3.1n维向量及其线性组合
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（） ，当且仅当 ai bi (i 1, 2, , n) 1 （2） (a1 b1 , a2 b2 , , an bn ) （3）k (ka1 , ka2 , , k an )（k为实数） （4） ( a1 , a2 , , an )
二、向量组的线性组合
定义2 设1 , 2 , , m , 都是 n 维向量，若 存在一组数 k1 , k2 , , km ，使得
k11 k2 2 km m 则称向量 是向量组1 , 2 , , m 的线性组合，或称 向量 可由向量组1 , 2 , , m线性表出(线性表示)。
2k1 k2 3 得 k1 k2 3k3 6 5k 5k 15 3 1
1 1 3 6 1 1 3 6 2 1 0 3 A 1 1 3 6 2 1 0 3 0 3 6 9 0 5 10 15 5 0 5 15 5 0 5 15 1 1 3 6 1 0 1 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 3 0 0 4 8 0 0 1 2 0 0 1 2
即 k1 1，k2 3，k3 2。 1 3 2 2 3
k1 3 k k2 3 2k （k可取任意数） k k 3
于是 (3 k )1 (3 2k ) 2 k3 （k可取任意数）
① 设向量 (1,2, 1,5)T ， (2, 1,1,1)T ，
(4,3, 1,11)T ，求数k，使得 k 。
a11 a12 a1m b1 a a a b 21 ， 2 22 , , m 2 m ， 2 。 令 1 a a a b n1 n2 nm n
② 已知向量 (4, 13, 3)，1 (1, 3, 2)，
2 (3, 2, 1)， 3 (2, 5, 1)，试判断向量 能否 可由向量组1 , 2 , 3 线性表出？
解： k11 k2 2 k33 设
即 k1 (1, 3, 2) k2 (3, 2, 1) k3 (2, 5, 1) (4, 13, 3)
例1 n 维零向量 0 (0, 0, , 0)T 是任一 n 维向量 组1 , 2 , , m 的线性组合，这是因为
0 0 1 0 2 0 m
例2 任意一个 n 维向量 (a1 , a2 , , an )都是 n 维标准单位向量组1 (1, 0, , 0) , 2 (0, 1, , 0) , , n (0, 0, , 1) 的线性组合，这是因为
k1 3k2 2k3 4 得 3k1 2k2 5k3 13 2k k k 3 1 2 3
1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 A 3 2 5 13 0 7 11 1 0 1 1 1 2 1 1 3 0 5 5 5 0 7 11 1
4 1 2 k 2 3 2 1 2k 1 解： k 1 1 1 k 1 11 5 1 5k 1
解之得 k 2 。
则有 1x1 2 x2 m xm （） 1
定理 向量 可由向量组1 , 2 , , m线性表出 的充分必要条件是线性方程组 1 x1 2 x2 m xm 有解。
例4 已知向量组 (3, 6, 15)，1 (2, 1, 5)，
2 (1, 1, 0)， 3 (0, 3, 5)，试判断向量 能否 表示为向量组1 , 2 , 3 的线性组合？
解： k11 k2 2 k33 设
即 k1 (2, 1, 5) k2 (1, 1, 0) k3 (0, 3, 5) (3, 6, 15)
第三章 向量空间
3.1 n维 称 n 元有序数组 (a1 , a2 , , an ) 为一个 n 维向量，记作
(a1 , a2 , , an ) 其中 ai 称为 的第 i 个分量。
(a1, a2 , , an ) 叫行向量，
a1 a 2 叫列向量。 a n
a11 a2 2 an n
例3 向量组1 , 2 , , m 中的任一个向量 i (1 i m) 都能由该向量组自身线性表出：
i 0 1 0 i1 1 i 0 i1 0 m
设线性方程组： a11 x1 a12 x2 a1m xm b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2m m 2 （） 1 an1 x1 an 2 x2 anm xm bn
a1 a 2 , 则 T (a , a , , a ) 。 若 1 2 n a n
