概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第四章习题参考答案

第四章 大数定律与中心极限定理
习题4.1
1． 如果X X P
n →，且Y X P
n →．试证：P {X = Y } = 1．
证：因 | X − Y | = | −(X n − X ) + (X n − Y )| ≤ | X n − X | + | X n − Y |，对任意的ε > 0，有
⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
≥−≤≥−≤2||2||}|{|0εεεY X P X X P Y X P n n ，
又因X X P
n →，且Y X P
n →，有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎫⎩
⎨⎧
≥−+∞→εY X P n n ，
则P {| X − Y | ≥ ε} = 0，取k 1=
ε，有01||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−k Y X P ，即11||=⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
<−k Y X P ， 故11||lim
1||}{1=⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
<−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
<
−==+∞→+∞=k Y X P k Y X P Y X P k k I ． 2． 如果X X P
n →，Y Y P
n →．试证：
（1）Y X Y X P
n n +→+； （2）XY Y X P
n n →．
证：（1）因 | (X n + Y n ) − (X + Y ) | = | (X n − X ) + (Y n − Y )| ≤ | X n − X | + | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有
⎭⎫⎩
⎨⎧
≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥+−+≤2||2||}|)()({|0εεεY Y P X X P Y X Y X P n n n n ，
又因X X P n →，Y Y P n →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧
≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎬⎫⎩
⎨⎧≥−+∞→εY Y P n n ，
故0}|)()({|lim =≥+−++∞
→εY X Y X P n n n ，即Y X Y X P
n n +→+；
（2）因 | X n Y n − XY | = | (X n − X )Y n + X (Y n − Y ) | ≤ | X n − X | ⋅ | Y n | + | X | ⋅ | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤2||||2||||}|{|0εεεY Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n ，
对任意的h > 0，存在M 1 > 0，使得4}|{|1h M X P <≥，存在M 2 > 0，使得8
}|{|2h
M Y P <≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，8
}1|{|h Y Y P n <
≥−， 因| Y n | = | (Y n − Y ) + Y | ≤ | Y n − Y | + | Y |，有4
}|{|}1|{|}1|{|22h M Y Y Y P M Y P n n <
≥+≥−≤+≥， 存在N 2 > 0，当n > N 2时，4)1(2||2h M X X P n <⎭⎬⎫⎩
⎨⎧+≥−ε，当n > max{N 1, N 2}
时，有
244}1|{|)1(2||2||||22h h h M Y P M X X P Y X X P n n n n =+<+≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧
≥⋅−εε，
存在N 3 > 0，当n > N 3时，42||1h
M Y Y P n <⎭⎬⎫⎩
⎨⎧≥−ε，有
244}|{|2||2||||11h h h M X P M Y Y P X Y Y P n n =+<≥+⎭⎬⎫⎩
⎨⎧≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧
≥⋅−εε，
则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2, N 3} 时，有
h h h Y Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n =+<⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤222||||2||||}|{|0εεε，
故0}|{|lim =≥−+∞→εXY Y X P n n n ，即XY Y X P
n n →．
3． 如果X X P
n →，g (x )
是直线上的连续函数，试证：)()(X g X g P
n →． 证：对任意的h > 0，存在M > 0，使得4
}|{|h M X P <
≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，4
}1|{|h X X P n <≥−， 因| X n | = | (X n − X ) + X | ≤ | X n − X | + | X |，
则2
44}|{|}1|{|}1|{|h h h M X P X X P M X P n n =+<
