湖南省长沙市2023年高三下学期联合考试数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设(1+i )⋅z =1-i ，则复数z 的模等于()A ．2
B ．2
C ．1
D ．3
2．若直线y =-2x 的倾斜角为α，则sin2α的值为（）
A ．
45B ．-
45C ．±
45
D ．
35
3．已知复数z 满足z (1+i )=1-i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（）
A ．-i
B ．i
C ．1
D ．-1
4．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（）
A ．3-35．已知圆系是（）
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
B ．3
截直线
C ．
3-3
2
D ．
32
，则圆与圆
的位置关
所得线段的长度是
6．设a =ln3，则b =lg3，则（
）
A ．a +b >a -b >ab
B ．a +b >ab >a -b
C ．a -b >a +b >ab
D ．a -b >ab >a +b 7．若(1+ax )(1+x )的展开式中x ,x 的系数之和为-10，则实数a 的值为（）
523A ．-3
B ．-2
C ．-1
D ．1
8．若复数z 满足(2+3i)z =13i ，则z =（）A ．-3+2i
B ．3+2i
C ．-3-2i
D ．3-2i 9．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N =n (mod m )，例如
11=2(mod3)．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（
）．
A ．21
B ．22
C ．23
D ．24
10．已知数列{a n }满足a n +1-a n
=2，且a 1,a 3,a 4成等比数列.若{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为（
）
A ．–10
B ．-14
C ．–18
D ．–20
x -111．已知函数f (x )=e +x -2的零点为m ，若存在实数n 使x 2-ax -a +3=0且|m -n |≤1，则实数a 的取值范围是（
）
A ．[2,4]
B ．⎢2,⎥
3⎡7⎤
⎣⎦C ．⎢,3⎥
⎡7⎣3⎤⎦
D ．[2,3]
12．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（）
A ．2
B ．
22C ．
24
D ．22
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，已知扇形AOB 的半径为1，面积为
π，则OA ⋅AB =_____.
3
14．已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____.
⎛2⎫
15．(3x -1)⋅ -1⎪的展开式中的常数项为__________.
⎝x ⎭
16．现有一块边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 是a n 与（1）证明：S n
为等差数列，并求S
n
；
（2）设b n =51
的等差中项.a
n
{}2
1
，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足T n ≥5的最小正整数n 的值.S n +1
+S
n
18．（12分）在直角坐标系xQy 中，曲线C 1的参数方程为⎨⎧x =2+2cos α
,（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴
⎩y =4+2sin α
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ.(1)把C 1
的参数方程化为极坐标方程：
(2)求C 1
与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
19．（12分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD (如图所示)，其中AD ≥AB .结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元
（1）求发酵池AD 边长的范围；
（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道（b 为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.
20．（12分）如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的
求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.
21．（12分）已知函数f (x )=(2-x )e +ax .
x （Ⅰ）已知x =2是f (x )的一个极值点，求曲线f (x )在0,f (0)处的切线方程（Ⅱ）讨论关于x 的方程f (x )=a ln x (a ∈R )根的个数.
()
⎡1⎤
0⎡10⎤⎥．22．（10分）试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =⎢，N =⎢2⎥⎢⎥⎣02⎦
⎣01⎦
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】
利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.【详解】
因为(1+i )⋅z =1-i ,
(1-i )=-i ,1-i z =
=所以1+i (1+i )⋅(1-i )
由复数模的定义知,z =故选:C 【点睛】
本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.
2(-1)2=1.
【解析】
根据题意可得：tan α将tan α【详解】
由于直线y =-2x 的倾斜角为α，所以tan α
则sin 2α=2sin αcos α=
故答案选B 【点睛】
本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．3．D 【解析】
根据复数z 满足z (1+i )=1-i ，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.【详解】
因为复数z 满足z (1+i )=1-i ，
所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，
2，2代入计算即可求出值．
2，
2sin αcos α2tan α-2⨯24
===-sin 2α+cos 2αtan 2α+1(-2)2+15
(1-i )=-i ，1-i
=所以z =
1+i (1+i )(1-i )
所以z 的虚部为-1.故选：D.【点睛】
本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．D 【解析】
建立平面直角坐标系，将问题转化为点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值，利用P 到x 轴的距离等于P 到点A 的距离得到P 点轨迹方程，得到6y =(x -3)+9≥9，进而得到所求最小值.【详解】
22
如图，原题等价于在直角坐标系xOy 中，点A (3,3)，P 是第一象限内的动点，满足P 到x 轴的距离等于点P 到点A 的距离，求点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值．设P (x ,y )，则y =
2(x -3)2+(y -3)，化简得：(x -3)-6y +9=0，
22则6y =(x -3)+9≥9，解得：y ≥3，
2
3.
