高一数学人教B版必修第一册课件：1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定
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解：(1)省略了全称量词“任何一个”,命题的否定为：有些可以 被 5 整除的数,末位不是 0. (2)省略了全称量词“所有”,命题的否定为：存在一个能被 3 整 除的数,不能被 4 整除.
[提醒] 一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结 论,得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否 定,是在否定结论 p(x)的同时,改变量词的属性,即将全称量词改 为存在量词,存在量词改为全称量词.
[基础自测] 1．思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)命题﹁p 的否定是 p.( ) (2)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M, ﹁p(x)的真假性相反.( ) (3)从特称命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.( )
﹁p
结论
∃x0∈M,﹁p(x0)
全称命题的否定 是__特__称__命__题__
_∀__x_∈__M_,_﹁__p_(x_)_
特称命题的否定 是_全__称__命__题__
■名师点拨 (1)要否定全称命题“∀x∈M,p(x)”,只需在 M 中找到一个 x0, 使得 p(x0)不成立,也就是命题“∃x0∈M,﹁p(x0)”成立. (2)要否定特称命题“∃x0∈M,p(x0)”,需要验证对 M 中的每一 个 x,均有 p(x)不成立,也就是命题“∀x∈M,﹁p(x)”成立. 在书写这两种命题的否定时,要将相应的存在量词变为全称量词, 全称量词变为存在量词.
C [命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是“对任意实数 x,都有 x≤1”.]
2.已知命题 p：∀x>0,总有(x＋1)ex>1,则﹁p 为( ) A.∃x0≤0,使得(x0＋1)ex0≤1 B.∃x0>0,使得(x0＋1)ex0≤1 C.∀x>0,总有(x＋1)ex≤1 D.∀x≤0,总有(x＋1)ex≤1
பைடு நூலகம்
B [全称命题的否定是特称命题,所以命题 p：∀x>0,总有(x＋1)ex>1 的否定 是﹁p：∃x0>0,使得(x0＋1)ex0≤1.]
3．命题“对任意实数 x,都有 x2－2x＋2＞0”的否定为__________________.
答案：存在实数 x0,使得 x20－2x0＋2≤0
4．写出下列命题的否定： (1)可以被 5 整除的数,末位是 0； (2)能被 3 整除的数,也能被 4 整除.
[规律方法] 写全称命题与特称命题的否定的思路：在书写全称命题与特称 命题的否定时,一定要抓住决定命题性质的量词,从量词入手,书写命题的否定. 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
[跟踪训练] 1．命题“存在 x0∈R,使 2x0≤0”的否定是 ( ) A.不存在 x0∈R,使 2x0>0 B.存在 x0∈R,使 2x0≥0 C.对任意的 x∈R,都有 2x≤0 D.对任意的 x∈R,都有 2x>0
[提示] (1)√ (2)√ (3)×
2.命题“对于任意的 x∈R,x3－x2＋1≤0”的否定是( ) A.不存在 x∈R,x3－x2＋1≤0 B.存在 x0∈R,x30－x20＋1≥0 C.对任意的 x∈R,x3－x2＋1>0 D.存在 x0∈R,x30－x20＋1>0
D [选 D.全称命题的否定是特称命题,故排除 C；由命题的否定只否定结 论,不否定条件,故排除 A,B.]
解：(1)f(x)>0⇔x2＋ax－2>0,又 x≥1, 所以2－x<a(x∈[1,＋∞)),
x 设 g(x)＝2x－x(x∈[1,＋∞)), 依题意得 g(x)<a 在[1,＋∞)上恒成立.
又 g(x)在[1,＋∞)上是减函数, 所以 g(x)max＝g(1)＝21－1＝1. 因此 a>1,故实数 a 的取值范围是(1,＋∞). (2)f(x)<0⇔x2＋ax－2<0,又 x>1, 所以2x－x>a,x∈(1,＋∞), 设 g(x)＝2x－x(x∈(1,＋∞)), 依题意得 g(x)>a 在(1,＋∞)上有解, 从而 g(x)max>a.
由 g(x)在(1,＋∞)上是减函数, 所以 g(x)<g(1)＝1, 因此 a<1, 故实数 a 的取值范围是(－∞,1).
【课堂达标】
1．命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是( ) A.对任意实数 x,都有 x>1 B.不存在实数 x,使 x≤1 C.对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1
解析：选 D.“存在”改为“任意”,“≤”改为“>”,选 D.
知识点2：含量词的命题的应用
【例 2】 已知命题“对于任意 x∈R,x2＋ax＋1≥0”是假命题,求实数 a 的取 值范围.