≥+≥−≤+≥， 因g (x ) 是直线上的连续函数，有g (x ) 在闭区间 [− (M + 1), M + 1] 上连续，必一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当 | x − y | < δ 时，有 | g (x ) − g ( y ) | < ε ，
存在N 2 > 0，当n > N 2时，4
}|{|h
X X P n <≥−δ，
则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2} 时，有
{}}|{|}1|{|}|{|}|)()({|0M X M X X X P X g X g P n n n ≥+≥≥−≤≥−≤U U δε
h h
h h M X P M X P X X P n n =++<
≥++≥+≥−≤4
24}|{|}1|{|}|{|δ， 故0}|)()({|lim =≥−+∞
→εX g X g P n n ，即)()(X g X g P
n →．
4． 如果a X P n →，则对任意常数c ，有ca cX P
n →． 证：当c = 0时，有c X n = 0，ca = 0，显然ca cX P
n →；
当c ≠ 0时，对任意的ε > 0，有0||||lim =⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≥
−+∞
→c a X P n n ε， 故0}|{|lim =≥−+∞
→εca cX P n n ，即ca cX P
n →．
5． 试证：X X P n →的充要条件为：n → +∞ 时，有0||1|
|→⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−+−X
X X X E n n ．
证：以连续随机变量为例进行证明，设X n − X 的密度函数为p ( y )，
必要性：设X X P
n →，对任意的ε > 0，都有0}|{|lim =≥−+∞
→εX X P n n ，
对012>+εε，存在N > 0，当n > N 时，ε
εε+<≥−1}|{|2X X P n ， 则∫∫∫≥<∞+∞−+++=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛−+−ε
ε||||)(||1|
|)(||1||)(||1||||1||y y n n dy y p y y dy y p y y dy y p y y X
X X X E εεεεε
εεεε
εε
ε
ε=+++<≥−+<−+=++≤∫∫≥<11}|{|}|{|1)()(12
||||X X P X X P dy y p dy y p n n y y ，
故n → +∞ 时，有0||1|
|→⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−+−X
X X X E n n ； 充分性：设n → +∞ 时，有0||1|
|→⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−+−X
X X X E n n ， 因∫∫
∫≥≥≥++≤
++=
=
≥−εε
ε
εε
ε
ε
ε
ε
ε||||||)(|
|1|
|1)(11)(}|{|y y y n dy y p y y dy y p dy y p X X P ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−+−+=++≤
∫∞
+∞−||1|
|1)(||1||1X X X X E dy y p y y n n εεε
ε
， 故0}|{|lim =≥−+∞
→εX X P n n ，即X X P
n →．
6． 设D (x )为退化分布：
⎩
⎨⎧≥<=.0,1;
0,0)(x x x D
试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中n = 1, 2, …．）
（1）{D (x + n )}； （2）{D (x + 1/n )}； （3）{D (x − 1/n )}．
解：（1）对任意实数x ，当n > −x 时，有x + n > 0，D (x + n ) = 1，即1)(lim =++∞
→n x D n ，
则 {D (x + n )} 的极限函数是常量函数f (x ) = 1，有f (−∞) = 1 ≠ 0，
故 {D (x + n )} 的极限函数不是分布函数； （2）若x ≥ 0，有01>+
n x ，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ，即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
++∞→n x D n ，
若x < 0，当x n 1−
>时，有01<+n x ，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ，即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
++∞→n x D n ，
则⎩⎨⎧≥<=⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
++∞→.
0,1;0,01lim x x n x D n 这是在0点处单点分布的分布函数，满足分布函数的基本性质，
故⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝
⎛+n x D 1的极限函数是分布函数；
（3）若x ≤ 0，有01<−
n x ，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ，即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
−+∞→n x D n ，
若x > 0，当x n 1>
时，有01>−n x ，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ，即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
−+∞→n x D n ，
则⎩⎨⎧>≤=⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
−+∞→.
