T501-初一数学-预初春 第8讲.方程和不等式的综合应用(二).小升初联赛预备班

【例1】已知关于,x y 的方程组23311
3271
{x y a x y a +=++=-的解满足3x y +<，求a 的取值范围.
【解析】
由方程组可知，()()
233231171
225
5
x y x y a a x y a +++++-+=
=
=+，
因此若3x y +<成立，则223a +<，故0.5
a <【例2】已知x,y,z 为非负有理数，并且满足323,343y z x y z x +=++=-，求334x y z -+的最小值和最大值.【解析】
首先将x 当作常数，并将3y 当作整体，解得35741y x
z x ì=-ïïí
ï=-ïî
.然后，为使x,y,z 为非负有理数，则5704100x x x ì-³ïïï
ï-³íïï³ïïî
，可得x 的取值范围为15
47
x
.最后由35741
y x z x ì=-ïïíï=-ïî可知()()334357441269x y z x x x x -+=--+´-=-.当15
47
x
时，它的范围为56726927x -£-£.故334x y z -+的最小值和最大值分别为567
,27-.
【例3】三个非负有理数x,y,z 满足325
231a b c a b c ì++=ïïí
ï+-=ïî
，求37M a b c =+-的最大值和最小值.【解析】
13
方程和不等式的综合应用
（二）
首先将c 当作常数，解得73117
a c
b
c ì=-ïïíï=-+ïî.然后，为使a,b,c 为非负有理数，则73011700c c c ì-³ïïï
ï-+³íïï³ïïî
，可得x 的取值范围为37
711
c
.最后由73117a c b c ì=-ïïíï=-+ïî可知()()37373117732M a b c c c c c =+-=´-+-+-=-.当3
77
11c
时，它的范围为5132711c -£-£-.故M 的最小值和最大值分别为51,711
--.【例4】解关于x 的不等式组x a b x b a ìï-³ïíï->ïî
.
【解析】
当0,0a b <£时，两个不等式恒成立，因此解为所有数.
当0,0a b <>时，第二个不等式恒成立，第一个不等式解为x a b £-或x a b ³+.它就是解.当0,0a b 时，第一个不等式恒成立，第二个不等式解为x b a <-或x a b >+.它就是解.当0b a >³时，解为x a b £-或x a b >+.当0a b ³>时，解为x b a <-或x a b >+.
【例5】已知关于x 的方程1x ax =+有一个负数解而没有正数解，求a 的取值范围.
【解析】
若方程有负数解x，则1x ax =+可化为1x ax -=+，即1
1
x a =-+，它是一个负数，则必须1a +是正数，因此首先要求1a >-.
其次，方程没有正数解，即1x ax =+……①没有正数解.说明要么1a =，这时方程①无解；要么1a >，这时①的解1
1x a
=-不是一个正数.当1a ³时，方程确实只有一个负数解1
1
x a =-+而无正数解.因此a 的取值范围为1a ³.【例6】求a 的取值范围，使得对所有b，关于x 的方程1bx a x +=-都不可能有两个不同解.
【解析】
如果11a
-，那么取12a b -=
，这时方程有两个不同的解2x =和223a
x a
-=-，其中前者是大于1的解，后者是不大于1的解.该情况不合题意.
如果1a >，那么取0b =，这时方程有两个不同的解1x a =+和1x a =-，其中前者是大于1的解，后者是不大于1的解.该情况不合题意.最后讨论1a <-的情况.
此时，如果方程有一个不小于1的解0x ，那么001bx a x +=-，所以00
11x a
b x --=
>，方程化简之后一次项系数非0，说明方程恰有一个不小于1的解.此外方程一定没有小于1的解，这是因为，如果有解1x ，那么111bx a x +=-，(显然10x ¹)所以()01000
1111
11211a x a
a
x x a b
x a x ---=
==³--+--+
（其中最后一个不等式左边的分母为正，去分母即()00121a x x a -³--，变形即()011a x a +£+，当1a <-时一定成立），矛盾.因此这种情况之下，方程不会有两个不同解.
如果方程没有不小于1的解，那么方程不会有两个不同的，都小于1的解12,x x .这是因为，此时等式11221,1bx a x bx a x +=-+=-，两式左边和右边分别相减得到1221bx bx x x -=-，所以()()1210x x b -+=，所以10b +=(因为120x x -¹).但1b =-时等式111bx a x +=-不可能成立(化简为1a =).因此方程小于1的解的个数不会多于1个.因此这种情况之下，方程也不会有两个不同解.综上所述，a 的取值范围为1a <-.
【例7】有理数,a b 满足什么条件时，关于x 的不等式ax b x +>恒成立？考点：含绝对值的不等式，含参数的不等式.解析：
(1)如果0a =，不等式化为b x >，它肯定不恒成立（例如1x b =+时就不成立）.