【解】 因为全称命题“对于任意 x∈R,x2＋ax＋1≥0”的否定 形式为：“存在 x0∈R,x20＋ax0＋1<0”. 由“命题真,其否定假；命题假,其否定真”可知,这个否定形式 的命题是真命题. 由于函数 f(x)＝x2＋ax＋1 是开口向上的抛物线,借助二次函数的 图象易知Δ＝a2－4>0, 解得 a<－2 或 a>2. 所以实数 a 的取值范围是(－∞,－2)∪(2,＋∞).
3．命题“∃x0∈R,x30－2x0＋1＝0”的否定是( ) A.∃x0∈R,x30－2x0＋1≠0 B.不存在 x∈R,x3－2x＋1≠0 C.∀x∈R,x3－2x＋1＝0 D.∀x∈R,x3－2x＋1≠0
[解] 选 D.特称命题的否定是全称命题,故排除 A；由命题的否定要否定 结论,故排除 C；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”,故排除 B.
[规律方法] 若全称命题为假命题,通常转化为其否定形式——特称命题为 真命题解决,同理,若特称命题为假命题,通常转化为其否定形式——全称命 题为真命题解决.
[跟踪训练] 已知函数 f(x)＝x2＋ax－2. (1)∀x∈[1,＋∞),都有 f(x)>0,求实数 a 的取值范围； (2)∃x∈(1,＋∞),f(x)<0,求实数 a 的取值范围.
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题
的否定
教学目标：
1. 掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法，要正 确掌握量词否定的各种情势； 2. 明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定 是全称命题.
【回归教材】
p
全称命题
∀x∈M,p(x)
特称命题
∃x0∈M,p(x0)
【知识详解】
知识点1：含有一个量词的命题的否定 【例 1】 写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p：所有的方程都有实数解； (2)q：∀x∈R,4x2－4x＋1≥0； (3)r：∃x 0∈R ,x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s：某些平行四边形是菱形.
【解】 (1)﹁p：存在一个方程没有实数解,真命题. 比如方程 x2＋1＝0 就没有实数解. (2)﹁q：∃x0∈R,4x20－4x0＋1<0,假命题. 由于∀x∈R,4x2－4x＋1＝(2x－1)2≥0 恒成立,是真命题, 所以﹁q 是假命题. (3)﹁r：∀x∈R,x2＋2x＋2>0,真命题. (4)﹁s：每一个平行四边形都不是菱形,假命题.
[提醒] 一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结 论,得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否 定,是在否定结论 p(x)的同时,改变量词的属性,即将全称量词改 为存在量词,存在量词改为全称量词.
[基础自测] 1．思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)命题﹁p 的否定是 p.( ) (2)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M, ﹁p(x)的真假性相反.( ) (3)从特称命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.( )
﹁p
结论
∃x0∈M,﹁p(x0)
全称命题的否定 是__特__称__命__题__
_∀__x_∈__M_,_﹁__p_(x_)_
特称命题的否定 是_全__称__命__题__
■名师点拨 (1)要否定全称命题“∀x∈M,p(x)”,只需在 M 中找到一个 x0, 使得 p(x0)不成立,也就是命题“∃x0∈M,﹁p(x0)”成立. (2)要否定特称命题“∃x0∈M,p(x0)”,需要验证对 M 中的每一 个 x,均有 p(x)不成立,也就是命题“∀x∈M,﹁p(x)”成立. 在书写这两种命题的否定时,要将相应的存在量词变为全称量词, 全称量词变为存在量词.
C [命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是“对任意实数 x,都有 x≤1”.]
2.已知命题 p：∀x>0,总有(x＋1)ex>1,则﹁p 为( ) A.∃x0≤0,使得(x0＋1)ex0≤1 B.∃x0>0,使得(x0＋1)ex0≤1 C.∀x>0,总有(x＋1)ex≤1 D.∀x≤0,总有(x＋1)ex≤1
பைடு நூலகம்
B [全称命题的否定是特称命题,所以命题 p：∀x>0,总有(x＋1)ex>1 的否定 是﹁p：∃x0>0,使得(x0＋1)ex0≤1.]
3．命题“对任意实数 x,都有 x2－2x＋2＞0”的否定为__________________.
答案：存在实数 x0,使得 x20－2x0＋2≤0
4．写出下列命题的否定： (1)可以被 5 整除的数,末位是 0； (2)能被 3 整除的数,也能被 4 整除.
