第5章一元函数的导数及其应用2024高二数学备考复习+PPT(新教材)

3.(2021·山东德州高三阶段检测)已知函数 f(x)＝12x2＋2aln x－(a＋2)x. (1)当 a＝1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)是否存在实宋数老a师，数使学函精数品g工(x作)＝室f(x)＋ax＋49x3 在(0，＋∞)上单调递
增？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
室 ex0＝k， 知yy00－ ＝eexx00x，0＝0，解得kx＝ 0＝e1. ，
【答案】 (1)D (2)D
归纳总结
导数的几何意义
1．导数几何意义的应用
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典例解析
专题 2 利用导数研究函数的单调性
例 2.已知函数 f(x)＝3ax－2x宋师2＋老数ln x，其中 a 为常数且 a≠0. (1)若 a＝1，求函数 f(x)的单学品调精工区间宋；老师 (2)若函数 f(x)在宋区老间师[1，数2学]作上精室为品单工调作数函室学数精，求 a 的取值范围．
(2)存在，a≥274. 因为函数g(x)＝f(x)＋ax＋94x3＝21x2＋2aln x－2x＋49x3， 所以g ′(x)＝x＋2xa－2＋34x2．
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要使函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则g ′(x)＝x＋2xa－2＋43x2≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即4x3＋3x2－6x＋6a≥0， 即a≥－4x3＋36x2－6x在(0，＋∞)上恒成立．
法二：因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 f(－
1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得 a 宋老
＝1，所以 f(x)＝x3＋x，所以师数f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1， 所以曲线 y＝f(x)在点(0，0)学处精的切线方程为 y＝x.故选 D. (2)设切点坐标为(宋x0老，y师0)，数因学为 品作精工室y品′＝工(e作宋数x)′室老学＝师精ex，所以 y′|x＝x0＝ex0， 所以切线方程为 y－y0＝ex0(x－x0)，品即工y作＝ex0x＋y0－ex0x0.故
专题 3 利用导数研究函数的极值与最值
宋老
例 3. 已知函数 f(x)＝x3＋师ax数2＋bx＋c，过曲线 y＝f(x)上的点 学精
P(1，f(1))的切线方程为 y品＝工3x＋1宋，老y＝师f(x)在 x＝－2 时有极
值．
宋老师数学作精室品工作数室学精
(1)求 f(x)的表达式；
品工作 室
(2)求 y＝f(x)在[－3，1]上的单调区间和最大值．
所以实数 m 的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
归纳总结
一些求参数取值宋范老围的问题，常转化为恒成立问题，利 师数
用 f(x)<a 恒成立⇔f(学x)精max<a 和 f(x)>a 恒成立⇔f(x)min>a 的思 想解题．存宋在老或师有数解学品作问精工室题品，工如作宋数f室(老学x)师精<a 有解⇔a>f(x)min 和 f(x)>a 有解⇔a<f(x)max 成立． 品工作
人教A版2019选修第一册
第 5 章一元宋师函老数 数的导数及其应用 学精 品工 宋老师 宋老师数学作精室品工作数室学精 品工作 单元复室习课件
导数的概念 及其意义
导数的概念 抽象 瞬时速度切线斜率 导数的几何意义
宋老师数基学本精初品等工函作数室的导数公式
导 数
导数的运算
导数的四则运算法则
简单复合函数的导数
室 所以 12－4a＋b＝0，③
由①②③联立解得 a＝2，b＝－4，c＝5，
则 f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.
(2)f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)． 宋老
当 x 变化时，f′(x)及师f数(x)的变化情况如下表：
x
宋－老3 师(－数32学，)学品作－精精工室品－工2 作宋数－室老学2师精，23
[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝12x2＋2ln x－3x(x>0)． 所以f ′(x)＝x＋2x－3＝x2－3xx＋2＝x－2xx－1. 令f ′(x)>0，则宋0老<x师<数1或学x精>2品，工作室 令f ′(x)<0，则1<x<2， 所以f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2，＋∞)， 单调递减区间为(1，2)．
f(x)的增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．
(2)f(－4)＝－43，f(－宋师2老数)＝238，f(2)＝－43，f(3)＝1，则当 x∈[－ 学精
4，3]时，f宋(x老)的师最数大学值品作精为工室品238工，故作宋数要室老学使师精 f(x)≤m2＋m＋130对 x∈[－ 4，3]恒成立，只要238≤m2＋品室m工＋作130，解得 m≥2 或 m≤－3.