所有分量均为零的向量叫零向量， 记作 0 (0, 0, , 0) 。
设向量 (a1 , a2 , , an ) ， (b1 , b2 , , bn ) ， 规定：
二、向量组的线性组合
定义2 设1 , 2 , , m , 都是 n 维向量，若 存在一组数 k1 , k2 , , km ，使得
k11 k2 2 km m 则称向量 是向量组1 , 2 , , m 的线性组合，或称 向量 可由向量组1 , 2 , , m线性表出(线性表示)。
2k1 k2 3 得 k1 k2 3k3 6 5k 5k 15 3 1
1 1 3 6 1 1 3 6 2 1 0 3 A 1 1 3 6 2 1 0 3 0 3 6 9 0 5 10 15 5 0 5 15 5 0 5 15 1 1 3 6 1 0 1 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 3 0 0 4 8 0 0 1 2 0 0 1 2
即 k1 1，k2 3，k3 2。 1 3 2 2 3
k1 3 k k2 3 2k （k可取任意数） k k 3
于是 (3 k )1 (3 2k ) 2 k3 （k可取任意数）
① 设向量 (1,2, 1,5)T ， (2, 1,1,1)T ，
(4,3, 1,11)T ，求数k，使得 k 。
a11 a12 a1m b1 a a a b 21 ， 2 22 , , m 2 m ， 2 。 令 1 a a a b n1 n2 nm n
② 已知向量 (4, 13, 3)，1 (1, 3, 2)，
2 (3, 2, 1)， 3 (2, 5, 1)，试判断向量 能否 可由向量组1 , 2 , 3 线性表出？
解： k11 k2 2 k33 设
即 k1 (1, 3, 2) k2 (3, 2, 1) k3 (2, 5, 1) (4, 13, 3)
例1 n 维零向量 0 (0, 0, , 0)T 是任一 n 维向量 组1 , 2 , , m 的线性组合，这是因为
0 0 1 0 2 0 m
例2 任意一个 n 维向量 (a1 , a2 , , an )都是 n 维标准单位向量组1 (1, 0, , 0) , 2 (0, 1, , 0) , , n (0, 0, , 1) 的线性组合，这是因为
k1 3k2 2k3 4 得 3k1 2k2 5k3 13 2k k k 3 1 2 3
1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 A 3 2 5 13 0 7 11 1 0 1 1 1 2 1 1 3 0 5 5 5 0 7 11 1
4 1 2 k 2 3 2 1 2k 1 解： k 1 1 1 k 1 11 5 1 5k 1
解之得 k 2 。
则有 1x1 2 x2 m xm （） 1
定理 向量 可由向量组1 , 2 , , m线性表出 的充分必要条件是线性方程组 1 x1 2 x2 m xm 有解。
例4 已知向量组 (3, 6, 15)，1 (2, 1, 5)，
2 (1, 1, 0)， 3 (0, 3, 5)，试判断向量 能否 表示为向量组1 , 2 , 3 的线性组合？
解： k11 k2 2 k33 设
即 k1 (2, 1, 5) k2 (1, 1, 0) k3 (0, 3, 5) (3, 6, 15)
第三章 向量空间
3.1 n维 称 n 元有序数组 (a1 , a2 , , an ) 为一个 n 维向量，记作
(a1 , a2 , , an ) 其中 ai 称为 的第 i 个分量。
(a1, a2 , , an ) 叫行向量，
a1 a 2 叫列向量。 a n
a11 a2 2 an n
例3 向量组1 , 2 , , m 中的任一个向量 i (1 i m) 都能由该向量组自身线性表出：
i 0 1 0 i1 1 i 0 i1 0 m
设线性方程组： a11 x1 a12 x2 a1m xm b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2m m 2 （） 1 an1 x1 an 2 x2 anm xm bn
a1 a 2 , 则 T (a , a , , a ) 。 若 1 2 n a n
所有分量均为零的向量叫零向量， 记作 0 (0, 0, , 0) 。
设向量 (a1 , a2 , , an ) ， (b1 , b2 , , bn ) ， 规定：