0,1;0,01lim x x n x D n 在x = 0处不是右连续，
故⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−n x D 1的极限函数不是分布函数．
7． 设分布函数列 {F n (x )} 弱收敛于连续的分布函数F (x )，试证：{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布
函数F (x )． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，对任意的ε > 0，取正整数ε
2
>
k ，
则存在分点x 1 < x 2 < … < x k −1，使得1,,2,1,)(−==k i k
i
x F i L ，并取x 0 = −∞，x k = +∞， 可得k k i k x F x F i i ,1,,2,1,2
1)()(1−=<=
−−L ε
， 因 {F n (x )} 弱收敛于F (x )，且F (x ) 连续，有 {F n (x )} 在每一点处都收敛于F (x )，
则存在N > 0，当n > N 时，1,,2,1,2
|)()(|−=<−k i x F x F i i n L ε
，
且显然有2
0|)()(|00ε
<
=−x F x F n ，2
0|)()(|ε
<
=−k k n x F x F ，
对任意实数x ，必存在j ，1 ≤ j ≤ k ，有x j −1 ≤ x < x j ，
因2
)()()()(2
)(11ε
ε
+
<≤≤<−
−−j j n n j n j x F x F x F x F x F ，
则εε
ε
ε
−=−
−
>−
−>−−222)()()()(1x F x F x F x F j n ，且εε
ε
ε
=+
<
+
−<−2
2
2
)()()()(x F x F x F x F j n ，
即对任意的ε > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) − F (x ) | < ε ， 故 {F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )．
8． 如果X X L
n →，且数列a n → a ，b n → b ．试证：b aX b X a L
n n n +→+． 证：设y 0是F aX + b ( y ) 的任一连续点，
则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4
|)()(|0ε
<−++y F y F b aX b aX ，
又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F aX + b ( y ) 的任一连续点，
因⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=≤+=+a b y F a b y X P y b aX P y F X b aX }{)(，有a b y x −=是F X (x )
的连续点，且X X L n
→， 有)()(lim x F x F X X n n =+∞
→，存在N 1，当n > N 1时，4
|)()(|ε
<
−x F x F X X n ，即4
|)()(|ε
<
−++y F y F b aX b aX n ，
则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，
2
|)()(||)()(||)()(|00ε
<
−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F b aX b aX b aX b aX b aX b aX n n ， 因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x ) 单调不减且几乎处处连续， 存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且4
1)(ε
−>M F X ，4
)(ε
<
−M F X ，
因X X L
n →，有4
1)()(lim ε
−
>=+∞
→M F M F X X n n ，4
)()(lim ε
<
−=−+∞
→M F M F X X n n ，
则存在N 2，当n > N 2时，4
1)(ε
−
>M F n X ，4
)(ε
<
−M F n X ，
可得2
)(1)(}|{|ε
<
−+−=>M F M F M X P n n X X n ，
因数列a n → a ，b n → b ，存在N 3，当n > N 3时，M h a a n 4||<−，4
||h b b n <−， 可得当n > max{N 2, N 3}时，
⎭⎫⎩
⎨⎧
>−+−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+2|)()(|2|)()(|h b b X a a P h b aX b X a P n n n n n n n
2}|{|24||42||||||ε<>=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧>+⋅≤⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
>−+⋅−≤M X P h h X M h
P h b b X a a P n
n n n n ， 则⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+⎭⎬⎫⎩
⎨⎧+≤+≤≤+=+2|)()(|2}{)(000h b aX b X a h y b aX P y b X a P y F n n n n n n n n b X a n n n U
222|)()(|20
0ε+⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
+<⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
>
+−++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h b aX b X a P h y b aX P b aX n n n n n n ， 且⎭⎬⎫⎩
⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧
−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2|)()(|}{22000h b aX b X a y b X a P h y b aX P h y F n n n n n n n n b aX n U
2
)(2|)()(|}{00ε+<⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧
>
+−++≤+≤+y F h b aX b X a P y b X a P n n n b X a n n n n n n n ， 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
−+++h y F y F h y F b aX b X a b aX n n n n n ，
因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2
)()(2
)(00ε
ε
+
<<−
+++y F y F y F b aX b aX b aX n ，
在区间⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，
εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ，
在区间⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
−−2,00h y h y 取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，
εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ，
