2.3-2.5 逻辑代数的公式、定理、表示方法
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变量A和包含A的和相乘时，其结果等于 A，即可以将和消掉。
(25) AB A' C BC AB A' C
1 证明： AB A' C BC AB A' C ( A A' ) BC AB A' C ABC A' BC AB A' C 而这两个乘积项的其余因子组成第三个 乘积项时，则第三个乘积项能消去。
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 2 3 4 5 6 7
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
④ (在输入变量的任何取值下，必有一个 B'C )( A B'C ' ) A ① 只有一个变量不同的两个最大项的乘' ③ A全体最大项之积为0。B'C C' A B ② 任意两个最大项之和为1。 积等于各相同变量之和。 最大项，而且只有一个最大项的值为0。
证明： A A' B ( A A' )( A B)
A B
两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一 项的因子，则此因子是多余的，可以消去。
(23) AB AB' A
当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和B’ 两个因子而其他因子相同，则两项定能合并，且 可将B和B’消去。
(24) A( A B) A
小结： 掌握逻辑代数的基本公式和常用公式。
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外
一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成 立。
例如，已知 ( A B) A B (反演律)，若用B+C代替 等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即
最小项和最大项的关系：
m0 A' B' C '、m4 AB' C '
M 0 A B C、M 4 A' B C
m0' ( A' B' C ' )' A B C M 0
m4' ( AB' C ' )' A' B C M 4
即：
mi ' M i或mi Mi '
内容回顾
三种基本运算：与（AND）、 或（OR）、非（NOT）
A B
Y
A B
Y
A
Y
几种常用的逻辑运算 与非、或非、与或非、异或、同或
异或 同或
Y A B AB' A' B
. Y AB AB A' B'
1 2 3 4 5
0· A=0 A· 1=A
11 12 13 14 15
6
7 8 9 10
16
17 18
( AB)' A' B' ( A' )' A 1' 0;0' 1
【例】用列真值表的方法证明：
A B AB' A' B
A
B
A B AB'
0
1
0
0 1 0
A' B
0
1 0 0
AB' A' B
0
1 1 0
0
0 1 1
0
1 0 1
1
0
0 (A的个数为偶数) A A A A A (A的个数为奇数)
2.5.3 逻辑函数的两种标准形式 一、最小项 在n个变量逻辑函数中，若m为包含n个 因子的乘积项，而且这n个变量均以原 变量或反变量的形式在m中出现一次， 则称m为该组变量的最小项。
例如：3变量A、B、C的最小项包括 A' B' C '、AB' C '、ABC '、ABC等。
？
思考： 2 个。 n个变量的最小项有多少个？
24逻辑代数的基本定理241代入定理在任何一个包含在任何一个包含aa的逻辑等式中若以另外的逻辑等式中若以另外一个逻辑式代入式中一个逻辑式代入式中aa的位置则等式依然成的位置则等式依然成例如已知反演律若用bc代替等式中的b则可以得到适用于多变量的反演律即242反演定理注意以下两条规则
数字电子技术基础
河北科技大学信息学院
三、逻辑函数的两种标准形式
A+1=1 A+0=A
A A A
A A A
A A' 1 A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C A+B • C=(A+B)(A+C)
( A B)' A' B'
A A' 0
A• B=B • A
A• (B • C)=(A • B) • C
A(B+C)=A • B+A • C
吸收
若两个乘积项中分别包含 A和A’ 两个因子，
AB A' C BCD AB A' C
(26 ) A( AB)' AB' A' ( AB)' A'
证明： A( AB)' A( A' B ' ) AB' A' ( AB)' A' (39; A'
首先，找出真值表中使逻辑函数Y=1的输入变 量取值组合； 其次，每组输入变量取值的组合对应一个乘 积项，其中取值为1的写成原变量，取值为0 的写成反变量； 最后，将这些乘积项相加，即得到Y的逻辑函 数式。
【例】写出下列真值表对应的函数式。
