数学成才之路必修四1-3-1

1.3 第1课时
一、选择题
1．(07·湖北)tan690°的值为( )
A ．－33 B.33
C. 3
D ．－ 3 [答案] A
[解析] tan690°＝tan(－30°＋2×360°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－
33，选A. 2．已知f (x )＝cos x 2
，则下列等式成立的是( ) A ．f (2π－x )＝f (x )
B ．f (2π＋x )＝f (x )
C ．f (－x )＝－f (x )
D ．f (－x )＝f (x )
[答案] D
[解析] ∵f (－x )＝cos －x 2＝cos x 2
＝f (x )，∴选D. 3．函数f (x )＝cos πx 3
(x ∈Z )的值域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－12，0，12
，1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－12，12
，1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－32，0，32
，1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－32，32，1 [答案] B
[解析] 对x 依次赋值0,1,2,3,4，…，很容易选出．
4．已知sin(π＋α)＝35
，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( ) A ．－45
B.45 C ．±45
D.35
[答案] B
[解析] ∵sin(π＋α)＝35，∴sin α＝－35
， 又α是第四象限角，∴cos α＝
1－⎝⎛⎭⎫－352＝45， ∴cos(α－2π)＝cos α＝45
. 5．已知sin
5π7＝m ，则cos 2π7的值等于( ) A ．m
B ．－m C.1－m 2
D ．－1－m 2 [答案] C
[解析] ∵sin 5π7＝sin ⎝⎛⎭⎫π－27π＝sin 27
π， ∴sin 27π＝m ，且27π∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos 2π7
＝1－m 2. 6．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，且ab ≠0，α≠k π(k ∈Z )．若f (2009)＝5，则f (2010)等于( )
A ．4
B ．3
C ．－5
D ．5
[答案] C
[解析] ∵f (2009)＝a sin(2009π＋α)＋b cos(2009π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，
∴a sin α＋b cos β＝－5.
∴f (2010)＝a sin α＋b cos β＝－5.
7．(2010·全国卷Ⅰ理，2)设cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k 2
k
B ．－1－k 2k C.k
1－k 2 D ．－k 1－k 2
[答案] B [解析] 因为sin80°＝1－cos 280°
＝1－cos 2(－80°)＝1－k 2，
所以tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k 2k
. 8．设tan(5π＋α)＝m (α≠k π＋π4
，k ∈Z )，则 sin(α－3π)＋cos(π－α)sin(－α)－cos(π＋α)
的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1
C ．－1
D ．1
[答案] A [解析] ∵tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m .
原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1
. 二、填空题
9．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫7π6－θ＝________. [答案] －33
[解析] sin ⎝⎛⎭⎫7π6－θ＝sin ⎣⎡⎦
⎤π＋⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－33
. 10．若|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，则角α的取值范围是________．
[答案] [2k π－π，2k π]，(k ∈Z )
[解析] ∵|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，
∴|sin α|＝－sin α，∴sin α≤0，
∴2k π－π≤α≤2k π，k ∈Z .
11．sin 2π5，cos 6π5，tan 7π5
，从小到大的顺序是________． [答案] cos 6π5<sin 2π5<tan 7π5
[解析] ∵cos 6π5＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π5＝－cos π5
， tan 7π5＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋2π5＝tan 2π5>sin 2π5
>0， ∴cos 6π5<sin 2π5<tan 7π5
. 12．化简：
(1)cos(α－π)tan(α－2π)tan(2π－α)sin(π＋α)
＝________； (2)sin 2(－α)－tan(360°－α)tan(－α)－sin(180°－α)cos(360°－α)tan(180°＋α)＝________； (3)sin(2π－α)tan(α＋π)tan(－α－π)cos(π－α)tan(3π－α)
＝________. [答案] (1)－tan α (2)－tan 2α (3)tan 2
α
[解析] (1)原式＝(－cos α)·tan α·(－tan α)－sin α
＝－tan α.
(2)原式＝sin 2α－(－tan α)·(－tan α)－sin α·cos α·tan α＝－tan 2α.
(3)原式＝－sin αtan α(－tan α)－cos α(－tan α)
＝tan 2α. 三、解答题
13．已知tan(π＋α)＝－12
(1)2cos(π－α)－3sin(π＋α)4cos(α－2π)＋sin(4π－α)
； (2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．
[解析] tan(π＋α)＝－12tan α＝－12
， (1)原式＝－2cos α－3(－sin α)4cos α＋sin(－α)
＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α
＝－2＋3×⎝⎛⎭⎫－124－⎝⎛⎭
⎫－12＝－79. (2)原式＝sin(－6π＋α－π)·cos(4π＋π＋α)
＝sin(α－π)·cos(π＋α)＝－sin α·(－cos α)
＝sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25
. 14．化简tan(2π－α)sin(－2π－α)cos(6π－α)cos(α－π)sin(5π－α)
. [解析] 原式＝(－tan α)·(－sin α)·cos α(－cos α)·sin α
＝－tan α.
15．已知cos(75°＋α)＝13
，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值． [解析] ∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)＝－13
， sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)]
＝－sin(75°＋α)，
∵cos(75°＋α)＝13
>0， 又∵α为第三象限角，
∴sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)
＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223
， ∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－13＋223
. 16．化简： ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋cosα1－cos α－1－cosα1＋cosα. [分析] “脱”去根号是我们的目标，这就希望根号下能成为完全平方式，注意到同角三角函数的平方关系式，利用分式的性质可以达到目标．
[解析] 原式＝⎝
⎛⎭⎪⎫(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α· ⎝
⎛⎭⎪⎫(1＋cosα)2sin 2α－(1－cos α)2sin 2α ＝
⎝⎛⎭⎫1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|⎝⎛⎭⎫1＋cos α|sin α|－1－cos α|sin α| ＝2sin α|cos α|·2cos α|sin α|
＝⎩⎪⎨⎪⎧
4 (α在第一、三象限时)，－4 (α在第二、四象限时). [点评] 注意变形的技巧，对于1＋sin α1－sin α
.我们可以分子、分母同乘以1＋sin α，也可以分子、分母同乘以1－sin α，但分母变为“单项式”更方便些，故选择同乘以1＋sin α.
17．已知sin θ、cos θ是方程x 2－(3－1)x ＋m ＝0的两根．
(1)求m 的值；
(2)求sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ
的值． [解析] (1)由韦达定理可得
⎩⎨⎧
sin θ＋cos θ＝3－1 ①sin θ·cos θ＝m ②
由①得1＋2sin θ·cos θ＝4－2 3.
将②代入得m ＝32－3，满足Δ＝(3－1)2－4m ≥0， 故所求m 的值为32－ 3. (2)先化简：sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ
＝
sin2θ
sinθ－cosθ
＋
cos2θ
cosθ－sinθ
＝
cos2θ－sin2θ
cosθ－sinθ
＝cosθ＋sinθ＝3－1.。