河北省元氏中学高三数学一轮复习开放探究题的解法

河北省元氏中学一轮复习开放探究题的解法
★高考趋势★
1.请设计一个同时满足下列两个条件的函数y = f （x ）：
①图象关于y 轴对称；②对定义域内任意不同两点12x x 、, 都有
12
12()()2(
)2
x x f x f x f ++<答： . 2.定义在R 上的偶函数()f x 满足：(2)()f x f x -=-，且在[]1,0-上是增函数，下面关于
()f x 的判断：①()f x 是周期函数；②(5)f =0；③()f x 在[]1,2上是减函数；④()
f x 在[]2,1--上是减函数.其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）
3. ABC A B C ∆已知的三个顶角、、,,P PA PB PC AB ++=及平面内一点且P 则点与 ABC ∆的位置关系为
4.（09江西卷）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是 A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．1
2
5.已知0,0x y >>，且21
1x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
二 感悟解答
1.答案：答案不唯一，在定义域内图象上凸的偶函数均可，如
2(),()cos (),()|tan |()2
2
2
2
f x x f x x x f x x x π
π
π
π
=-=-
≤≤
=--
<<
等等.
首先由①知f （x ）为偶函数，由②知f （x ）在定义域内图象上凸，然后在基本初等函数中去寻找符合这两点的模型函数.
评析：本题主要考查函数的图象与性质，问题以开放的形式出现，着重突出对考生数学素质的要求.
2. 答案：∵(2)()f x f x -=- ∵()f x 有对称中心()1,0， 又∵()f x 为偶函数 ∴可知()f x 图象可如图所示： 从而由图象可知其中正确的判断是①、②、③ 解析：∵(2)()f x f x -=- ∴()(2)f x f x =-- ∴()()(4)242f x f x f x +=--+=--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 又∵()f x 为偶函数 ∴()(4)2f x f x +=-+
∴()()()(4)22f x f x f x f x +=-+=-=⎡⎤⎣⎦ ∴()f x 的周期为5； 3. 答案：
:由已知得,PA PB PC PB PA ++=-2,PC PA =-则则P AC 在边上
评析：
4.解析：A. 22121212121
(
)()222
a a
b b a a b b +++≤+= 112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--≥ 11221221()a b a b a b a b +≥+
12121122112112221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=+++≤+
11221
2
a b a b +≥
5. 解：2142(2)()4()8y x
x y x y x y x y
+=+⋅+
=++≥， 而2
22x y m m +>+对0,0x y >>恒成立， 则2
28m m +<，解得42m -<<
三 范例剖析
例１ 2[0,1],cos x x θ∈已知当时不等式2(1)(1)sin 0,x x x θ--+->恒成立试求θ
.的取值范围。

辨析：设函数b a x x x f +-=||)(
(Ⅰ) 求证：)(x f 为奇函数的充要条件是02
2
=+b a ；
(Ⅱ) 设常数322-<b ，且对任意0)(],1,0[<∈x f x 恒成立，求实数a 的取值范围。

例2 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++
128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}
n n b b -+1是等差数列．
⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
⑵是否存在N k *∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由．
辨析：设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列{}n a 的集合：
①2
1;2
n n n a a a +++≥
②,.*N n M a n ∈≤其中 M 是与n 无关的常数. （Ⅰ）若{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，442,20a S ==，证明：{}n S W ∈；
（Ⅱ）设数列{}n b 的通项为W b n b n n
n ∈-=}{,25且，求M 的取值范围；
（Ⅲ））设数列{}n c 的各项均为正整数，且{}n c W ∈，试证1n n c c +≤．
例3 将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起成三棱锥 D – ABC 。

（1） 在三棱锥 D – ABC 中，求证 BD AC ⊥
（2） 当三棱锥 D – ABC 的体积最大时，
探究平面ADC 与平面ABC 的位置关系。

辨析：已知在长方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AA 1
在A 1B 1上是否存在点E ，使得 C 1E ⊥平面DD 1E
四 巩固训练
1.如果函数f x ()在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x x x n 12，…有
()()()f x f x f x n f x x x n n n 1212+++≤+++⎛⎝ ⎫⎭⎪……，
若y x =sin 在区间()0，π上是凸函数，
那么根据上述结论，在△ABC 中sin sin sin A B C ++的最大值是 ；
2. 设)(x f 定义域为D ，若满足：（1）()f x 在D 内是单调函数；（2）存在[,]a b D ⊆使()f x 在
],[b a x ∈值域为],[b a ,则称)(x f 为D 上的闭函数．当()2f x k =k
的范围是 ．
3.设函数()f x 的定义域为R,若存在与x 无关的正常数M,使|()|||f x M x ≤对一切实数x 均成立,则称()f x 为有界泛函,在函数①()4f x x =-；②2()f x x =；③2()sin f x x =；④()3x f x =；⑤3()cos f x x x =；⑥奇函数()f x 满足1212|()()|2||f x f x x x -≤-中,属于有界泛函数的序号为 .
4.已知函数①x x f ln 3)(=；②x
e
x f cos 3)(=；③x
e x
f 3)(=；④x x f cos 3)(=.
其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个个自变量)()(,212x f x f x 使 =3成立的函数序号是
5.如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．
（1）求证：AE ⊥BE ；
（2）求三棱锥D －AEC 的体积；
（3）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN
∥平面DAE .
6.已知数列{a n }的前n 项为和S n ，点),
(n S n n
在直线2
1121+=x y 上.数列{b n }满足 11),(023*12=∈=+-++b N n b b b n n n 且，前9项和为153.
（Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）设)
12)(112(3--=
n n n b a c ，数列{c n }的前n 和为T n ，求使不等式57k T n >对一切
*N n ∈都成立的最大正整数k 的值.
（Ⅲ）设**
(21,)()(2,)
n n a n l l N f n b n l l N ⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩，问是否存在*N m ∈，使得)(5)15(m f m f =+成
立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.。