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B C Y 0 0 0 0 0 1 第三步，各乘积 第二步，各组合 第一步，找出使 1 0 项相加。 1 写成乘积项形式。 输出Y=1的各组合。 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1
BC ABC Y
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1
2. 逻辑式与逻辑图的相互转换 （1）用图形符号代替逻辑式中的运算符号， 就可将逻辑式转换成逻辑图。 【例】已知逻辑函数为 Y A( B C ) 试画出对应的逻辑图。 解： 将式中所有的与，或，非运算符号用 图形符号代替，并依据运算优先顺序将 它们连接起来。
当A和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因子 时，则这个因子可以可以消去。 当A’和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因 子时，其结果就等于A’。
逻辑代数的常用公式
(21) A AB A (22) A A' B A B (23) AB AB' A (24) A( A B) A (25) AB A' C BC AB A' C AB A' C BCD AB A' C (26) A ( AB)' AB' A'( AB)' A'
Y 也称Y的反逻辑式或反函数。
注意以下两条规则：
①需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算优先次序。 ②不属于单个变量上的反号应保留不变。
【例】 Y= (A + B ) C
Y AB C
【例】 Y= A (B + C) + CD
Y ( A BC)(C D)
ABC
ABC ABC
Y ABC ABC ABC
（2）从逻辑式列出真值表
将输入变量取值的所有组合状态逐一 代入逻辑式求出函数值，列成表。
【例】已知逻辑函数 Y A BC ABC 求它对应的真值表。
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1
例如：3变量A、B、C的最大项包括 A' B'C '、A' B C '、
？
A' B C、A B C等。 n 思考： 2 个。 n个变量的最大项有多少个？
三变量（A、B、C）最大项的编号表：
A B C A B C'
相 邻
A B'C A B'C ' A' B C A' B C A' B'C A' B'C '
n
三变量（A、B、C）最小项的编号表：
相 邻
A' B' C ' A' B' C A' BC ' A' BC
相 邻
AB' C ' AB' C ABC' ABC
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 2 3 4 5 6 7
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
( A B C ) A ( B C ) A B C
A+BC
= (A+B)(A+C)
A+B(CD) = (A+B)(A+CD) = (A+B)(A+C)(A+D)
2.4.2 反演定理 对于任意一个逻辑式 Y ，若将其中所 有的“•”换成“+”，“+”换成“•”，0 换成1，1换成0,原变量换成反变量， Y 反变量换成原变量,则得到的结果就是
【例】 Y = A · + C） （B
更接近于工程实际，与实际使用 的电路器件有明显的对应关系。
四、 波形图
将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序 排列起来画成时间波形。也称时序图。
五、各种表示方法间的互相转换 1. 真值表与逻辑函数式的相互转换
（1）从真值表转换为逻辑函数式， 一般分为下面三步：
④ 具有相邻性的两个最小项之和可以合 ① 在输入变量的任何取值下有一个最小 ③ 任意两个最小项的乘积为0。 ② 全体最小项和为1。 并成一项并消去一对因子。 项，而且仅有一个最小项的值为1。
二、最大项
在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之 和，而且这n个变量均以原变量或反变 量的形式在M中出现一次，则称M为该 组变量的最大项。
3.波形图与真值表的相互转换 由波形图得到真值表
根据所给的波形，列出各输入变量组合所对应 的输出值
例已知逻辑函数Y的输出波形如图所示，试分析其 逻辑功能。
A
解：由所给的波形 写出输入输出的真 值表，如表所示
O B O Y O
t
t
t
A O B O Y t
t
O
t
A
B
Y
0
1 1 0
0
0 1 1
1
0 0 0
2.3.2 逻辑代数的常用公式
(21) A AB A (22) A A' B A B (23) AB AB' A (24) A( A B) A (25) AB A' C BC AB A' C AB A' C BCD AB A' C (26) A ( AB)' AB' A'( AB)' A'
(2)从输入端到输出端逐级写出每个图形 符号对应的逻辑式。
先写出符号对应的逻辑式子
( A B )