即对于F aX + b ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε<−++|)()(|00y F y F b aX b X a n n n ， 故)()(y F y F b aX W
b X a n n n ++→，b aX b X a L
n n n +→+． 9． 如果X X L
n →，a Y P
n →，试证：a X Y X L
n n +→+． 证：设y 0是F X + a ( y ) 的任一连续点，
则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4
|)()(|0ε
<−++y F y F a X a X ，
又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X + a ( y )
的任一连续点，
因F X + a ( y ) = P {X + a ≤ y } = P {X ≤ y − a } = F X ( y − a )，有x = y − a 是F X (x )
的连续点，且X X L
n →， 有)()(lim x F x F X X n n =+∞
→，存在N 1，当n > N 1时，4
|)()(|ε
<
−x F x F X X n ，即4
|)()(|ε
<
−++y F y F a X a X n ， 则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，
2
|)()(||)()(||)()(|00ε
<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ，
因a Y P
n →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ，存在N 2，当n > N 2时，2
2||ε
<⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
>
−h a Y P n ， 则⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩
⎨⎧+≤+≤≤+=+2||2}{)(000h a Y h y a X P y Y X P y F n n n n Y X n n U
222||20
0ε+⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
+<⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
>
−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h a Y P h y a X P a X n n n ， 且⎭⎬⎫⎩
⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧
−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2||}{22000h a Y y Y X P h y a X P h y F n n n n a X n U
2
)(2||}{0
0ε+<⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧
>
−+≤+≤+y F h a Y P y Y X P n n Y X n n n ， 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
−+++h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，
因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2
)()(2
)(00ε
ε
+
<<−
+++y F y F y F a X a X a X n ，
在区间⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
++h y h y 00,2取F X + a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2}时，
εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，
在区间⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
−−2,00h y h y 取F X + a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2}时，
εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，
即对于F X + a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2}时，ε<−++|)()(|00y F y F a X Y X n n ， 故)()(y F y F a X W
Y X n n ++→，a X Y X L
n n +→+． 10．如果X X L
n →，0P
n Y →，试证：0P
n n Y X →．
证：因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x ) 单调不减且几乎处处连续，
则对任意的h > 0，存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且41)(h M F X −
>，4
)(h
M F X <−， 因X X L n →，有41)()(lim h M F M F X X n n −>=+∞→，4
)()(lim h M F M F X X n n <−=−+∞→，
则存在N 1，当n > N 1时，4
1)(h M F n X −>，4)(h
M F n X <−，
可得2
)(1)(}|{|h
M F M F M X P n n X X n <−+−=>，
因0P
n Y →，对任意的ε > 0，有0||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+∞→M Y P n n ε，存在N 2，当n > N 2时，2||h M Y P n <⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
>ε， 则当n > max{N 1, N 2}时，有
h M Y P M X P M Y M X P Y X P n n n n n n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+>≤⎭⎬⎫⎩
⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧
>>≤>εεε||}|{|||}|{|}|{|U ，
故0}|{|lim =>+∞
→εn n n Y X P ，即0P
n n Y X →．
11．如果X X L
n →，a Y P
n →，且Y n ≠ 0，常数a ≠ 0，试证：a
X
Y X L n n →． 证：设y 0是F X / a ( y ) 的任一连续点，
则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4
|)()(|0//ε
<−y F y F a X a X ，
又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X / a ( y ) 的任一连续点，
因)(}{)(/ay F ay X P y a X P y F X a X =≤=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤=，有x = ay 是F X (x )
的连续点，且X X L
n →，
有)()(lim x F x F X X n n =+∞
→，存在N 1，当n > N 1时，4
|)()(|ε
<
−x F x F X X n ，即4
|)()(|//ε
<
−y F y F a X a X n ，
