四边形专题经典复习原创有解答(18页)

四边形专题复习
注意：
1．平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积．如图1，
2. 拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图2
，
3. 平行四边对角线分得的四个三角形面积相等。

5．梯形的判定和性质
6．梯形中的常用辅助线：
7.平行线等分线段定理
（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上所截得的线段也相等． （2）经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边． （3）经过梯形一腰中点且与底边平行的直线必平分另一腰． 8．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半． 典型例题：
例1.如图，ABCD 中，AE=CF ，AE 与CF 交于点O ，连结BO ．求证：∠AOB=∠COB ．
解：作BM ⊥CF 于M ，BN ⊥AE 于N ，连接BE 、BF ；
根据和AE=CF ，可证BN=BM ，
于是∠AOB=∠COB ．
例2.如图：工人师傅要把一块三角形的钢板，通过切割焊接成一个
与其面积相等的平行四边形．请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论．
解：如图，分别取边AB、AC的中点D、E，沿线段DE切割开，将△ADE的边AE与边EC重合(点A与点C重合、点E与点E重合)后焊接，点D至点F处，则所得四边形DBCF为平行四边形．证明略
．
例3. 已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：(1)BE⊥AC； (2)EG=EF。

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，BD=2BO．
由已知BD=2AD，∴BO=BC，又E是OC中点，∴BE⊥AC．
(2)由(1)BE⊥AC，又G是AB中点，∴
∵EF是△OCD的中位线，∴又，∴
例4．如图，ABCD为等腰梯形，AB∥CD，对角线AC，BD交于O，且∠AOB=60°，又E，F，G分别为DO，AO，BC的中点．
求证：△EFG是等边三角形。

证明：连接EC．∵ABCD为等腰梯形，∴AD=BC，且AC=BD．
又∵DC=DC，∴△ADC≌△BCD，∠ACD=∠BDC，∴△ODC为等腰三角形．
∵∠DOC=∠AOB=60°，∴△ODC为等边三角形．
又∵E为OD中点，∴∠OEC=90°．
在Rt△BEC中，G为斜边的中点，∴。

同理．
在△OAD中，∵E，F分别为OD，OA的中点．
∴，故△EFG为等边三角形．
例5．已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF． (1)当DG=2时，求△FCG的面积；(2)设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；(3)判断△FCG 的面积能否等于1，并说明理由．
解：(1)∵正方形ABCD中，AH=2，∴DH=4．
又DG=2，因此HG=，即菱形EFGH的边长为．
在△AHE和△DGH中，∠A=∠D=90°，AH=DG=2，EH=HG=，
∴△AHE≌△DGH。

∴∠AHE=∠DGH。

∵∠DGH+∠DHG=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHC=90°，即菱形EFGH是正方形．同理可以证明△DGH≌△CFG．
因此∠FCG=90°，即点F在BC边上，同时可得CF=2，从而
(2)作FM⊥DC，M为垂足，连结GE，
∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE。

∴∠AEH=∠MGF。

在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG。

∴FM=HA=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2。

因此
(3)若，由，得，此时，在△DGH中，。

相应地，在△AHE中，，即点E已经不在边AB上。

故不可能有。

另法：由于点G在边DC上，因此菱形的边长至少为DH=4，
当菱形的边长为4时，点E在AB边上且满足，此时，当点E逐渐向右运动至点B时，
HE的长(即菱形的边长)将逐渐变大，最大值为。

此时，，故。

而函数的值随着的增大而减小，
因此，当时，取得最小值为。

又因为，所以△FCG的面积不可能等于1。

巩固练习：
1、把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
D C
2、四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．（1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．
3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．
挑战自我：
1、 (2010年眉山市)．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°
2、（2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ）
A. 正三角形
B. 正方形
C. 正五边形
D. 正六边形 3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是（ ）
A ．9
B ．8
C ．6
D ．4
4、（2010年福建福州中考）如图4，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB 的周长为 。

5、（2010年宁德市）如图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于_____．
A B C D E F D ′
6题
F
E
D
C B
A
6、 (2010年滨州)如图,平行四边形ABCD 中, ∠ABC=60°,E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上,AE ∥BD,EF ⊥BC,DF=2,
则EF 的长为 7、 (2010年福建晋江)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当．．．．的关系作为条件，推出四边形ABCD 是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①AD ∥BC ，②CD AB =，③C A ∠=∠，④︒=∠+∠180C B ．
已知：在四边形ABCD 中， ， ；求证：四边形ABCD 是平行四边形．
8、（2010年宁波市）如图1，有一张菱形纸片ABCD ，8=AC ，6=BD 。

