数列中的子数列

数列中的子数列
1、在等差数列{}a 中，公差0≠d ，412a a a 与是的等比中项，已知数列1a ，3a ，1k a ，2k a …n k a 成等比
数列，求数列{}n k 的通项（汕尾统考试题）
解：依题意)3()(1121412
2d a a d a a a a +=+⋅=即 得：d a d ⋅=12 10a d d =∴≠ 故1111)1()1(na a n a d n a a n =-+=-+= 新数列{}n k k k c a a a a a n 记为......,,,2131 则132113,a a c a c === {}n c 等比 ∴公比3=q 113-=∴n n a c 又1123++==n n k a c a n 而1a k a n k n ⋅= 1113a k a n n ⋅=⋅∴+ 13+=∴n n k
2、已知数列{}n a 为等差数列，公差0≠d ，由{}n a 中的部分项组成的数列：n b b b b a a a a ...,,321为等比数列，其中.17,5,1321===b b b
（1）求数列{}n b 的通项公式 （2）记n n n n n n b c b c b c T +++=...2211 求n
n n
n b T +∞→4lim
解：（1）由已知可得1751,,a a a 等比，1712
5a a a ⋅=∴ )16()4(1121d a a d a +=+∴ 得：d a d 12816= 0≠d d a 21=∴ d n d n a a n )1()1(1+=-+=∴
新数列{}
n b a 的公比326151
2===
=
d
d
a a a a q
b b 131-⋅=∴n b b a a n , 又d b a n b n )1(+= d b d n n )1(321+=⋅∴- 1321-⋅=∴-n n b
（2）)132(...)132()112(112
1
-⋅++-⋅+-⋅=-n n
n n n n c c c T
[][]
n
n n n n n n n n c c c c c c +++-⋅++⋅+⋅=
...3 (333)
2212211
[][]
312432121)31(32+-⋅=---+=n n n n 3213243124324l i m 1=-⋅++-⋅=+∴-∞→n n
n n n
n n n b T 3、已知一个数列{}n a 各项是1或0，首项为1，且在第k 个1和第1+k 个1之间有12-k 个0，则第20
个1是该数列的第几项 解：所有的1构成一个子数列{}n c ，1=n c ,设)(n f n a c = 则1)1(=f ，且有：n n f n f 2)()1(+=+ )1()]1()2([...)]2()1([)]1()([)(f f f n f n f n f n f n f +-++---+--=∴
11]1...)2()1[(22
+-=+++-+-=n n n n
4014013
120042004)2004(2=+-=∴f 即第2004个1是该数列的第4014013项
4、将数列{}n a （其中12-=n a n ）按第)12(-n n 组有个数进行分组得：}17,15,13,11,9{},7,5,3{},1{…则
1991位于第n n 组
解：设第n 组第1个数为)(n f n a c = 则1)1(2)1()(,1)1(--+-==n n f n f f ，由迭加法易求得
3421)22(222)(22)(2+-=-+-==∴+-=n n n n a c n n n f n f n ，设1991位于第n 组，则：
⎪⎩⎪
⎨⎧>≤--⇒⎩⎨
⎧>≤+995
0994219911991221n n n c c n n 得32=n ∴1991位于第32组
5、设}{n n a A 为数列的前3),1(2
3
11=-=a a A n n 得项和，数列{}n b 的通项公式为34+=n b n （1）、求数列{}n a 的通项公式
（2）、把数列{}n a 与{}n b 的公共项按从小到大的顺序排成一个新
数列{}n d ，求{}n d 的通项 解：（1）当3:)1(23,1111=-=
=a a a n 得时，当)(2
3
,211---=-==n n n n n n a a A A a a 由时，得：}{31
n n n
a a a ∴=-等比，故有n n a 3= （2）设)(n f n a d =经计算知63127
b a d === 3)1(=∴f }{,1)23(4)34(3333
1)()(1
)(1)(n n f n f n f n f b a k k a ∉++=+⋅=⋅=+++故
而}{3)69(4)34(9692)(n k n f b b k k a ∈=++=+⋅=++ 故2)()1(2)(1+=+∴=++n f n f a d n f n
2,)}({公差为等差n f ∴，又1212312)(3)1(++==∴+=∴=n n n a d n n f f
6、已知数列{}n a 中，n n n n n a a a a S a a a ++++==⋅=+...,4,132111求且
解：令41,4:12121===⋅=a a a a n 知由得，再由⎪⎩⎪⎨⎧==++++n
n n n n n a a a a 4
41121 两式相除得：42=+n n a a
故{}k a 2是以4为首项，4为公比的等比数列 {}12-k a 是以1为首项，4为公比的等比数列。