则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，
2
|)()(||)()(||)()(|0////0//ε
<
−+−≤−y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ，
因X 的分布函数F X (x )
满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x )
单调不减且几乎处处连续，
存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且12
1)(ε
−>M F X ，12
)(ε
<
−M F X ，
因X X L
n →，有12
1)()(lim ε
−
>=+∞
→M F M F X X n n ，12
)()(lim ε
<
−=−+∞
→M F M F X X n n ，
则存在N 2，当n > N 2时，12
1)(ε
−
>M F n X ，12
)(ε
<
−M F n X ，
可得6
)(1)(}|{|ε
<
−+−=>M F M F M X P n n X X n ，
因0≠→a Y P
n ，有02||lim =⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
>−+∞→h a Y P n n ，
存在N 3 > 0，当n > N 3时，62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−a a Y P n ，有62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧
<a Y P n ，且6
4||2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>
−M h a a Y P n ， 可得当n > max{N 1, N 2, N 3}时，
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧>⋅−⋅=⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−2||||||||2)(2h Y a a Y X P h aY Y a X P h a X Y X P n n n n n n n n n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−>≤2||||4||}|{|2a Y M h a a Y M X P n n n U U
22||||4||}|{|2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧
<+⎭⎬⎫⎩
⎨⎧>−+>≤a Y P M h a a Y P M X P n n n ，
则⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+
≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=22)(000/h a X Y X h y a X
P y Y X P y F n n n n n n Y X n n U
22220/0ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛
+<⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤h y F h a X Y X P h y a X P a X n n n n n ，
且⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛
−222000/h a X Y X y Y X P h y a X P h y F n n n n
n n a X n U
2)(20/0ε+<⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤y F h a X Y X P y Y X P n n Y X n n n n n ，
即22)(220/0/0/εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
−h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，
因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2
)()(2
)(0//0/ε
ε
+
<<−
y F y F y F a X a X a X n ，
在区间⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
++h y h y 00,2取F X / a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，
εε
ε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝
⎛+
<)(2
)(22)(0/1/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，
在区间⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
−−2,00h y h y 取F X / a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，
εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝
⎛
−>)(2)(22)(0/2/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，
即对于F X / a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε<−|)()(|0/0/y F y F a X Y X n n ，
故)()(//y F y F a X W
Y X n n →，a
X Y X L n n →． 12．设随机变量X n 服从柯西分布，其密度函数为
+∞<<∞−+=
x x n n
x p n ,)
1π()(22．
试证：0P
n X →．
证：对任意的ε > 0，)arctan(π2)arctan(π
1)1π(}|{|2
2εεε
εε
ε
n nx dx x n n X P n ==+=<−−∫， 则12
π
π2)arctan(lim π2}|0{|lim =⋅==
<−+∞→+∞
→εεn X P n n n ， 故0P
n X →．
13．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧<<=.
,0;0,1
)(其他ββx x p
其中常数β > 0，令Y n = max{X 1, X 2, …, X n }，试证：βP
n Y →．
证：对任意的ε > 0，P {| Y n − β | < ε} = P {β − ε < Y n < β + ε} = P {max{X 1, X 2, …, X n } > β − ε}
= 1 − P {max{X 1, X 2, …, X n } ≤ β − ε} = 1 − P {X 1 ≤ β − ε} P {X 2 ≤ β − ε} … P {X n ≤ β − ε}
n
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−−=β
εβ1， 则11lim }|{|lim =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=<−+∞
→+∞→n
n n n Y P βε
βεβ， 故βP
n Y →．
14．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为
⎩
⎨
⎧<≥=−−.,0;
,e )()(a x a x x p a x 其中Y n = min{X 1, X 2, …, X n }，试证：a Y P
n →．