（3）检验f ′(x)＝0的根的两侧f ′(x)的符 （3）当f (x)在[a，b]上单调时，其最值在区间端点
号.
取得；
若左正右负，则f (x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f (x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f (x)的极值点.
（4）当f (x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这 一点处f (x)有极大（小）值，则可以断定f (x)在该点处 取得最大（小）值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞).
所以－4x3＋36x2－6x在(0，＋∞)上的最大值为274，
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所以a≥274.
所以存在a≥274，满足题意．
4．(2021·全国乙卷)设函数 f(x)＝ln(a－x)，已知 x＝0 是函数 y＝xf(x) 的极值点．
(1)求 a； (2)设函数 g(x宋)＝老x师＋xf数fx学x精.证品明工：作g室(x)<1．
典例解析
专题 4 利用导数研究不等式问题
宋老 例 4．已知函数 f(x)＝师学13x数精3＋ax＋b(a，b∈R)在 x＝2 处取得极
小值－43.
品工 宋老师 宋老师数学作精室品工作数室学精
(1)求函数 f(x)的增区间；
品工作 室
(2)若 f(x)≤m2＋m＋130对 x∈[－4，3]恒成立，求实数 m 的取
归纳总结
函数的单调性与导数的关注点 (1)关注函数的定义域，宋师单老数调区间应为定义域的子区间． (2)已知函数在某个区间学上精的单调性时转化要等价． (3)分类讨论宋求老函师数数的学单品作精调工室品区工间作宋数实室老学质师精是讨论不等式的解集． (4)求参数的范围时常用到分离品参工数作法．
室
典例解析
令h(x)＝4x3＋36x2－6x，x∈(0，＋∞)， 则h ′(x)＝2x2＋x－1＝(2x－1)(x＋1)， 所以当x∈(0，12)时，h ′(x)<0， h(x)在(0，12)上宋单老师调数递学减精；品工作室 当x∈(21，＋∞)时，h ′(x)>0， h(x)在(12，＋∞)上单调递增．
所以x＝21是h(x)的极小值点，也是最小值点，且h(12)＝－274，
品工作 令 h(x)＝4x－1x(1≤x≤2)，易室知函数 h(x)在[1，2]上单调递增，
故 h(1)≤h(x)≤h(2)．
所以3a≥h(2)或3a≤h宋师(1老数)， 即3a≥4×2－12＝125或学品3a精工≤4×宋1－老11师＝3， 解得 a<0宋或老0师<a数≤学25作或精室品a≥工1作数品室. 室学工精作 故 a 的取值范围为(－∞，0)∪0，25∪[1，＋∞)．
品工作 室
【解】 (1)当 a＝1宋时老，f(x)＝3x－2x2＋ln x，其定义域为(0，
＋ ∞) ， 则
师数 f′(x学) 精＝
品工
1 x
－
4x
＋
宋老师
3
＝
－4x2＋3x＋1 x
＝
－（4x＋宋1老） x 师（数x－学1作精）室品(x>工0)作数品，室学工精作
当 x∈(0，1)时，f′(x)>0，故室函数 f(x)在区间(0，1)上单调递
2 3
23，1
1
f′(x)
＋
0
品工－作 室
0
＋
f(x) 8
13
95 27
4
宋老 f(x)极大值＝f(－2)＝13师，数f(1)＝4，
所以 f(x)在[－3，1学]上精的最大值为 13，
品工 宋老师
函
数
的
单宋调老增师数区学间作精为室品( －工3作数，室学－精2) 品工作
，23，1， Nhomakorabea单
调
减
区
间
为
－2，23.
f 1 1， f 1 2 ，
因此，所求切线的方程为 y 1 2x 1 ，即 y 2x 1.
2.