2
即点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是故选：D .【点睛】
本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.5．B 【解析】化简圆
到直线
的距离
，
又6．A 【解析】
根据换底公式可得b =【详解】
两圆相交.选B
ln 3
，再化简a +b ,a -b ,ab ，比较ln 3,ln10-1,ln10+1的大小，即得答案.
ln10
b =lg3=log 103=ln 3
，
ln10
∴a +b =ln 3+ab =ln 3ln 3(ln10+1)ln 3ln 3(ln10-1)，=,a -b =ln 3-=ln10ln10ln10ln10ln 3⨯ln 3
.
ln10
ln 3>0,ln10>0，显然a +b >a -b .
3e <10,∴ln (3e )<ln10,即ln 3+1<ln10,∴ln 3<ln10-1，
∴ln 3⨯ln 3ln 3(ln10-1)，即ab <a -b .<ln10ln10
综上，a +b >a -b >ab .故选：A .【点睛】
本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.7．B 【解析】
由(1+ax )(1+x )=(1+x )+ax (1+x )，进而分别求出展开式中x 2的系数及展开式中x 3的系数，令二者之和等于
555-10，可求出实数a 的值.
【详解】
由(1+ax )(1+x )=(1+x )+ax (1+x )，
2132则展开式中x 2的系数为C 5
+aC 5
=10+5a ，展开式中x 3的系数为C 5
+aC
5
=10+10a ，
555二者的系数之和为(10+5a )+(10a +10)=15a +20=-10，得a =-2.故选：B.【点睛】
本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8．B 【解析】
由题意得,z =
【详解】
因为(2+3i)z =13i ,所以z =
故选:B.【点睛】
本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.9．C 【解析】
13i
,求解即可.2+3i
13i 13i(2-3i)26i +39
===3+2i .2+3i (2+3i)(2-3i)4+9
从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.
10．D 【解析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得S n ，再利用二次函数的性质，可得当n =4或5时，S n 取到最小值.【详解】
根据题意，可知{a n
}为等差数列，公差d =2，
2由a 1,a 3,a 4成等比数列，可得a 3
=a 1a 4
，
2∴(a 1
+4)=a 1
(a 1
+6)，解得a 1
=-8.
∴S n =-8n +n (n -1)981
⨯2=n 2-9n =(n -)2-.224
根据单调性，可知当n =4或5时，S n 取到最小值，最小值为-20.故选：D.【点睛】
本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当n =4或5时同时取到最值.11．D 【解析】
易知f (x )单调递增,由f (1)=0可得唯一零点m =1,通过已知可求得0≤n ≤2,则问题转化为使方程
x 2-ax -a +3=0在区间[0,2]上有解,化简可得a =x +1+
【详解】
4
-2,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围.x +1
x -1易知函数f (x )=e +x -2单调递增且有惟一的零点为m =1，所以|1-n |≤1，∴0≤n ≤2，问题转化为：使方程
x 2+3(x +1)2-2(x +1)+44
==x +1+-2x -ax -a +3=0在区间[0,2]上有解，即a =
x +1
x +1
x +1
2在区间[0,2]上有解，而根据“对勾函数”可知函数y =x +1+故选D ．【点睛】
4
-2在区间[0,2]的值域为[2,3]，∴2≤a ≤3.x +1
本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值
范围问题,难度较难.12．B 【解析】
设正四面体的棱长为2，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面BCE 的法向量，设P 的坐标，求出向量DP ，
求出线面所成角的正弦值，再由角θ的范围⎢0,所以求出坐标的关系，进而求出正切值．【详解】
由题意设四面体ABCD 的棱长为2，设O 为BC 的中点，