[规律方法] 写全称命题与特称命题的否定的思路：在书写全称命题与特称 命题的否定时,一定要抓住决定命题性质的量词,从量词入手,书写命题的否定. 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
[跟踪训练] 1．命题“存在 x0∈R,使 2x0≤0”的否定是 ( ) A.不存在 x0∈R,使 2x0>0 B.存在 x0∈R,使 2x0≥0 C.对任意的 x∈R,都有 2x≤0 D.对任意的 x∈R,都有 2x>0
[提示] (1)√ (2)√ (3)×
2.命题“对于任意的 x∈R,x3－x2＋1≤0”的否定是( ) A.不存在 x∈R,x3－x2＋1≤0 B.存在 x0∈R,x30－x20＋1≥0 C.对任意的 x∈R,x3－x2＋1>0 D.存在 x0∈R,x30－x20＋1>0
D [选 D.全称命题的否定是特称命题,故排除 C；由命题的否定只否定结 论,不否定条件,故排除 A,B.]
解：(1)f(x)>0⇔x2＋ax－2>0,又 x≥1, 所以2－x<a(x∈[1,＋∞)),
x 设 g(x)＝2x－x(x∈[1,＋∞)), 依题意得 g(x)<a 在[1,＋∞)上恒成立.
又 g(x)在[1,＋∞)上是减函数, 所以 g(x)max＝g(1)＝21－1＝1. 因此 a>1,故实数 a 的取值范围是(1,＋∞). (2)f(x)<0⇔x2＋ax－2<0,又 x>1, 所以2x－x>a,x∈(1,＋∞), 设 g(x)＝2x－x(x∈(1,＋∞)), 依题意得 g(x)>a 在(1,＋∞)上有解, 从而 g(x)max>a.
由 g(x)在(1,＋∞)上是减函数, 所以 g(x)<g(1)＝1, 因此 a<1, 故实数 a 的取值范围是(－∞,1).
【课堂达标】
1．命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是( ) A.对任意实数 x,都有 x>1 B.不存在实数 x,使 x≤1 C.对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1
解析：选 D.“存在”改为“任意”,“≤”改为“>”,选 D.
知识点2：含量词的命题的应用
【例 2】 已知命题“对于任意 x∈R,x2＋ax＋1≥0”是假命题,求实数 a 的取 值范围.
【解】 因为全称命题“对于任意 x∈R,x2＋ax＋1≥0”的否定 形式为：“存在 x0∈R,x20＋ax0＋1<0”. 由“命题真,其否定假；命题假,其否定真”可知,这个否定形式 的命题是真命题. 由于函数 f(x)＝x2＋ax＋1 是开口向上的抛物线,借助二次函数的 图象易知Δ＝a2－4>0, 解得 a<－2 或 a>2. 所以实数 a 的取值范围是(－∞,－2)∪(2,＋∞).
3．命题“∃x0∈R,x30－2x0＋1＝0”的否定是( ) A.∃x0∈R,x30－2x0＋1≠0 B.不存在 x∈R,x3－2x＋1≠0 C.∀x∈R,x3－2x＋1＝0 D.∀x∈R,x3－2x＋1≠0
[解] 选 D.特称命题的否定是全称命题,故排除 A；由命题的否定要否定 结论,故排除 C；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”,故排除 B.
[规律方法] 若全称命题为假命题,通常转化为其否定形式——特称命题为 真命题解决,同理,若特称命题为假命题,通常转化为其否定形式——全称命 题为真命题解决.
[跟踪训练] 已知函数 f(x)＝x2＋ax－2. (1)∀x∈[1,＋∞),都有 f(x)>0,求实数 a 的取值范围； (2)∃x∈(1,＋∞),f(x)<0,求实数 a 的取值范围.
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题
的否定
教学目标：
1. 掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法，要正 确掌握量词否定的各种情势； 2. 明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定 是全称命题.
【回归教材】
p
全称命题
∀x∈M,p(x)
特称命题
∃x0∈M,p(x0)
【知识详解】
知识点1：含有一个量词的命题的否定 【例 1】 写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p：所有的方程都有实数解； (2)q：∀x∈R,4x2－4x＋1≥0； (3)r：∃x 0∈R ,x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s：某些平行四边形是菱形.
【解】 (1)﹁p：存在一个方程没有实数解,真命题. 比如方程 x2＋1＝0 就没有实数解. (2)﹁q：∃x0∈R,4x20－4x0＋1<0,假命题. 由于∀x∈R,4x2－4x＋1＝(2x－1)2≥0 恒成立,是真命题, 所以﹁q 是假命题. (3)﹁r：∀x∈R,x2＋2x＋2>0,真命题. (4)﹁s：每一个平行四边形都不是菱形,假命题.