后的英国,自20世纪80年代以来,关于疏散数学模型的研究不断深入,产生了一些重大成果。

国外关于拥挤人群疏散数学模型的研究大体可分为2类。

一类是将行人视为微观粒子。

其中最著名的是Helbing [1]的分子动态性模型,他将行人视为相互作用的粒子,在紧急疏散时着重考虑了恐慌系数对人员疏散的影响。

另一种是日本提出的格子气(grid 2gas )模型[2,3],人视为在格子上活动的粒子,并通过概率统计的方法来研究拥挤人群的特点。

另一类是将拥挤人群视为连续介质,应用流体力学
的方法来研究紧急疏散时速度与密度的关系。

国内疏散问题研究始于20世纪90年代,虽然起步较晚,但是发展也十分迅速。

陈宝智、张培红等[4]利用离散系统分析动力学的方法,首先对建筑物火灾时人员疏散群集流动中的疏散个体的动力学特征进行分析,建立了群集流动的运动状态方程。

对不同空间特征的疏散通道上群集流动的规律进行了研究。

同时建立了计算机仿真模型,预测应急疏散时群集流动的性状。

陆君安[5]等在前苏联的Predtechenskii Milinskii、美国的Fruin,Maclennan&Nelson、英国的Smith、日本的Ando、加拿大的Paul等人的现场观测和录像记录的基础上,利用曲线拟合的方法,得到了人流密度2人流速度关系曲线。

同时,他们又从人员在建筑物紧急疏散时同前后及左右人员拥挤对人员启动加速度的影响机理出发,建立了人员疏散动力学方程,并推导出人员在拥挤环境下的移动速度公式,进一步得到了人员移动速度与人员拥挤密度呈对数的关系。

卢春霞[6]等应用波动理论模拟了紧急疏散时速度与密度的关系。

他们将拥挤人群视为一连续介质,利用流体力学的激波理论来研究人群流动、研究人流密度、速度与激波的关系等。

基于这些研究成果对某一特定建筑物内的人员疏散方案进行了数学模型研究。

1　建模方法简述
在人员疏散问题中,疏散撤离所用的时间依赖许多因素,如果不将这些因素进行简化处理,那将是一个十分复杂的问题。

为了便于建立数学模型,寻找出较为合理的疏散撤离方案,先仅考虑A楼道口开通的情形,然后在此模型的基础上再作进一步的改进,得出更加接近实际的数学模型。

假设人员逃离出建筑物所用时间T与每个教室中的人数n i、各教室门距各层楼道口的距离L i、楼栋的层数j、楼道的长度L是成正相关的;与教室门的宽度d、走廊的宽度b、楼道的宽度b0、人流速度v是成负相关的。

另外,人员撤离前还有一个反应时间(包括从觉察险情或确认险情到对险情作出反应所用的时间),记为t0(s),则可以建立一个人员疏散方案的优化模型
min T=t0+g1(n1,L i,j,L)
min T=t0+g2(d,b,b0,v)
(1) 进一步可以将式(1)化简为各相关变量与时间T的函数关系T=t0+g3(n1,L i,j,L,d,b0,v),基于这一数学思想,建立了人流疏散数学模型。

2　人员疏散模型的构建
2.1　疏散模型的相关参数
2.1.1　人流密度
人流密度反应了人流内人员分布的稠密程度,通常是指单位面积内分布的人员的数目。

Fegress[7]认为人流密度指单位面积的疏散走道上的人员的水平投影面积,它是一个分数值,其大小为
p=
nf
((n-1)d0+nw)b0/2
(2)
其中,n为一定面积的总人数;f为单位水平投影面积(m2);d0为人流间的间距(m);w为人流间的厚度(m);b0为疏散通道宽度(m)。

式(2)中的单位水平投影面积反映整个人流内人员投影面积的综合水平。

Fegress[7]将人流内的人员按不同的年龄段分为3类人:青年人、中年人、老年人,各类人员的投影面积可按实际测量得出取平均值,然后按各类人员在人流中的百分比求加权平均值,即
f=x a+yb+zc(3)式中,f为单位水平投影面积(m2);x、y、z分别为青年人、中年人、老年人平均的单人水平投影(m2);a、b、c 分别为青年人、中年人、老年人在人流中的百分比。