以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，过O 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
⎡π⎤
，结合θ为定值，得出sin θ为定值，且P 的轨迹为一段抛物线，
⎥2⎣⎦
O -xyz ，
则可得OB =OC =1，OA =3
⨯2=3，取OA 的三等分点G 、F 如图，2则OG =13223
1626
，AG =OF =OA =，DG =
AD 2
-AG 2
=，EF =DG =，
OA =3333
233
所以B (0,1,0)、C (0,-1,0)、A (⎛3⎛2326⎫6⎫
,0,E ,0,3,0,0、D
⎪⎪ 3⎪、 3⎪，33⎝⎭⎝⎭
)由题意设P (x ,y ,0)，DP = x -⎛⎝
326
⎫,y ,-⎪，33⎪⎭ABD 和ACD 都是等边三角形，E 为AD 的中点，∴BE ⊥AD ，CE ⊥AD ，⎛2326⎫
∴AD =-,0,BE
CE =E ，∴AD ⊥平面BCE ， ⎪ ⎪为平面BCE 的一个法向量，
33⎝⎭
因为DP 与平面BCE 所成角为定值θ，则θ∈⎢0,⎥，
2由题意可得
⎡π⎤
⎣⎦
sin θ=cos <AD ,DP >=
AD ⋅DP AD ⋅DP
=
23⎛3⎫⎛26⎫-⨯ x -⎪- ⎪3⎝3⎭⎝3⎭2
2⎛⎛26⎫3⎫22⨯ x -⎪+y + -⎪
33⎝⎭⎝
⎭2
2=
x +3
(3x -1+3y
2
+8
)2
x 2+23x +3
==，
22223x +3y -23x +93x +3y -23x +9
(x +3)
因为P 的轨迹为一段抛物线且tan θ为定值，则sin θ也为定值，
23x x 236sin θ23
∴2=2=，可得3y 2=83x ，此时sin θ=.，则cos θ=，tan θ==933y -23x 3x 3cos θ2
故选：B.【点睛】
考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．-
32
【解析】
根据题意，利用扇形面积公式求出圆心角∠AOB ，再根据等腰三角形性质求出|AB |=出OA ⋅AB .【详解】
设角∠AOB =θ，则∴θ=3，利用向量的数量积公式求
π
1
=θ⨯12，
32
2π
，
3
3，
所以在等腰三角形∆OAB 中，|AB |=
则OA ⋅AB =1⨯3⨯cos150=-故答案为：-【点睛】
︒
3
.
2
3
.
2
本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式，属于基础题.14．0【解析】
由题意f (e )=2e ,f 【详解】
∵在点e ,f (e )处的切线方程为y =3x -e ，
'(e )=3，列方程组可求a ,b ，即求a +b .()
∴f (e )=2e ，代入f (x )=ax ln x -bx 得a -b =2①.
又
f '(x )=a (1+ln x )-b ,∴f '(e )=2a -b =3②.
联立①②解得：a =1,b =-1.
∴a +b =0.
故答案为：0.【点睛】
本题考查导数的几何意义，属于基础题.15．31【解析】
r ⎛2⎫r r -5由二项式定理及其展开式得通项公式得：因为 -1⎪的展开式得通项为T r +1=(-1)⋅25-r ⋅C 5
x ，则
⎝x ⎭
452⎫45的展开式中的常数项为：3⨯-1C +-1C 5
=14，得解.
-1()()(3x -1)⋅⎛5 ⎪⎝x ⎭
55
【详解】r r -5解：T
r +1
=(-1)⋅25-r ⋅C 5
x ，
r ⎛2⎫
则(3x -1)⋅ -1⎪的展开式中的常数项为：
⎝x ⎭
53⨯(-1)⋅21⋅C 5
4-(-1)⋅20⋅C 5
=31.
455故答案为：31.【点睛】
本题考查二项式定理及其展开式的通项公式，求某项的导数，考查计算能力.
16．23a 27
【解析】
由题意容积V =(a -2x )x ，求导研究单调性，分析即得解.【详解】
由题意：容积V =(a -2x )x ，0<x <222a ，
2
则V '=2(a -2x )⨯(-2x )+(a -2x )=(a -2x )(a -6x )，
由V '=0得x =a a
或x =（舍去），
62
令V '>0,∴x ∈(0,);V '<0∴x ∈(,)
a 6a a
62
则x =23a
a .为V 在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时V max =6272
3a 27
故答案为：【点睛】
本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）见解析，S n
=n （2）最小正整数n 的值为35.
【解析】
（1）由等差中项可知2S n =a n +11222S =S -S +
，当n ≥2时，得n ，整理后可得S n
-S n -1
=1，从而证
n n -1S n
-S n -1
a
n
明S n
为等差数列，继而可求S
n
.
