南京林业大学19-20-1线性代数B(A卷)

南 京 林 业 大 学 试 卷(A 卷)
课程 线性代数B 2019~2020学年第 1 学期
一、 填空题（每题3分，共15分）
1. 若三阶行列式11
1221
22
30
30=30
6
1
a a a a ，则11
12
21
22
a
a a a = 1 . 2. 设A 为3阶可逆阵，且其伴随矩阵*=A 10012202321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 则-1=A 100220321⎛⎫ ⎪± ⎪ ⎪
⎝⎭
．
3. 设A 为三阶矩阵，满足20,0,230,A E A E A E +=-=-=则行列式=
A 3
-．
4. 设齐次线性方程组0AX =中的系数矩阵A 为86⨯矩阵，且A 的秩()4R A =，则其基础解
系中所含解向量的个数为 2 .
5. 若矩阵20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵10002000y -⎛⎫
⎪
Λ= ⎪
⎪⎝⎭
的特征多项式相同,则x =0
.
二. 选择题（每题3分，共15分）
1. 设A 为三阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，且22A =，则1(4)3A A --=*
( D )。

（A ）
1627 （B ）1627- （C ）12 （D ）12
- 2. 设n 阶方阵,A B 和C ,则下列说法正确的是( B )。

（A ）AB AC =，则B C = （B ）0AB =，则0A =或0B = （C ）()
1
11AB A B ---= （D ）()2
222A B A AB B +=++
3. 向量组123(1,0,),(5,,),(3,1,)T
T
T
t t t t ααα→→
→
===的秩为3，则（ D ）。

（A ）02t t ==或 （B ）12t t ≠≠-且
（C ）12t t ==-或 （D ）02t t ≠≠且
4. 设A 是n m ⨯矩阵，0=AX 是非齐次线性方程组b AX =所对应的齐次线性方程组，则下列
题号 一 二 三 四 五 总 分
得分
结论正确的是（ D ）
（A ）. 若0=AX 仅有零解，则b AX =有唯一解 （B ）. 若0=AX 有非零解，则b AX =有无穷多个解 （C ）. 若b AX =有无穷多个解，则0=AX 仅有零解 （D ）. 若b AX =有无穷多个解，则0=AX 有非零解
5. 设2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵211()3
A -有一个特征值等于（
B ）
（A ）43 （B ）34 （C ）12 （D ）14
三、计算题（每小题9 分，共27分）
1. 设行列式1121
2532
22211474
D -=------，记ij A 为D 中元素ij a 的代数余子式，
计算2122232442A A A A -++。

解：2122232442A A A A -++ 11211
142
22211474
--=
------ --3分
11210021000630555
-==---- ---9分 2、设301110014A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
且2AX A X =+，求矩阵X 。

解： 由于-20A E ≠，所以()2A E -可逆，故()
1
2X A E A -=- ---3分
(
)1013011005222110110010432012014001223A E A --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
---6分
所以522=432223X --⎛⎫ ⎪
-- ⎪ ⎪-⎝⎭
---9分
3、求矩阵212341352012A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
的列向量组的秩及一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组
线性表出。

解：(,,,)a b c d = 212321234135011120120111⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
212301110000⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪⎝⎭11012
01110000⎛⎫
⎪
⎪→ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
------5分 行向量组的秩为2，它的一个最大无关组：,a b
且12
c a b =+ ；
d a b =+。

------9分
四、计算、讨论题（每小题12 分，共36分）
1. 已知线性方程组2123123123
1x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩
讨论λ取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？无穷多解时，请求解。

解：系数行列式1
111111
1=(2)11=(2)01111111001A λλλ
λλλλλλλλ
=++--- 2=(2)(1)0λλ-+-=
（1）当12-≠≠λλ且时，原方程组有唯一解。

-------4分
（2）当2-=λ时， (
)112412122111A A b -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝
⎭112403360003-⎛⎫
⎪
→-- ⎪ ⎪⎝⎭
()()
2,3,R A R A ==原方程组无解。

-------7分
（3）当1=λ
时，111100000000A ⎛⎫
⎪
→ ⎪ ⎪⎝⎭
所以导出组的基础解系为()()121,1,0,1,0,1T T
εε=-=-
原方程组的一个特解()1,0,0T
η=
，则原方程组的通解为
112212111100010X c c c c εεη--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （12,c c 为任意常数） ----12分
2、求矩阵111030414A -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
的特征值和特征向量。

解：(1)由题意
2111
30(3)04
1
4λλλλλ
---=--=--， 特征值为1230,3λλλ===； （6分）
10λ=时，
()+00A E x ⋅=基础解系为1(1,0,1)T p =；
属于10λ=的特征向量为1(1,0,1)T
kp k =，0k ≠ （9分）
233λλ==时，
()30A E x -=基础解系为21(
,1,0)4T p = ；31
(,0,1)4
T p = ； 属于232λλ==的特征向量为2233k p k p +，23k k 、不全为0 （12分）
3. 已知三阶方阵2
4221121221t A t t t ⎛⎫
⎪
=
⎪ ⎪++⎝
⎭
，就t 的值讨论矩阵A 的秩()R A 解：对矩阵A 进行初等行变换有
2
4221
121221t A t t t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝
⎭()()2
121112*********
1
20
02121t t
t
t
t t t t ⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭
----6分
（1）当1
2
t ≠
且-1t ≠时，()3R A =； -------8分
（2）当1t=2时，有111000000A ⎛⎫
⎪
→ ⎪ ⎪⎝⎭则()1R A =； ------10分
（3）当=-1t 时，有112033000A -⎛⎫ ⎪
→- ⎪ ⎪⎝⎭
则()2R A =。

-------12分
五、证明题（共7分）
设A 为3阶方阵，12,αα→
→
为A 的属于特征值1,1-的特征向量，向量3α→
满足3123A αααα→
→
→
→
=++, 证明：123,,ααα→
→
→
线性无关。

证明：
设存在一组数123,,k k k 使得等式1122330(1)k k k ααα→
→
→
→
++=----成立，
所以1122330A k k k ααα→→→
→
⎛⎫++= ⎪⎝⎭
又因为12,αα→
→
为A 的属于特征值1,1-的特征向量，所以12,αα→
→
线性无关
有1122,A A αααα→
→
→
→
==-，又3123A αααα→
→
→
→
=++ （3分）
所以()()131232330(2)k k k k k ααα→→→→
++-++=------- 联立（1）（2）整理得()3123220k k k αα→→→
+-+=
所以230,0k k == ，回代（1）式因1α→
是非零列向量，所以10k = 故123,,ααα→
→
→
线性无关。

（7分）。