2.1.2　人流速度
人流速度是指人流整体的行进速度,其值为人流首段的行进速度。

研究表明,人流速度是人流密度的函数:v=f(p),一般说来,由于性别、年龄、身体条件的不同,疏散人员的能力也各有不同。

为简化起见, 651 武　汉　理　工　大　学　学　报 2010年6月
Fegress 将楼栋里的人群视为人流处理,并具有一定的密度、速度及流
量,而不单独考虑人流内各个人员的具体特征。

图1显示了在不同疏
散路线上人员行走速度与人员密度的关系。

2.1.3　安全队列数
安全队列数是指在保证安全不拥挤的前提下,疏散通道宽度一定
时,最多允许同时通过的人员列数。

m =int [(b 0-0.238)/b 3](4)
其中,b 3为人自由行走时所需的最小宽度,int 表示取整。

2.1.4　行走速度
人在紧急状态下行走速度会比正常情况下快。

根据Predtechenskii Milinskii [8]的研究,正常情况下水平通道内的人流速度
v =(112p 4-380p 3+434p 2-217p +57)/60
(5)其中,p ≤0.92,当人流密度达到或超过这一数值时,人流便会出现拥挤或堵塞。

紧急情况下人流在水平通道内的行走速度为
v 1=v u 1(6)
式中,u 1=1.49-0.36p 。

紧急情况下人流在斜直方向(下楼梯)速度近似为
v 2=u 1v (7)
2.2　模型的假设
1)疏散时走道左右两边教室的人员各自排成一行独立有序行进,互不影响;2)撤离人员间隔均匀且行进速度保持不变;3)队列中人的身体厚度为;4)险情发生时,B 楼道口是关闭的;5)疏散时各教室内第一个人到达教室门口所用的时间忽略不计;6)全部人员的反应时间是一样的。

2.3　模型的建立
从险情发生到人员疏散结束,通常要经历2个时间阶段:
1)反应时间。

人员从发现险情到对险情作出反应所用的时间,记为t 0(s )。

2)人员疏散。

疏散开始后,人员通过走廊、楼梯间、安全出口到达安全地点,这段时间记为T 0。

某教学楼各层的平面详图如图2所示。

根据假设,疏散撤
离的队列中人与人之间的距离是常数,记为d 0(m );队列在平地
上行进的速度是常数,记为v 1(m/s );队列下楼时的速度也是常
数,记为v 2(m/s );第i 个教室中的人数为n i ,第i 个教室的长
度为X i (m ),第i 个教室的门口到A 楼道口的距离为L i (m ),教
室门的宽度为d (m ),楼道的长度为L (m ),楼道的宽度b 0(m ),
走廊的宽度b (m )。

由于该教学楼一层为空架结构,首先考虑第2层楼第1个
教室内人员的疏散。

这个教室撤空的时间是((n 1-1)d 0+
n 1w )/(m v 1),而该教室的最后1个人到达楼道口,即该室人员
全部撤到楼道口的时间是
t 21=(L 1+(n 1-1)d 0+n 1w )/(m v 1)
类似地,第i 个教室内人员全部撤空的时间是((n i -1)d 0+n i w )/(m v 1),而该室的最后一个人到达楼道口所用的时间是
t 2i =L i m v 1+(n i -1)d 0+n i w m v 1
(i =1,2,…,5) 但是在两行撤离的假设下,还应该考虑到这2支疏散队伍可能出现重叠的情形,也就是说,当第2个教室的第1个撤离者到达第1个教室的门口时,第1个教室内的人还没有疏散完毕,这时如果2支队伍同时行
751第32卷　第11期 王卫华,吴淑娴,程　建:建筑物人员疏散方案的数学模型研究
进势必造成混乱,因此需要等待第3个教室的人撤空以后第2个教室的队伍再继续前进。

不出现这种混乱情形的条件[10]是
(n1-1)d0+n1w
m v1≤
L2-L1
v1
即(n1-1)d0+n1w≤m(L2-L1)
当出现这种情形时,后面的人就以密集队形停下来等待前面的人先撤离。

由此可以得到右边5个教室内的人员(单队)完全撤离到楼道口所用时间的数学模型为
T25=L5+(n5-1)d0+n5w
m v1
,(n1-1)d0+n1w≤m(L2-L1) L1+L d0/(w+d0)+nw
m v1
,(n1-1)d0+n1w<m(L2-L1) n=n1+n2+n3+n4+n5
根据对称性知,走道人员撤离的时间应该与右边人员撤离时间大致相等,即T25=T210,也就是说,当整个二楼的人全部撤离到楼道口时用时T25。