Y (( A B) ( A B)' ) ( A B)( A B) AB AB A B
B
A'
( A B)
(( A B) ( A B))
B
Y 0 0 0 0 0 1 1 1
A
C
Y
真值表：将输入、输 出的所有可能状态一 一对应地列出。
二、 逻辑函数式 把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、 非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式， 又称为逻辑函数式，通常采用“与或”的 形式。
B A C Y
Y = A · + C） （B
三、 逻辑图
把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线 表示出来。
2.5.2 逻辑函数的表示方法 一、 逻辑真值表
例如，右图是一个举重裁判 电路，若以1表示开关闭合， 0表示开关断开；以1表示灯 亮，0表示灯暗，则指示灯Y 是开关A，B，C的二值逻辑 函数，即 B
A
C
Y
Y=F(A,B,C)
2.5.2 逻辑函数的表示方法 一、 逻辑真值表
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1
（21）A+AB=A 证明： A+A • B
=A •(1+B)
=A • 1
在两个乘积项相加时， 若其中一项以另一项 为因子，则该项是多 余的，可以删去。
=A 利用运算规则可以对逻辑式进行化简。
例如： AB CD ABD( E F ) AB CD 被吸收
(22) A A' B A B
注意：加括号的目的是保证优先级。
【例】 Y (( A D) C )D
Y (( AD)C) D
2.4.3 对偶定理 对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“•” 换成“+”，“+”换成“•”，0换成1，1换 成0，则得到的一个新逻辑式YD，这个就 是Y的对偶式。 【例】 Y A' ( B C ) Y ( AB CD' )'
Y A'BC
D
Y (( A B)(C D' ))'
D
对偶定理： 若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。
2.5 逻辑函数及其表示方法
2.5.1 逻辑函数 任何一件具体的因果关系都可以用一个逻 辑函数来描述。 以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则 输入输出间的关系称为逻辑函数。
Y F ( A, B, C, )
(25) AB A' C BC AB A' C
1 证明： AB A' C BC AB A' C ( A A' ) BC AB A' C ABC A' BC AB A' C 而这两个乘积项的其余因子组成第三个 乘积项时，则第三个乘积项能消去。
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 2 3 4 5 6 7
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
④ (在输入变量的任何取值下，必有一个 B'C )( A B'C ' ) A ① 只有一个变量不同的两个最大项的乘' ③ A全体最大项之积为0。B'C C' A B ② 任意两个最大项之和为1。 积等于各相同变量之和。 最大项，而且只有一个最大项的值为0。
证明： A A' B ( A A' )( A B)
A B
两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一 项的因子，则此因子是多余的，可以消去。
(23) AB AB' A
当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和B’ 两个因子而其他因子相同，则两项定能合并，且 可将B和B’消去。
(24) A( A B) A
小结： 掌握逻辑代数的基本公式和常用公式。
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外
一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成 立。
例如，已知 ( A B) A B (反演律)，若用B+C代替 等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即
最小项和最大项的关系：
m0 A' B' C '、m4 AB' C '
M 0 A B C、M 4 A' B C
m0' ( A' B' C ' )' A B C M 0
m4' ( AB' C ' )' A' B C M 4
即：
mi ' M i或mi Mi '
内容回顾
三种基本运算：与（AND）、 或（OR）、非（NOT）
A B
Y
A B
Y
A
Y
几种常用的逻辑运算 与非、或非、与或非、异或、同或
异或 同或
Y A B AB' A' B
. Y AB AB A' B'
1 2 3 4 5