(2)如果0a >，那么首先不等式对b x a =-成立，此时不等式即0b
a
>-，所以0b >.
然后，当0b >时，不等式也对b x a <-恒成立，这是因为b x a <-时，0b
ax b x a
+>>->成
立.
最后我们看看不等式是否对b
x a >-恒成立.此时由于0ax b +>，不等式化为ax b x +>，
它应该对b
x a
>-恒成立.
①如果01a <<，ax b x +>不会恒成立，这是因为取1b x a =
-，它在b
x a
>-内（因为01b b
a a
>>--），但此时ax b x +=，因此不满足ax b x +>.②如果1a =，不等式ax b x +>显然恒成立（因为此时不等式即0b >）.
③如果1a >，不等式ax b x +>也恒成立，这是因为不等式ax b x +>的解集为1
b
x a >-
-，它将b x a >-包含在内（因为1b b
a a
-<--）由此可知：当0a >时，关于x 的不等式ax b x +>恒成立的条件是1a ³且0b >.
(3)如果0a <，则将,a b 分别换成,a b --，那么不等式ax b x +>变为ax b x -->，它仍然还是ax b x +>，保持不变.但此时0a ->，利用(2)中的结果可知不等式ax b x +>恒成立的条件是1a -³且0b ->，故1a £-且0b <.
综上所述，有理数,a b 需满足的条件为1a ³且0b >，或者1a £-且0b <.
【例8】当a,b,c,d 满足什么条件时，方程ax by cz d ++=既没有全为正数的解,,x y z ，也没有全为负数的解,,x y z ？【解析】
本题结论为：a,b,c,d 满足以下四种情况之一时，原方程既没有全为正数的解，也没有全为负数的解.
(1)0d =，,,a b c 中恰好有两个为0；
(2)0d =，,,a b c 中恰好有一个为0，其余两个同号；(3)0d =，,,a b c 全同号；(4)0d ¹，0a b c ===.
以下证明该结论，分若干情况讨论：
(a)如果a,b,c 均为0，那么d 为0时方程有全为正数的解1x y z ===,不满足条件；d 不为0时方程无解，满足条件.
(b)如果a,b,c 中有两个为0，不妨设a,b 为0，c 不为0.那么d 为0时，方程的解z 必须
为0，既不是正数也不是负数，满足条件；d 不为0时，方程有全为正数的解1,d
x y z c
===(如果c,d 同号)或者全为负数的解1,d
x y z c
==-=
(如果c,d 不同号)，不满足条件.(c)如果a,b,c 中有一个为0，不妨设a 为0，b,c 不为0.
(c1)如果b,c 不同号，不妨设b 为正,c 为负.那么方程有全为正数的解
111,,d x y z b c +==
=-（如果d 非负）或者全为正数的解11
1,,d x y z b c
-===(如果d 为负)，不满足条件.
(c2)如果b,c 同号，不妨设b，c 均为正.那么d 为0时，方程的解y,z 不可能全为正数也不可能全为负数（否则by cz +恒正或者恒负，不为0），满足条件；d 不为0时，方程有全为正数的解1,,22d d x y z b c ==
=(如果d 为正)或者全为负数的解1,,22d d
x y z b c
=-==(如果d 为负)，不满足条件.
(d)如果a,b,c 都不为0.
(d1)如果a,b,c 不全同号，不妨设a,b,c 中两个为正，一个为负，再不妨设a,b 为正,c 为负.那么方程有全为正数的解111
,,22d d x y z a b c
++=
==-(如果d 非负)或者全为正数的解111
,,22d x y z a b c
-=
==(如果d 为负)，不满足条件.(d2)如果a,b,c 同号，不妨设a,b,c 都是正数.那么d 为0时，方程的解x,y,z 不可能全为正数也不可能全为负数（否则ax by cz ++恒正或者恒负，不为0），满足条件；d 不为0时，方程有全为正数的解,,333d d d
x y z a b c
=
==(如果d 为正)或者全为负数的解,,333d d d
x y z a b c
=
==(如果d 为负)，不满足条件.【例9】求k 的取值范围，使得21437312
x k y k k z
--+++-==没有全为正数的解,,x y z ，也没有全为负数的解,,x y z .【解析】
将z 当作常数，可以解得 6.511.5 1.50.50.50.5x k z y k z ì=+-ï
ïíï=--ïî
.如果1k >，那么 5.7512.25,0.250.25,0.50.5x k y k z k =+=-=-是原方程的一组全为正数的解；如果23
313
k -<<-
那么 1.625 2.875, 1.125 3.375, 3.25 5.75x k y k z k =+=--=+是原方程的一组全为负数的解；如果3k £，那么 5.7512.25,0.250.25,0.50.5x k y k z k =+=-=-是
原方程的一组全为负数的解.总之，当1k >或者23
13
k <-
时不满足条件.如果23113
k -
，那么6.511.5k +与0.50.5k -其中一个非正，另外一个非负.