下面,再考虑2至6层楼道口人员下楼情况,先考虑第2层第1个教室内的人从楼道口经A楼道全部下楼需要的时间是T′2=L
v2。

同样地,第层第个教室人员从楼道口经A楼道全部下楼需时间是
min T=t0+T25+L+nw (j-2)
m v2
(8) 2.4　模型的求解
为了检验模型的可行性和实用性,以某大学教学楼为例,用实际数据对所建人流疏散模型Ⅱ进行求解。

根据实际测量知,青年人的平均厚度为0.25m,平均投影面积为0.16m2,考虑到实际情况,教学楼里主要是学生,则可以认为f=x a≈x,即f=0.16。

另外,青年人自由行走时所需的最小宽度为0.7m。

实验条件:1)教室长度11.6m,教室门宽度1.0m。

2)走道长度69.7m,宽度2.4m。

3)楼道长度6.4m,宽度2.0m。

4)人员分布为每个教室人数60人,总计2400人。

对模型II求解得到移动人群之间间距大约为0.5m时,疏散时间最少,最少时间为201s。

这一疏散时间较之平时无序撤离时间短了许多。

据平时统计,仅当2、3、4楼各教室为60人时,从下课到人员全部撤离完用时也在190s左右。

通过这一数据对比,说明所建疏散模型是合理的,能够较好的指导建筑物内人员快速撤离。

3　结论与建议
人员疏散本身是比较复杂的,涉及到人的心理素质、教育、生活习惯等难以量化的因素,这些影响因素也很难准确地用数学模型来进行描述,必然造成求解结果的偏差。

从一个侧面证实了有序撤离比无序撤离时间短,所提出的建筑物人员疏散方案值得重视,应该根据楼栋不同特性进行合理设计。

基于模型的求解和分析,对有关部门提出了若干建设性意见:
a.在人流比较多的楼栋,各楼栋的楼道门要确保是畅通的,管理员不能嫌麻烦而少开楼道门;
b.各楼栋管理员要加强学习逃生守则,掌握某固定楼栋的最佳逃生方案,以便在意外事件发生时,有效指导楼内所有人员尽快逃生,并让楼道内人员知道自己安全撤离的大致时间,以舒缓他们紧张的情绪,稳定逃生秩序;
c.相关部门应该组织人员定期给楼栋人员进行安全逃生讲座,教导楼栋人员要从全局出发,自觉遵守逃生规则,并抽空进行疏散撤离演练;
d.有关部门应抽空进行疏散撤离演练,从以上实验结果看出安全逃生训练具有极强的可行性和必要性;
e.建筑公司在建造楼栋时应考虑到楼栋的用途,以便合理确定楼道宽度,走廊宽度,出口宽度等相关参数,这样可以增加疏散队列数,从而减短整体逃生时间。

(下转第162页)
后完成数据录入,数据均由相关专家和工作人员提供,数据均以EXCEL格式导入到模糊综合评价系统中,进行模糊综合评价。

系统对调入的数据直接进行数据处理,原始数据无量纲化如图2所示;构建的隶属度矩阵如图3所示;模糊综合评价结果如图4所示。

由模糊综合评价系统运行结果可知,该高速公路隧道运营管理评价系统状况评价结果V=92.18分,等级为优异。

评价结果与该公路隧道运营管理现状相一致。

从而反映出模糊综合评价方法适用于特长高速公路隧道运营管理评价,采用MA TLAB和DEL PHI开发的模糊综合评价系统实现了综合评价。

5　结　语
以特长高速公路隧道运营管理的实际工作为出发点,针对运营管理评价的工作需求,建立特长高速公路隧道运营管理评价体系。

兼顾隧道运营管理评价的模糊性,增强评价的合理性和数学逻辑性,提出采用基于层次分析法和模糊数学的模糊综合评价方法。

由MA TLAB与DEL PHI共同实现了模糊综合评价系统的软件开发。

最后以陕西某特长高速公路隧道的运营管理现状为例,验证了模糊综合评价方法对隧道运营管理评价的适用性。

模糊综合评价软件的开发,为科研人员、管理工作人员提供了评价平台。

评价系统操作简便,数据处理时间短,极大程度上提高了工作效率。

同时该系统还可应用到其它类似评价工作中,为今后的系统评价工作提供了有利的技术支持。

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(上接第158页)
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