0· A=0 A· 1=A
11 12 13 14 15
6
7 8 9 10
16
17 18
( AB)' A' B' ( A' )' A 1' 0;0' 1
【例】用列真值表的方法证明：
A B AB' A' B
A
B
A B AB'
0
1
0
0 1 0
A' B
0
1 0 0
AB' A' B
0
1 1 0
0
0 1 1
0
1 0 1
1
0
0 (A的个数为偶数) A A A A A (A的个数为奇数)
2.5.3 逻辑函数的两种标准形式 一、最小项 在n个变量逻辑函数中，若m为包含n个 因子的乘积项，而且这n个变量均以原 变量或反变量的形式在m中出现一次， 则称m为该组变量的最小项。
例如：3变量A、B、C的最小项包括 A' B' C '、AB' C '、ABC '、ABC等。
？
思考： 2 个。 n个变量的最小项有多少个？
24逻辑代数的基本定理241代入定理在任何一个包含在任何一个包含aa的逻辑等式中若以另外的逻辑等式中若以另外一个逻辑式代入式中一个逻辑式代入式中aa的位置则等式依然成的位置则等式依然成例如已知反演律若用bc代替等式中的b则可以得到适用于多变量的反演律即242反演定理注意以下两条规则
数字电子技术基础
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三、逻辑函数的两种标准形式
A+1=1 A+0=A
A A A
A A A
A A' 1 A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C A+B • C=(A+B)(A+C)
( A B)' A' B'
A A' 0
A• B=B • A
A• (B • C)=(A • B) • C
A(B+C)=A • B+A • C
吸收
若两个乘积项中分别包含 A和A’ 两个因子，
AB A' C BCD AB A' C
(26 ) A( AB)' AB' A' ( AB)' A'
证明： A( AB)' A( A' B ' ) AB' A' ( AB)' A' (39; A'
首先，找出真值表中使逻辑函数Y=1的输入变 量取值组合； 其次，每组输入变量取值的组合对应一个乘 积项，其中取值为1的写成原变量，取值为0 的写成反变量； 最后，将这些乘积项相加，即得到Y的逻辑函 数式。
【例】写出下列真值表对应的函数式。
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B C Y 0 0 0 0 0 1 第三步，各乘积 第二步，各组合 第一步，找出使 1 0 项相加。 1 写成乘积项形式。 输出Y=1的各组合。 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1
BC ABC Y
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1
2. 逻辑式与逻辑图的相互转换 （1）用图形符号代替逻辑式中的运算符号， 就可将逻辑式转换成逻辑图。 【例】已知逻辑函数为 Y A( B C ) 试画出对应的逻辑图。 解： 将式中所有的与，或，非运算符号用 图形符号代替，并依据运算优先顺序将 它们连接起来。
当A和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因子 时，则这个因子可以可以消去。 当A’和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因 子时，其结果就等于A’。
逻辑代数的常用公式
(21) A AB A (22) A A' B A B (23) AB AB' A (24) A( A B) A (25) AB A' C BC AB A' C AB A' C BCD AB A' C (26) A ( AB)' AB' A'( AB)' A'
Y 也称Y的反逻辑式或反函数。
注意以下两条规则：
①需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算优先次序。 ②不属于单个变量上的反号应保留不变。
【例】 Y= (A + B ) C
Y AB C
【例】 Y= A (B + C) + CD
Y ( A BC)(C D)
ABC
ABC ABC
Y ABC ABC ABC
（2）从逻辑式列出真值表
将输入变量取值的所有组合状态逐一 代入逻辑式求出函数值，列成表。
【例】已知逻辑函数 Y A BC ABC 求它对应的真值表。
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1
例如：3变量A、B、C的最大项包括 A' B'C '、A' B C '、
？
A' B C、A B C等。 n 思考： 2 个。 n个变量的最大项有多少个？
三变量（A、B、C）最大项的编号表：
A B C A B C'
相 邻
A B'C A B'C ' A' B C A' B C A' B'C A' B'C '
n
三变量（A、B、C）最小项的编号表：
相 邻
A' B' C ' A' B' C A' BC ' A' BC