(2021·全 国 甲 卷 ) 曲 线
y
＝
2x－1 x＋2
在
点
(
－
1
，
－
3)
处
的
切
线
方
程
为
__5_x__－__y＋__2_＝___0_.
[解析] 由题，当x＝－1时，y＝－3，故点在曲线上． 求导得：y ′＝2x宋＋老2x师＋－数22学2x精－品1工＝作x室＋522， 所以y ′|x＝－1＝5． 故切线方程为5x－y＋2＝0． 故答案为：5x－y＋2＝0．
室
真题演练 宋老师数学精品工作室
1．（2020·全国高考真题）函数 f (x) x4 2x3 的图像在点 (1，f (1)) 处 的切线方程为（ ） A． y 2x 1 B． y 2x 1 C． y 2x 3 D． y 2x 1
【答案】B
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【详解】 f x x4 2x3 ， f x 4x3 6x2 ，
导数在研究 函数中的应
用
函数的单调性 函数的极值与最大(小)值
典例解析
专题 1 导数的概念与几何意义
例 1.(1)设函数 f(x)＝x3＋(a－宋1)老x2＋ax.若 f(x)为奇函数，则曲
线 y＝f(x)在点(0，0)处的切线师学方数精程为(
)
A．y＝－2x C．y＝2x
B．品y＝工－x 宋老师 宋老师数D．学作y精＝室品x 工作数品室学工精作
【解】 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，过 y＝f(x)上点 P(1，f(1))的
切线方程为 y－f(1宋)＝老f′(1)(x－1)，即 y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋ 2a＋b)(x－1)， 师数
学精 故3a＋ ＋2ba＋宋＋c老－b＝师2＝3数，1学，品作精即工室品a2工＋a＋作宋数b＋b室老学＝c师精＝0，3，①② 因为 y＝f(x)在 x＝－2 时有品极工值作，故 f′(－2)＝0，
室
归纳总结
应用导数求函数极值的一般步骤
求函数f (x)在闭区间[a，b]上最值的方法与步骤
（1）确定函数f (x)的定义域；
（1）求f (x)在(a，b)内的极值；
（2）求方程f ′(x)＝0的根；
（2）将（1）求得的极值与f (a)，f (b)相比较，其
宋老师数学精品工中作最室大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值.
[解析] (1)由f(x)＝ln(a－x)⇒f ′(x)＝x－1 a，
增；
当 x∈(1，＋∞)时宋，老f′(x)<0，故函数 f(x)在区间(1，＋∞)上
单调递减．
师数
学精 所以 f(x)的单调递增品区工间为宋(0老，1师)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)由题易宋得老f师′(x数)＝学作3a精－室品4x工＋作数品1x(室学工x>精作0)，
因为函数 f(x)在区间[1，2]上室为单调函数，
所以在区间[1，2]上，f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立，
即3a－4x＋1x≥0 或3a宋－老4x＋1x≤0 在 x∈[1，2]时恒成立，即3a≥ 师数
4x－1x或3a≤4x－1x(学品1≤精工x≤2宋)，老即师3a≥4x－1xmax或3a≤4x－1x min，其宋中老1≤师x数≤学2作.精室品工作数室学精
(2)已知直线 y＝kx 是曲线 y＝ex 的切室线，则实数 k 的值为
()
A.1e
B．－1e
C．－e
D．e
【解析】 (1)选 D.法一：因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax
为奇函数，所以 f(－x)＝－宋f(x老)， 师数
所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a学(－精x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所 以 2(a－1)x2＝0，宋因老为师x数∈学R品作精，工室品所工以作宋数a＝室老学1师精，所以 f(x)＝x3＋x， 所以 f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1，品所工以作曲线 y＝f(x)在点(0， 0)处的切线方程为 y＝x.故选 D. 室
值范围．
【解】 (1)由已知宋师得老数f(2)＝－43，f′(2)＝0，又 f′(x)＝x2＋a， 学精
所以83＋宋2a老＋师b＝数－学43品作精，工室品4＋工a作＝宋数室0老学，师精解得 a＝－4，b＝4，则 f(x) ＝13x3－4x＋4.令 f′(x)＝x2－品室4>工0，作得 x<－2 或 x>2，所以函数