证：对任意的ε > 0，P {| Y n − a | < ε} = P {a − ε < Y n < a + ε} = P {min{X 1, X 2, …, X n } < a + ε}
= 1 − P {min{X 1, X 2, …, X n } ≥ a + ε} = 1 − P {X 1 ≥ a + ε} P {X 2 ≥ a + ε} … P {X n ≥ a + ε}
εεεn n
a a x n a a x dx −∞
++−−∞++−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−=∫e 1e 1e 1)()(， 则1)e 1(lim }|{|lim =−=<−−+∞
→+∞
→εεn n n n a Y P ，
故a Y P
n →．
15．设随机变量序列{X n }独立同分布，且X i ~ U
(0, 1)．令n
n
i i n X Y 11⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝⎛
=∏=，试证明：c Y P n →，其中c 为常数，并求出c ．
证：设∑∏===⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛==n i i n i i n n X n X n Y Z 11ln 1ln 1ln ，因X i ~ U (0, 1)， 则1)ln (ln )(ln 1
01
−=−==∫x x x xdx X E i ，2)2ln 2ln (ln )(ln 1
21
22=+−==∫x x x x x xdx X E i ，
1)](ln [)(ln )Var(ln 22=−=i i i X E X E X ， 可得1)(ln 1)(1−==∑=n i i n X E n Z E ，n X n
Z n
i i
n 1
)Var(ln 1
)Var(1
2
==∑=，
由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，2
2
1)
Var(}|)({|εεεn Z Z E Z P n n n =
≤
≥−，
则01
lim }|)({|lim 02
=≤≥−≤+∞→+∞→εεn Z E Z P n n n n ，即0}|)({|lim =≥−+∞→εn n n Z E Z P ，1)(−=→n P n Z E Z ，
因n Z n Y e =，且函数e x 是直线上的连续函数，根据本节第3题的结论，可得1e e −→=P
Z n n Y ， 故c Y P
n →，其中1e −=c 为常数．
16．设分布函数列{F n (x )}弱收敛于分布函数F (x )，且F n (x ) 和F (x ) 都是连续、严格单调函数，又设 ξ 服从
(0, 1)
上的均匀分布，试证：)()(11
ξξ−−→F F P
n
． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，
则对任意的h > 0，存在M > 0，使得21)(h M F −
>，2
)(h M F <−， 因F (x ) 是连续、严格单调函数，有F −1( y ) 也是连续、严格单调函数， 可得F −1( y ) 在区间 [F (− M − 1), F (M + 1)] 上一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当y , y * ∈ [F (− M − 1), F (M + 1)] 且 | y − y * | < δ 时，| F −1( y ) − F −1( y *) | < ε， 设y * 是 [F (−M ), F (M )] 中任一点，记x * = F −1( y *)，有x * ∈ [−M , M ]，不妨设0 < ε < 1， 则对任意的x 若满足 ε≥−|*|x x ，就有 δ≥−|*)(|y x F ，
根据本节第7题的结论知，{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )， 则对δ > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) − F (x ) | < δ， 因当n > N 时，δ<−|)()(|x F x F n 且δ≥−|*(|y x F ，有*)(y x F n ≠，即*)(1y F x n −≠， 则对任意的0 < ε < 1，当n > N 时，*)(1y F n −满足ε<−=−−−−|*)(*)(||**)(|111y F y F x y F n n ， 可得对任意的0 < ε < 1，当n > N 时，h M F M F P F F P n −>−∈≥<−−−1)]}(),([{}|)()({|11ξεξξ
由h 的任意性可知1}|)()({|lim 11=<−−−+∞
→εξξF F P n n ，
故)()(11ξξ−−→F F P
n
．
17．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = µ，试证：
µP n k k X k n n →⋅+∑=1
)1(2
．
证：令∑=⋅+=n
k k n X k n n Y 1
)1(2
，并设Var (X n ) = σ 2， 因µµµ=+⋅+=+=∑=)1(2
1
)1(2)1(2)(1n n n n k n n Y E n
k n ， 且22
221
222
2
)
1(324)12)(1(61)1(4)1(4)Var(σσσ++=
++⋅+=
+=∑=n n n n n n n n k n n Y n
k n ， 则由切比雪夫不等式可得，对任意的ε > 0，22
2
)1(32
41)
Var(1}|{|1σε
εεµ++−
=−
≥<−≥n n n Y Y P n n ， 因1)1(3241lim 22=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++−+∞→σεn n n n ，由夹逼准则可得1}|{|lim =<−+∞→εµn n Y P ， 故µP n k k
n X k n n Y →⋅+=∑=1
)1(2． 18．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．试证：
E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．
试证：
2
1
21σP n k k X n →∑=． 注：此题与第19题应放在习题4.3中，需用到4.3节介绍的辛钦大数定律．
证：因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且222
)]([)Var()(σ=+=n n n X E X X E 存在，
故}{2n
X 满足辛钦大数定律条件，}{2n
X 服从大数定律，即2
1
21σP n k k X n →∑=．
19．设随机变量序列{X n }独立同分布，且Var (X n ) = σ 2存在，令
∑==n i i X n X 11，∑=−=n i i n X X n S 1
22
)(1．
试证：
22
σP
n
S →．
证：2
122112122122121)2(1)(1X X n X n X X X n X X X X n X X n S n i i n
i i n i i n i i i n i i n
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛+−=+−=−=∑∑∑∑∑=====，
设E
(X n ) = µ，{X n }满足辛钦大数定律条件，{X n }服从大数定律，即µP n
k k X n X →=∑=1
1，
则根据本节第2题第（2）小问的结论知，22
µP
X →，
因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且2222
)]([)Var()(µσ+=+=n n n X E X X E 存在，
则}{2n
X 满足辛钦大数定律条件，}{2n
X 服从大数定律，即22
1
21µσ+→∑=P n k k X n ，
故根据本节第2题第（1）小问的结论知，22222
1
22)(1σµµσ=−+→−=∑=P n i i n
X X n S ．
20．将n 个编号为1至n 的球放入n 个编号为1至n 的盒子中，每个盒子只能放一个球，记
⎩⎨
⎧=.