（1）请沿着AC 剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四
边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD 剪开， 请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边 形的周长。

（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4
中用实线画出拼成的平行四边形。

（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）
周长为__________ 周长为__________
9、（2007天津市）在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且cm AC 5=，BD=12c m ，求梯形中位线的长。

10、（2007·山东）如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm
A
C
C C C （图2） （图1） （图3） （图4） A
B C
D
第5题图
F
A E B
C
D A O
E
10题
11、（2006·山东）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF =45o
，且AE+AF
=四边形ABCD 的周长是 ．
直击中考：
1. （2011安徽）如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD =6，BD =4，CD =3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是（ ）【答案】D A ．7 B ．9 C ．10 D ．11
2. （2011山东威海）在□ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则AF ：CF ＝（ ） A ．1：2 B ．1：3 C ．2：3 D ．2：5 【答案】A
3. （2011四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为( ) 【答案】C
……
图① 图② 图③ 图④ A ．55 B ．42 C ．41 D ．29
4. （2011宁波市）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）【答案】C A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7
5. （2011广东汕头）正八边形的每个内角为（ ）【答案】Ｂ
A ．120°
B ．135°
C ．140°
D ．144° 6、（2011山东德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是（ ）【答案】C
（A ）2n
（B ）4n
（C ）1
2
n + （D ）2
2
n +
7. （2011山东泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为（ ）【答案】B
A.17
B.17
C.18
D.19
8. （2011山东泰安）如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC =3，则折痕CE 的长为（ ）【答案】A A.2 3 B.
33
2
C. 3
D.6
9. （2011四川重庆）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) 【答案】C A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
图1
图2
图3
……
… A 1
A
A 2 A 3 B
B 1 B 2
B 3
C C 2 C 1 C 3
D 2 D 1 D 3
10. （2011浙江省嘉兴）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）【答案】A （A ）48cm
（B ）36cm （C ）24cm
（D ）18cm
11. （ 2011重庆江津）如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC ⊥BD,顺次连接四边形ABCD 各边中点,得到四边形A 1B 1C 1D 1,再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点,得到四边形A 2B 2C 2D 2……,如此进行下去,得到四边形A n B n D n .下列结论正确的有( ) 【答案】C
①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形; ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形; ③四边形A 5B 5C 5D 5的周长
4b a +; ④四边形A n B n D n 的面积是12
+n ab
A.①②
B.②③
C.②③④
D.①②③④
12. （2011湖北武汉市）如图，在菱形ABCD 中，AB =BD ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE =DF ．连接BF 与
DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．下列结论：（ ） 【答案】D ①△AED ≌△DFB ； ②S 四边形 BCDG =
4
3
CG 2；③若AF =2DF ，则BG =6GF ．其中正确的结论 A ．只有①②． B ．只有①③．C ．只有②③． D ．①②③．
（第10题）
F
A
B
C
D
H
E
G
①
②
③
④
⑤
第12题图
13. （2011山东烟台）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 【答案】2
14. (2011浙江绍兴) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为
. 2
15. （2011甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。