然而，由 6.511.5 1.50.50.50.5x k z y k z ì=+-ïïíï=--ïî可知 1.5 6.511.50.50.50.5x z k y z k ì+=+ïïíï+=-ïî，如果方程有全为正数的解,,x y z ，则 1.5 6.511.500.50.50.50x z k y z k ì+=+>ïïíï+=->ïî；如果方程有全为负数的解,,x y z ，则 1.5 6.511.500.50.50.50x z k y z k ì+=+<ïïíï+=-<ïî
，都不满足“6.511.5k +与0.50.5k -其中一个非正，另外一个非负”.这说明，231
13
k -时，方程没有全为正数的解,,x y z ，也没有全为负数的解,,x y z .
综上所述，k 的取值范围为23
113
k -.
【例10】当m,n 满足什么条件时，方程
32143
m n x m n y m z
+-+---==有解，并且每一组解,,x y z 要么同为正数，要么同为负数，要么同为0？【解析】
只需满足条件1130m n +=即可.
如果m,n 满足1130m n +=，那么由原方程可得：
()()4341134,23331133y m n m n x x m n x z m m n x x m n x
=+-+-=--==--+-=--=所以,,x y z 一定要么同为正数，要么同为负数，要么同为0
如果1130m n +¹，那么0,113x y z m n ===--是原方程的一组解，但是这组解并非同正、
同负或者同为0，不满足条件.
综上所述，m,n 应满足条件1130m n +=.
【例11】求k 的取值范围，使得方程组2333319
x y z k x y z k ì-+-=-ïïí
ï++=+ïî有解,,x y z ，并且z 比x 和y
都大.【解析】
将z 当作常数，可以解得1227x z y k z
ì=-ïïíï=+-ïî.如果z 比x 大，则122z z >-，所以4z >……①.
如果z 比y 大，则7z k z >+-，所以0.5 3.5z k >+……②.
可以看出，不管k 是多少，满足条件①②的z 总是存在的.因此方程组一定有解,,x y z ，并且z 比x 和y 都大.
综上所述，k 的取值范围为所有数.【例12】
求k 的取值范围，使得方程()()()227145k x k y k z ++-+-=有满足1,1,1x y z <<<的解,,x y z .【解析】
k 的取值范围为所有数.事实上，如果 3.5k £，可取55
,,099x y z k k
-===--满足原方程.易验证1,1,1x y z <<<成立.
如果 3.5k >，可取5
,0,02
x y z k ===+满足原方程.易验证1,1,1x y z <<<成立.（另一种取法：105
,,01111
x y z =
=-=满足原方程.显然1,1,1x y z <<<成立.）【例13】求k 的取值范围，使得方程组2475x y k x z ì+=+ï
ïí
ï+=ïî
有满足3,3,3x y z <<<的解
,,x y z .
【解析】
因为5532x z =->-=，所以23x <<，又33y -<<，所以2232233x y ´-<+<´+，
即1479k <+<，即 1.50.5k -<<.
当 1.50.5k -<<-时，方程组确实有解 3.5,2, 1.5x k y k z k =+==-；当0.50.5k -<<时，方程组确实有解 2.5,22, 2.5x k y k z k =+=+=-；当0.5k =-时，方程组确实有解2.5,0, 2.5x y z ===.它们都满足3,3,3x y z <<<.
综上所述，k 的取值范围为 1.50.5k -<<.【例14】求正数a 的取值范围，满足：
对所有k，方程组2475
x y k x z ì+=+ïïí
ï+=ïî都没有满足,,x a y a z a <<<的解,,x y z .
【解析】
如果0 2.5a <£，那么若有解,,x a y a z a <<<，则,x a z a <<，于是2x z a +<，即52a <，与0 2.5a <£矛盾.这说明0 2.5a <£时方程组一定没有满足,,x a y a z a <<<的解
,,x y z .
如果 2.5a >，则对0.125k =，原方程组有解 2.5x y z ===，并且满足,,x a y a z a <<<，不合题目要求.
综上所述，a 的取值范围为0 2.5a <£.
【例15】k 在什么范围内时，恰好有5个整数x，满足以下两个不等式链中的至少一个(可
以只满足其中一个不等式链，也可以两个都满足)①：373k x k -£<+.②：()154k x k -£<-.
【解析】
首先，满足①的整数解个数不能超过5，这要求①的解集的“长度”必须小于6，即
()3376k k +--<，得到2k >.同理，满足①的整数解个数不能超过5，得到()()5416k k ---<，所以 4.5k <.于是参数k 的范围在2 4.5k <<内.k 在这个范围内时，
解集①，②没有公共部分(因为()5437k k -<-成立)，因此，满足①的整数x 个数与满足②的整数x 个数之和等于5.
