关系传递闭包的计算

关系传递闭包的计算
关系传递闭包的计算
关系是现实世界事物之间的交互关系，关系可以通过表格型数据结构来表示和存储。

在关系中，除了基本属性之外，还存在着一些间接关系，这些间接关系是由基本属性之间的相互关系衍生而来的。

传递闭包指的是关系中基本属性之间所有可能的间接关系的集合。

在本文中，我们将探讨关系传递闭包的计算方法及其应用。

关系传递闭包的定义
给定一个关系R，传递闭包是一个关系S，S包含了关系R中所有可能的间接关系。

也就是说，如果关系R中元组(a,b)和元组(b,c)存在，那么元组(a,c)也必须存在于关系S中。

这就是传递闭包的基本定义。

关系传递闭包的性质
1.自反性：对于关系R中的每个元素a，有(a,a)∈ R。

2.对称性：如果(a,b)∈ R，则(b,a)∈ R。

3.传递性：如果(a,b)∈ R，(b,c)∈ R，则(a,c)∈ R。

4.自反传递闭包：关系R与关系R’的传递闭包相等，当且仅当关系R’包含R自反闭包。

5.传递闭包的唯一性：关系R的传递闭包是唯一的。

6.传递闭包的算法复杂度：该问题可以用O（n^3）
的时间复杂度解决。

7.计算传递闭包的算法具有可重用性：应用程序可以使用相同的计算传递闭包的代码来处理不同的数据集。

关系传递闭包的计算方法
对于给定的关系R，计算它的传递闭包的方法最简单
和最直接的方法是使用 Warshall算法。

Warshall 算法采用动态规划的思想，从一个矩阵中提取传递闭包。

算法的基本思路如下：
1.假设 R 是一个邻接矩阵矩阵，n 为其尺寸（即矩阵中元素的个数），取当前矩阵为 D0。

2.对 DQ 递归处理，直到 Dk=Dk-1。

3.使用下列公式计算 Dk+1：
Dk+1 (i,j)=(Dk (i,j)或((Dk(i,k)且Dk(k,j)))
其中i,j,k是1到n之间的整数。

4.当Dk+1 =Dk 时，算法停止处理。

5.将矩阵 Dk+1 作为传递闭包的邻接矩阵。

例如，给定一个关系矩阵R：
1 2 3 4 1 1 0 0 1 2 0 1 1 0 3 1 1 1 0 4 0 1 1 1
首先，我们将矩阵R赋值为D0。

根据递归公式计算我们可以得到：
D1：
1 2 3 4 1 1 0 0 1 2 0 1 1 0 3 1 1 1 1 4 0 1 1 1
D2：
1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 0 1 1 1
因为D2=D1，可以得出矩阵R的传递闭包为：
1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 0 1 1 1
计算出传递闭包之后，我们可以根据它进行一些操作，例如：
1. 检查传递闭包是否出现环。

2. 检查传递闭包是否具有完整性。

3. 利用传递闭包建立关系图。

4. 优化性能，例如，检查传递闭包是否存在优化空间。

关系传递闭包的应用
传递闭包在关系数据库系统中具有重要的应用，例如：
1. 数据库的一些查询需要经过多个表进行关联查询，而传递闭包就是用来处理这种关系的。

2.支持完整性约束，使用传递闭包可以检查表中的数据是否能够满足定义的完整性条件。

3.改进性能，程序可以对许多查询的结果进行预计算，从而在之后的查询中更快地返回结果。

4.建立关系图，传递闭包可以用来建立一些关系图，例如，社交网络中的人际关系图等。

结论
传递闭包是一个非常重要且有用的概念，在关系数据库系统中尤为突出。

计算传递闭包的方法主要有基于Warshall算法的方法，这是一种常见而且有效的方法。

通过计算传递闭包可以进行多种操作，例如建立关系图、检查约束条件等。

传递闭包的应用许多，特别是在建立关系数据库系统时，在实践中它有很大的作用，有很多的应用场景。