相 邻
AB' C ' AB' C ABC' ABC
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 2 3 4 5 6 7
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
( A B C ) A ( B C ) A B C
A+BC
= (A+B)(A+C)
A+B(CD) = (A+B)(A+CD) = (A+B)(A+C)(A+D)
2.4.2 反演定理 对于任意一个逻辑式 Y ，若将其中所 有的“•”换成“+”，“+”换成“•”，0 换成1，1换成0,原变量换成反变量， Y 反变量换成原变量,则得到的结果就是
【例】 Y = A · + C） （B
更接近于工程实际，与实际使用 的电路器件有明显的对应关系。
四、 波形图
将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序 排列起来画成时间波形。也称时序图。
五、各种表示方法间的互相转换 1. 真值表与逻辑函数式的相互转换
（1）从真值表转换为逻辑函数式， 一般分为下面三步：
④ 具有相邻性的两个最小项之和可以合 ① 在输入变量的任何取值下有一个最小 ③ 任意两个最小项的乘积为0。 ② 全体最小项和为1。 并成一项并消去一对因子。 项，而且仅有一个最小项的值为1。
二、最大项
在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之 和，而且这n个变量均以原变量或反变 量的形式在M中出现一次，则称M为该 组变量的最大项。
3.波形图与真值表的相互转换 由波形图得到真值表
根据所给的波形，列出各输入变量组合所对应 的输出值
例已知逻辑函数Y的输出波形如图所示，试分析其 逻辑功能。
A
解：由所给的波形 写出输入输出的真 值表，如表所示
O B O Y O
t
t
t
A O B O Y t
t
O
t
A
B
Y
0
1 1 0
0
0 1 1
1
0 0 0
2.3.2 逻辑代数的常用公式
(21) A AB A (22) A A' B A B (23) AB AB' A (24) A( A B) A (25) AB A' C BC AB A' C AB A' C BCD AB A' C (26) A ( AB)' AB' A'( AB)' A'
(2)从输入端到输出端逐级写出每个图形 符号对应的逻辑式。
先写出符号对应的逻辑式子
( A B )
Y (( A B) ( A B)' ) ( A B)( A B) AB AB A B
B
A'
( A B)
(( A B) ( A B))
B
Y 0 0 0 0 0 1 1 1
A
C
Y
真值表：将输入、输 出的所有可能状态一 一对应地列出。
二、 逻辑函数式 把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、 非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式， 又称为逻辑函数式，通常采用“与或”的 形式。
B A C Y
Y = A · + C） （B
三、 逻辑图
把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线 表示出来。
2.5.2 逻辑函数的表示方法 一、 逻辑真值表
例如，右图是一个举重裁判 电路，若以1表示开关闭合， 0表示开关断开；以1表示灯 亮，0表示灯暗，则指示灯Y 是开关A，B，C的二值逻辑 函数，即 B
A
C
Y
Y=F(A,B,C)
2.5.2 逻辑函数的表示方法 一、 逻辑真值表
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1
（21）A+AB=A 证明： A+A • B
=A •(1+B)
=A • 1
在两个乘积项相加时， 若其中一项以另一项 为因子，则该项是多 余的，可以删去。
=A 利用运算规则可以对逻辑式进行化简。
例如： AB CD ABD( E F ) AB CD 被吸收
(22) A A' B A B
注意：加括号的目的是保证优先级。
【例】 Y (( A D) C )D
Y (( AD)C) D
2.4.3 对偶定理 对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“•” 换成“+”，“+”换成“•”，0换成1，1换 成0，则得到的一个新逻辑式YD，这个就 是Y的对偶式。 【例】 Y A' ( B C ) Y ( AB CD' )'
Y A'BC
D
Y (( A B)(C D' ))'
D
对偶定理： 若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。
2.5 逻辑函数及其表示方法
2.5.1 逻辑函数 任何一件具体的因果关系都可以用一个逻 辑函数来描述。 以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则 输入输出间的关系称为逻辑函数。
Y F ( A, B, C, )