（2）b n =求出最小值.【详解】
解析：（1）由题意可得2S n =a n +{}2
1
=n +1-n ，则可求出T n =n +1-1，令n +1-1≥5，即可求出n 的取值范围，进而
n +1+n
11
22S =a +，当n =1时，1，∴a 1=1，a 1=1，
1a n
a
1
当n ≥2时，2S n =S n -S n -1+
1
22，整理可得S n
-S n -1
=1，
S n
-S
n -1
∴S n
是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n =S 1
+(n -1)=n ，S n
=n .
2{}
22（2）由（1）可得b n =1
=n +1-n ，
n +1+n
∴T n
=
2-1+3-2+∴最小正整数n 的值为35.【点睛】
+n -n -1+n +1-n =n +1-1≥5，解得n ≥35，
本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了a n 与S n 的关系，考查了裂项相消求和.当已知有a n 与S n 的
⎧a 1,n =1进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常
递推关系时，常代入a n
=⎨S -S n -1
⎩n 数.
18．（1）p -4p cos θ-8p sin θ+16=0；（2）C 1与C 2交点的极坐标为 4,【解析】
（1）先把曲线C 1化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；（2）联立曲线C 1和曲线C 2的方程解得即可.【详解】
(1)曲线C 1的直角坐标方程为：(x -2)+(y -4)=4，即x 2+y 2-4x -8y +16=0.∴C 1的参数方程化为极坐标
方程为p -4p cos θ-8p sin θ+16=0；
22⎛⎝π⎫
2⎭
⎪，和 22,⎛⎝π⎫⎪
4⎭22⎧p =4⎧p =22⎧p -4pcos θ-8psin θ+16=0π⎫⎪⎪⎛π⎫⎛
22,4,C C 或(2)联立⎨可得：，与交点的极坐标为，和⎨π⎨21 ⎪. ⎪π42p =4sin θ⎝⎭⎝⎭⎩⎪θ=2⎪θ=
4⎩⎩
2【点睛】
本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.
19．（1）AD ∈[15,25]（2）当0<b ≤36⎛36⎫
,4⎪时，时，AD =25，AB =9米时，发酵馆的占地面积最小；当b ∈
2525⎝⎭AD =30b 15b
时，发酵馆的占地面积最小；当b ≥4时，AB =AD =15米时，发酵馆的占地面积最小.
,AB =b 2
【解析】
（1）设AD =x 米，总费用为f (x )=225⨯200+150⨯2⋅ 2x +⎛
⎝450⎫⎪，解f (x )≤65400即可得解；
x ⎭（2）结合（1）可得占地面积S (x )=(x +8)
【详解】
⎛225⎫+2b ⎪结合导函数分类讨论即可求得最值.⎝x
⎭
450
=225米2，2
225225
>0，得x ≥15，设AD =x 米，则AB =米，由题意知:x ≥
x x
（1）由题意知:矩形ABCD 面积S =设总费用为f (x )，
则f (x )=225⨯200+150⨯2⋅ 2x +⎛⎝450⎫225⎫⎛
=600x +⎪ ⎪+45000≤65400，
x ⎭x ⎭⎝
解得:9≤x ≤25，又x ≥15，故x ∈[15,25]，
所以发酵池D 边长的范围是不小于15米，且不超过25米；
（2）设发酵馆的占地面积为S (x )由（1）知:S (x )=(x +8)
1800⎛225⎫+2b ⎪=2bx ++16b +225,x ∈[15,25]，x
x
⎝⎭
S '(x )=2(bx 2-900)
x 2
,x ∈[15,25]
①b ≥4时，S '(x )≥0，S (x )在[15,25]上递增，则x =15，即AB =AD =15米时，发酵馆的占地面积最小；
②0<b ≤小；
③b ∈ 36
时，S '(x )=0，S (x )在[15,25]上递减，则x =25，即AD =25,AB =9米时，发酵馆的占地面积最
25
⎛36⎫⎛30⎤⎡30⎫',4⎪时，x ∈⎢15,x ∈,25S x <0S x 时，，递减；时，S '(x )>0,S (x )递增，()() ⎪
⎥25⎝⎭b ⎭⎝b ⎦⎣因此x =3030b 30b 15b
，即AD =时，发酵馆的占地面积最小；
=,AB =b b 2b
36⎛36⎫
,4⎪时，时，AD =25，AB =9米时，发酵馆的占地面积最小；当b ∈
2525⎝⎭
综上所述：当0<b ≤AD =30b 15b
时，发酵馆的占地面积最小；当b ≥4时，AB =AD =15米时，发酵馆的占地面积最小.