当k
k n a a a a a a S k n 2421231......,2++++++==-时)12(3
541)41(44141-=--⋅+--=n
k k
当)52(3
141)41(44141......,12212
2421231-=--⋅+--=+++++++=-=+---n k k k k n a a a a a a S k n 时
故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-)52(3
1)12(352n n
n
S 为奇数为偶数n n 7、已知数列{}n a 满足条件：r a a ==21,1 )0(>r ，且{}1+⋅n n a a 是公比为q )0(>q 的等比数列,
设n n n a a b 212+=- ...)3,2,1(=n
（1）求使不等式32211+++++⋅>⋅+⋅n n n n n n a a a a a a 成立的q 的范围 (2 ) 求n n n
n n b b b S S b +++=+∞→...,1
lim
21其中和
(3 ) 设}log log {,21
,122122
.19n
n b b q r +=
-=求数列的最大项和最小项 解:(1)依题01>⋅+n n a a 恒成立,不等式化为2
51251:,12+<<->+q q q 解得
结合0>q 知)251,0(+∈q
(2) 由n
n n n n n a a a a a a q 2
121++++=⋅⋅=
故{}q r a a k ,22为首项是以=为公比的等比数列,12-⋅=∴k k q r a
同理{}q a a k ,1112为首项是以=-为公比的等比数列, 112--=∴k k q a 1212)1(--+=+=∴n n n n q r a a b
⎪⎩⎪⎨⎧--⋅++⋅=∴q q r r n S n n 11)1()1(
)1()1(≠=q q ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-⋅+-+=⇒)1()1()1()1(11n
n q r q r n S )1()1(≠=q q
⎪⎩⎪⎨⎧+-=∴+∞→r q S n n 110
1lim )
10()1(<<≥q q (3) n n q n r q r b n n -=-+=⋅-++=+=-2.202
1
log )1(2log log )1()1(log )1(log log 2
2
.19222122 故
2
.201
12.202.19log log 212-+
=--=+n n n b b n n 记202121
2...1:log log C C C b b C n
n n >>>>=
+则 且:1...2021>>>C C
故所求最大项为498.01121=+
=C 所求最小项为42
.01120-=-=C
数列的递推(一)
（一）迭(叠)加法: 若数列}{n a 满足)(,11n f a a a a n n =-=+,则可迭加法:在前式中分别
令n 取1,2,3…)1(-n 所得1-n 个式子累加起来得:a m f a n m n ∑-=+=
1
1
)(
（二）迭乘法: 若数列}{n a 满足)(,
1
1n f a a a a n n
==- 则可使用迭乘法:同理可得: a m f a a a a a a a a a a n m n n n n n n n ⋅∏=⋅⋅⋅=-=-----)( (1111)
2
32211 (注:∏为连乘号)
（三）待定系数法: 若数列}{n a 满足βα+⋅==+n n a a a a 11,, 则可使用待定系数法:
设)(1x a x a n n +=++αx a a n n )1(1-+⋅=⇔+αα,从而有1
)1(-=⇒=⋅-αβ
βαx x 为常数
由}{x a n +是以α为公比的等比数列可得:1
)1()(11
1--⋅-+=∴⋅+=+--αβααβαn n n n a a x a x a （四）特征方程法：若数列}{n a 满足0,,1221=⋅+⋅+==++n n n a a a b a a a βα，则可先解方程： 212,0x x x x 得两根=+⋅+βα，则必有：
（由韦达定理可证得结论成立）（21x x ≠） ⇔⋅-=⋅-+++)(211122n n n n a x a x a x a 012=⋅+⋅+++n n n a a a βα)(112112n n n n a x a x a x a ⋅-=⋅-⇔+++
上式说明121}{x a x a n n 是以⋅-+为公比的等比数列（211}{x a x a n n 是以⋅-+为公比的等比数列） 从而得1
1
12221)(-+⋅⋅-=⋅-n n n x a x a a x a 再由等式两边除以1
2
+n x 得：
1
212
2
2
2
1
2
1)(
)(
-++⋅⋅-=-
n n
n n n x x x x a b x a x a 迭加法可求出12
1++n n x a 进上步可得}{n a 的通项必有形状： n n
x p x m a ⋅+⋅=),,(解方程求出
也可由其中b a a a p m ==
以上四种方法对应的递推关系，我们习惯上称之为：象等差型（迭加法）、象等比型（迭乘法）、一阶
线性递推（待定系数）、二阶线性递推（特征方程）
（五）归纳法：先计算...,,321a a a 猜想通项，再用数学归纳法证明，归纳法适用于任何递推关系。

1、数列}{n a 满足21=a ，对于任意*
∈N n 都有0)1(02
112=-⋅+⋅+>++n n n n n na a a a n a 且 又知数列}{n b 的通项为12
1
+=-n n b <1>求通项n a 及它的前n 项和n S <2>求}{n b 的前n 项n T
<3>猜想n n T S 和的大小关系，并说明理由。