然后，如果2 3.5k <£，则②无解，因此①有5个整数解.如果23k <£，则536k <+£，因此这5个整数解只能是1,2,3,4,5，所以1x =满足37k x -£，但0x =不满足37k x -£.由此得到0371k <-£，所以78
33
k <£.如果3 3.5k <£，则63 6.5k <+£，因此这5个整
数解只能是2,3,4,5,6，所以2x =满足37k x -£，但此时372k -£得到3k £，矛盾.
最后，如果3.5 4.5k <<，那么针对②的整数解个数，再分七种情况：
(1) 3.5 3.6k <£时，②无解.那么①有5个整数解，此时637k <+£，这5个解只能是2,3,4,5,6，所以2x =满足37k x -£，但此时由372k -£得到3k £，矛盾.
(2) 3.6 3.8k <£时，②只有1个整数解.那么①有4个整数解，此时637k <+£，这4个解只能是3,4,5,6，所以3x =满足37k x -£，但此时由373k -£得到10
3
k £
，矛盾.(3) 3.84k <<时，②只有2个整数解.那么①有3个整数解，此时637k <+£，这3个
解只能是4,5,6，所以4x =满足37k x -£，但此时由374k -£得到11
3
k £
，矛盾.(4)4k =时，②只有3个整数解，而①只有2个整数解，符合要求.
(5)4 4.2k <£时，②只有4个整数解.那么①有1个整数解，此时738k <+£，这1个解只能是7，所以6x =不满足37k x -£，但此时由376k ->得到13
3
k >
，矛盾.(6) 4.2 4.4k <£时，②只有5个整数解.那么①无解，此时738k <+£，所以7x =不满
足377k -£，但此时由377k ->得到14
3
k >
，矛盾.(7) 4.4 4.5k <<时，②有6个解，多于5个，不合要求.综上所述，所求的k 的范围为78
33
k <£或4k =.
随堂测试
1.解关于x 的方程224161x x a a a
-
=+.【解析】
题目表明0a ¹，可去分母将方程化为()2
164a a x -=+，因此4a ¹-时有唯一解4x a =-，
当4a =-时有无数多解.
2.当24k <<时，解关于,x y 的方程组3331
{x y x y k +=+=+，求x y -的取值范围.
【解析】
由方程组可知，()()
331312
22
x y x y k k
x y +-++--=
=
=-，因此若24k <<，则0112
k
<-<，即01x y <-<.
3.已知关于x 的方程2x ax a -=-恰有一个非负数解而没有负数解，求a 的取值范围.
【解析】
首先，如果1a ³，那么方程有一个小于2的非负数解2
1
a x a +=+，而没有不小于2的解，合乎题意.
其次，如果01a <<，那么方程有一个小于2的非负数解2
1
a x a +=+，也有一个大于2的非负数解21a
x a
-=
-，不合题意.再次，如果0a =，那么方程只有一个解2x =，合乎题意.再次，如果10a -£<，那么方程无解，不合题意.
再次，如果21a -<<-，那么方程有一个小于2的解2
1a x a +=+，但是它小于0，不合题意.
最后，如果2a £，那么方程有一个小于2的非负数解2
1
a x a +=+，而没有不小于2的解，合乎题意.
综上所述，a 的取值范围为2a £-或1a ³或0a =.
4.求a 的取值范围，使得对所有b，方程1bx a x +=-都不可能无解.
【解析】
如果1a <，那么1b =-时，方程就无解.这是因为，若有小于1的解0x ，则原方程化为001bx a x +=-，即1a =，矛盾；若有不小于1的解1x ，则原方程化为111bx a x +=-，但此时111112
a a x
b ++==<-，依然矛盾.如果1a ³，那么不管b 是多少，方程一定有解.这是因为，如果0a
b -，则方程有一个不小于1的解11a x b
+=-；如果b a <-或者0b >，则方程有一个小于1的解11a x b -=+.综上所述，a 的取值范围为1a ³.
5.求k 的取值范围，使得方程组2333319
x y z k x y z k ì-+-=-ïïíï++=+ïî有解,,x y z ，并且z 比x 和y 都大.【解析】
将z 当作常数，可以解得1227x z y k z ì=-ïïíï=+-ïî
.如果z 比x 大，则122z z >-，所以4z >……①.
如果z 比y 大，则7z k z >+-，所以0.5 3.5z k >+……②.
可以看出，不管k 是多少，满足条件①②的z 总是存在的.因此方程组一定有解,,x y z ，并且z 比x 和y 都大.
综上所述，k 的取值范围为所有数.。