已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 。

【答案】
1
1
4n
16、（2009年宜宾）如图，菱形ABCD 的对角线长分别为b a 、，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形A 1B 1C 1D 1，然后再以矩形A 1B 1C 1D 1的中点为顶点作菱形A 2B 2C 2D 2，……，如此下去，得到四边形A 2009B 2009C 2009D 2009的面积用含 b a 、的
代数式表示为 ．【答案】
ab 2010
2
1）（．
……
17、（2009 黑龙江大兴安岭）如图，边长为1的菱形ABCD 中，︒=∠60DAB ．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11D ACC ，使 ︒=∠601AC D ；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形221D C AC ，使
︒=∠6012AC D ；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为 ．【答案】
()
1
3-n
18．（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ．当BM = 时，四边形AB 的面积最大． 【答案】2;
19、（2011四川宜宾）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 在AC 上，G 、H 在BD 上，AF=CE ，BH=DG ． 求证：GF ∥HE ．
【答案】证明：∵平行四边形ABCD 中，OA=OC ，
由已知：AF=CE AF －OA=CE －OC ∴OF=OE 同理得：OG=OH ∴四边形EGFH 是平行四边形 ∴GF ∥HE
D 1
H
A
C
B
D
O
E G
F
20、（2011四川成都10分） 如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点. (1)若BK =
52KC ，求AB
CD
的值； (2)连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE =1
2
AD 时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE =
1n
AD (2>n )，而其余条件不变时，线段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．
G
【答案】解：（1）∵AB ∥CD ，BK =
52KC ，∴AB CD =BK CK =5
2
.
（2）如图所示，分别过C 、D 作BE ∥CF ∥DG 分别交于AB 的延长线于F 、G 三点，
∵BE ∥DG ，点E 是AD 的点，∴AB=BG ；∵CD ∥FG ，CD ∥AG ，∴四边形CDGF 是平行四边形，∴CD=FG ； ∵∠ABE =∠EBC ，BE ∥CF ，∴∠EBC =∠BCF ，∠ABE =∠BFC ，∴BC =B F ， ∴AB-CD=BG-FG=BF=BC ，∴AB=BC+CD . 当AE =
1
n
AD (2>n )时，（1-n ）AB=BC+CD . 21、（2011贵州安顺10分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，且AF =CE =AE ．
⑴说明四边形ACEF 是平行四边形；
⑵当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形，并说明理由．
【答案】（1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF ∥CA ∴∠AEF =∠EAC ∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ∴△AEC ≌△EAF ，∴EF = CA ，∴四边形ACEF 是平行四边形 ． （2）当∠B =30°时，四边形ACEF 是菱形 ． 理由是：∵∠B =30°，∠ACB =90°，∴AC =
AB 2
1
，∵DE
垂直平分BC ，∴ BE =CE 第25题图
又∵AE =CE ，∴CE =
AB 2
1
，∴AC =CE ，∴四边形ACEF 是菱形． 22、（2011山东滨州10分）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 的平分线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE 、AF 。

那么当点O 运动到何下时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。

【答案】当点O 运动到AC 的中点（或OA=OC ）时， 四边形AECF 是矩形………………2分
证明：∵CE 平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分 又∵MN ∥BC, ∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5分 同理，FO=CO ………………6分 ∴EO=FO
又OA=OC, ∴四边形AECF 是平行四边形………………7分
又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°………………9分 ∴四边形AECF 是矩形………………10分 23、（2011湖北襄阳10分)如图9，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与点A ，B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE ，DF . （1）求证：∠ADP ＝∠EPB ； （2）求∠CBE 的度数； （3）当
AB
AP
的值等于多少时，△PFD ∽△BFP ？并说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形
∴∠A ＝∠PBC ＝90°，AB ＝AD ，∴∠ADP ＋∠APD ＝90° ············ 1分 ∵∠DPE ＝90° ∴∠APD ＋∠EPB ＝90° ∴∠ADP ＝∠EPB . ··································································· 2分 （2）过点E 作EG ⊥AB 交AB 的延长线于点G ，则∠EGP ＝∠A ＝90° ··· 3分
P
F
E
D
C
B
A
图9
（第24题图）
F E N
M O C
B
A
G
P
F
E D
C
B
A
又∵∠ADP ＝∠EPB ，PD ＝PE ，∴△PAD ≌△EGP ∴EG ＝AP ，AD ＝AB ＝PG ，∴AP ＝EG ＝BG ································ 4分 ∴∠CBE ＝∠EBG ＝45°. ·························································· 5分 （3）方法一：
当
2
1
=AB AP 时，△PFE ∽△BFP . ··················································· 6分 ∵∠ADP ＝∠FPB ，∠A ＝∠PBF ，∴△ADP ∽△BPF ····················· 7分 设AD ＝AB ＝a ，则AP ＝PB ＝a 2
1，∴BF ＝BP ·a AD AP 4
1
= ·············· 8分 ∴a AP AD PD 2522=+=，a BF PB PF 4
5
22=+= ∴
5
5=
=PF BF PD PB ····································································· 9分 又∵∠DPF ＝∠PBF ＝90°，∴△ADP ∽△BFP ····························· 10分 方法二：
假设△ADP ∽△BFP ，则
PF
BF
PD PB =. ··········································· 6分 ∵∠ADP ＝∠FPB ，∠A ＝∠PBF ，∴△ADP ∽△BPF ··················· 7分 ∴BF
AP
PF PD =， ······································································· 8分 ∴
BF
AP
BF PB =， ········································································ 9分 ∴PB ＝AP ， ∴当2
1
=AB AP 时，△PFE ∽△BFP . 10分
24. （2011湖南永州10分）探究问题：
⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF ，求证DE+BF=EF ．
感悟解题方法，并完成下列填空： 将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G ，B ，F 在同一条直线上． ∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又AG=AE ，AF=AF ∴△GAF ≌_______．
∴_________=EF ，故DE+BF=EF ．
⑵方法迁移：
如图②，将ABC Rt ∆沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF=2
1
∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．
⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，E ，F 分别为DC,BC 上的点，满足DAB EAF ∠=∠2
1
,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得DE+BF=EF ．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
【答案】⑴EAF 、△EAF 、GF ． ⑵DE+BF=EF ，理由如下：
假设∠BAD 的度数为m ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转︒m 得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G ，B ，F 在同一条直线上． ∵∠EAF=
︒m 2
1 ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=︒=︒-︒m m m 2121
∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=
︒m 2
1
． 即∠GAF=∠EAF 又AG=AE ，AF=AF ∴△GAF ≌△EAF ．∴GF=EF ，
又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF ． ⑶当∠B 与∠D 互补时，可使得DE+BF=EF ． 25、（2007南充）如图， 等腰梯形ABCD 中，AB ＝15，AD ＝20，∠C ＝30º．点M 、N 同时以相同速度分别从点A 、点3
2
1G
E F
D
C
B A （第25题）②解得图
3
2
1G
E
F
D C
B
A （第25题）①
E
F
D
C
B
A
（第25题）② E
F
D C
B
A
（第25题）③
D 开始在AB 、AD （包括端点）上运动．
（1）设ND 的长为x ，用x 表示出点N 到AB 的距离，并写出x 的取值范围． （2）当五边形BCDNM 面积最小时，请判断△AMN 的形状．
解：（1）过点N 作BA 的垂线NP ，交BA 的延长线于点P ． ………………（1分）
由已知，AM ＝x ，AN ＝20－x ．
∵ 四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠D ＝∠C ＝30º， ∴ ∠PAN ＝∠D ＝30º． 在Rt △APN 中，PN ＝AN sin ∠PAN ＝1
2
（20－x ）， 即点N 到AB 的距离为
1
2
（20－x ）．
………………………………（3分）
∵ 点N 在AD 上，0≤x ≤20，点M 在AB 上，0≤x ≤15，
∴ x 的取值范围是 0≤x ≤15． ………………………………（4分） （2）根据（1），S △AMN ＝12AM •NP ＝14x （20－x ）＝21
54
x x -+． ……（5分）
∵ 1
4
-
＜0，∴ 当x ＝10时，S △AMN 有最大值． …………………………（6分）
又∵ S 五边形BCDNM ＝S 梯形－S △AMN ，且S 梯形为定值，
∴ 当x ＝10时，S 五边形BCDNM 有最小值． …………………………（7分） 当x ＝10时，即ND ＝AM ＝10，AN ＝AD －ND ＝10，即AM ＝AN ． 则当五边形BCDNM 面积最小时，△AMN 为等腰三角形． …………（8分）
26、（2007福建晋江）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝4，AD ＝3，动点M 、N 分别从D 、B 同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M 沿DA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动。