,AB =b 2
【点睛】
此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.
20．（1）见解析（2）见解析【解析】
(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连结NE.
则N ⎛22⎫⎛22⎫,,0⎪,,1⎪E(001)A(0)M .
，，，，2，2，， ⎪ ⎪⎝22⎭⎝22⎭⎛⎛22⎫22⎫∴NE ＝ -2,-2,1⎪⎪，AM ＝ -2,-2,1⎪⎪.
⎝⎭⎝⎭
∴NE ＝AM 且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM.∵NE
⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.
⎛22⎫
(2)由(1)知AM ＝ -2,-2,1⎪⎪，
⎝⎭
∵D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴DF ＝(0，2，1)，
∴AM ·DF ＝0，∴AM ⊥DF.同理AM ⊥BF.又DF∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.21．（Ⅰ）e +1x -y +2=0；（Ⅱ）见解析【解析】
（Ⅰ）求函数的导数，利用x =2是f (x )的一个极值点，得f ' (2) =0建立方程求出a 的值，结合导数的几何意义进行求解即可；
（Ⅱ）利用参数法分离法得到a =h (x )(2)
x -2)e x
(=x -ln x
，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形
结合转化为图象交点个数进行求解即可.【详解】
（Ⅰ）因为f (x )=(2-x )e +ax ，则f '(x )=(1-x )e +a ，
x x 因为x =2是f (x )的一个极值点，所以f '(2)=0，即(1-2)e +a =0，2所以a =e 2，
因为f (0)=2，f '(0)=e +1，
2
则直线方程为y-2=e+1x，即e+1x-y+2=0；
（Ⅱ）因为f (x)=a ln x
，所以
(x-2)e+a ln x-ax=0
，
x
(
2
)(
2
)
所以(x-2)e=-a(ln x-x)
，设g
(x)=ln x-x(x>0)
，则g'
(x)=
x
1
-1(x>0)，
x
所以g (x)
在
(0,1)
上是增函数，在
(1,+∞)上是减函数，
故g (x)<g(1)=-1<0
，
2⎫
x
⎛
x-1e x+-ln x-1
()
⎪x-2e
()
，所以x
⎝⎭，
所以a=h (x)=
h'x=
()
2 x-ln x(ln x-x)
x
设m (x)=x+2211
-ln x-1，则m'(x)=1-
2
-=
2
(x-2)(x+1)，x x x x
所以m (x)
在
(0,2)
上是减函数，
(2,+∞)
上是增函数，
所以m (x)>m(2)=2-ln2>0
，
所以当0<x<1时，h'(x)<0
，函数h
(x)
在
(0,1)
是减函数，
当x>1时，h'(x)>0
，函数h
(x)
在
(1,+∞)是增函数，
因为0<x<1时，h (x)<0
，h
(1)=-e
，h
(2)=0
，
所以当a<-e时，方程无实数根，
当-e<a<0时，方程有两个不相等实数根，当a=-e或a≥0时，方程有1个实根.
【点睛】
本题考查函数中由极值点求参，导数的几何意义，还考查了利用导数研究方程根的个数问题，属于难题.22．y ＝2sin 2x ．【解析】
⎡1⎤⎡1
0⎥⎢⎡10⎤⎢
=2计算MN =⎢⎥
2⎤
0⎥
，计算得到函数表达式.⎣02⎦⎢⎣01⎥⎦⎢⎣
2⎥⎦
【详解】
∵M =⎡⎢10⎤⎡1⎣02⎥，N ⎦
=⎢0⎤⎡10⎤⎡10⎤⎡1
⎢2⎥⎣01⎥，∴MN =⎢⎢⎦⎣02⎥⎦⎢2⎥=⎢2⎣01⎥⎦⎢⎣0∴在矩阵MN 变换下，⎡⎢x ⎤⎡1⎤
⎣y ⎥⎦→⎡⎢x '⎤⎣y '⎥⎦=⎢x ⎢2
⎥
⎣2y ⎥
⎦
∴曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x ．【点睛】
本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计算能力.
0⎤⎥，2⎥⎦。