解：<1> 0)1(2
1
12=⋅-⋅+⋅+++n n n n a n a a a n 可化为：0)1()(1
21=+--⋅++n a a a a n n
n n n
解之得：
11
1-+=+或n
n a a n n （舍去）
n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n 221
2...211...11232111=⋅⋅⋅--⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅=
∴-----
)1()...321(2+⋅=++++⋅=∴n n n S n
<2> 12)2...221(12-+=+++++=-n n T n n n <3> 122--=-n S T n n n 经计算有：11S T =
当n n S T n <≤≤,42时 当n n S T n >≥,5时 （用数学归纳法证明） (略)
2、（2004年天津市高考题）已知定义在R 上的函数)(x f 和数列}{n a 满足下列条件： )(,11-==n n a f a a a （...4,3,2=n ）
，)()()(,1112---=-≠n n n n a a k a f a f a a （...4,3,2=n ） （其中k a ,为常数为非0常数） <1> 令n n n a a b -=+1 (*
∈N n ),证明：}{n b 是等比数列
<2> 求数列}{n a 的通项n a
<3>当n n a k +∞
→<lim ,1求时
解:<1> 证明：由)()()(11---⋅=-n n n n a a k a f a f ,可得：111:),(--+⋅=-⋅=-n n n n n n b k b a a k a a 即
由...0,0,032121≠≠≠-=b b a a b 可知故}{n b 是公比为k 的等比数列
<2> 由<1>知 221211])([)(----⋅-=⋅-==-n n n n n k a a f k a a b a a 由迭加法得: a k k a a f a k
k k a a f a n n n +-⋅-=+++++⋅-=--1
])([)...1(])([1
2
2 )1(≠k
若a a a f n a k n +-⋅-==])([)1(,1则
<3> 1<k 0lim 1
=∴-+∞
→n n k
a a a f k
a n n +-⋅-=
∴+∞
→])([11
lim 3、正数数列}{n a 的前n 项和为12,+=n n n a S S 且，试求：<1>通项n a <2>设1
1
+⋅=
n n n a a b
求证：2
1...321<
++++n b b b b 解：<1> 当122,1111+===a a S n 时得：10)1(121=∴=-a a
当⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=≥--2
112)21()21(,2n n n n a S a S n 由时相减得： 1122
21222)1()1(4-----+=+-+=n n n n n n a a a a a a a a
0)(2)()(111=+--⋅+⇒---n n n n n n a a a a a a 0)2()(11=--⋅+⇒--n n n n a a a a
2011+=∴≠+--n n n n a a a a }{n a ∴是以1为首项，2为公差的等差数列12-=∴n a n
<2> )1
21
121(21)12()12(1+--⋅=+⋅-=∴n n n n b n
2
1)1211(21)121121...5131311(21...321<+-⋅=+--++-+-=
++++∴n n n b b b b n 4、已知点的序列)0,(n n x A *
∈N n ，其中a x x ==21,0 213),0(A A A a 是线段>中点，324A A A 是的中
点......12--n n n A A A 是线段的中点，求n n x +∞
→lim
解：由中点坐标公式可得：212
1
21--⋅+⋅=
n n n x x x
解法一：归纳法：a x a a
a x a a x a x x 8
5,4322,2
2
0,,05
4321==+
=
=+===
a x n n ⋅-⋅+
=])2
1
(3432
[:猜想 (可用特征方程猜） 下面用数学归纳法证明： 01 2,1=n 时，猜想成立。

02 假设k n ≤时猜想成立（2>k ），那么1+=k n 时
a x x x k k k k k ⋅-⋅++-⋅+⋅=+⋅=
--+])21
(3432)21(3432[21)(21111
])2
1
(3432[])21()2(32)21(3232[1+-⋅+=⋅-⋅-⋅+-⋅+=k k k a 猜想成立
综上0
02,1可知猜想成立，a x n n 32lim =∴+∞→
（利用特征方程可得下列解法）
解法二：2112121212121-----⋅+=⋅+⇔⋅+⋅=
n n n n n n n x x x x x x x 故⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-121n n x x 是常数列 a x x n n =⋅+
∴-121 再由待定系数法知：)32
(21321a x a x n n ⋅-⋅-=⋅--
1)21()32(32--⋅⋅-=⋅-∴n n a a x n n a a x )21(3432-⋅⋅+⋅=∴ a x n n 32
lim =∴+∞→
解法三：)(2
1
212121121------⋅-=-⇔+⋅=n n n n n n n x x x x x x x 从而可得：
21)2
1
(---⋅=-n n n a x x 由迭加法可求出n x
(待续未完)。