过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于点P ，连结MP 。

已知动点运动了x 秒。

⑴请直接写出PN 的长；（用含x 的代数式表示）⑵若0秒≤x ≤1秒，试求△MPA 的面积S 与时间x 秒的函数关系式，利用函数图象，求S 的最大值。

⑶若0秒≤x ≤3秒，△MPA 能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x 的对应值；若不能，试说明理由。

D
M A B
C
N
D P
解：⑴
3412x -；⑵延长NP 交AD 于点Q ，则PQ ⊥AD ，由⑴得：PN ＝3
412x
-， 则x x PN QN PQ 3
4
34124=--=-=。

依题意，可得：x AM -=3
23)23(32)3(3232234)3(2121222+--=--=-=⋅-⋅=⋅⋅=x x x x x x x PQ AM S
∵0≤x ≤1.5 即函数图象在对称轴的左侧，函数值S 随着x
∴当1=x 时，S 有最大值 ，S 最大值＝3
4。

⑶△MPA 能成为等腰三角形， 共有三种情况，以下分类说明： ①若PM ＝PA ，
∵PQ ⊥MA ∴MQ ＝QA ＝x
又DM ＋MQ ＋QA ＝AD ∴33=x ，即1=x ②若MP ＝MA ，则MQ ＝x 23-，PQ ＝
x 3
4
，MP ＝MA ＝x -3 在Rt △PMQ 中，由勾股定理得：2
2
2
PQ MQ MP +=
∴2
2
2
)3
4()23()3(x x x +-=-，解得：43
54
=
x （0=x 不合题意，舍去） ③若AP ＝AM ，由题意可得：x AP 35=，AM ＝x -3∴x x -=335，解得：89
=x
综上所述，当1=x ，或4354=x ，或8
9
=x 时，△MPA 是等腰三角形。