,0;
,1反之的盒子的球放入编号为编号为i i X i 且∑==n
i i n X S 1，试证明：
0)(P
n n n S E S →−． 证：因n X P i 1}1{==，n
X P i 1
1}0{−==，
且i ≠ j 时，)1(1}1{−=
=n n X X P j i ，)
1(1
1}0{−−==n n X X P j i ， 则n X E i 1)(=
，⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛−=n n X i 111)Var(， 且i ≠ j 时，)1(1)(−=
n n X X E j i ，)
1(1
1)1(1)()()(),Cov(2
2−=−−=−=n n n n n X E X E X X E X X j i j i j i ， 有1)()(1
==∑=n
i i n X E S E ，1)
1(1
)1(11),Cov(2
)Var()Var(211=−⋅−+−
=+=∑∑≤<≤=n n n n n X X X S n
j i j i n
i i n ， 可得0)]()([1
)(=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−n n n n S E S E n n S E S E ，221)Var(1)(Var n S n n S E S n n n ==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−， 由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，
2221)(Var 1)()(εεεn n S E S n S E S E n S E S P n n n n n n =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−≤⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−， 则01lim )()(lim 022=≤⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−≤+∞→+∞→εεn n S E S E n S E S P n n n n n n ， 故
0)(P
n n n
S E S →−．
习题4.2
1． 设离散随机变量X 的分布列如下，试求X 的特征函数．
1
.02.03.04.03
210P
X
解：特征函数ϕ (t ) = e it ⋅ 0 × 0.4 + e it ⋅ 1 × 0.3 + e it ⋅ 2 × 0.2 + e it ⋅ 3 × 0.1 = 0.4 + 0.3 e it + 0.2 e 2it + 0.1 e 3it ．
2． 设离散随机变量X 服从几何分布P {X = k } = (1 − p ) k − 1 p ， k = 1, 2, … ．试求X 的特征函数．并以此求
E (X ) 和Var (X )． 解：特征函数it
it
k k it
it
k k itk p p p p p p t e
)1(1e )]
1([e
e
)
1(e )(1
1
1
1
−−=−=−⋅=∑∑+∞
=−+∞
=−ϕ； 因22]e )1(1[e ]e )1(1[]e )1([e ]e )1(1[e )(it it it it it it it p ip p i p p p i p t −−=−−⋅−−⋅−−−⋅⋅=′ϕ，有)()0(2X iE p
i
p ip ===′ϕ，
故p
X E 1
)(=
； 因3
3
2
]e )1(1[]
e )1(1[e ]e )1([]e )1(1[e 2]
e )1(1[e )(it it it it
it it
it it
p p p i p p ip p i ip t −−−+−=
⋅−−⋅−−−−−⋅⋅=′′−−ϕ， 有)(2)2()0(2223X E i p
p p p p =−−=−−=
′′ϕ，可得2
2
2)(p p X E −=， 故22
2112)Var(p p
p p p X −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−−=． 3． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布
r
k r p p r k k X P −−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−−==)1(11}{，k = r , r + 1, …
试求X 的特征函数．
解：特征函数∑∑+∞=−−+∞
=−−+−−−=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=r k r k it r k itr r r k r k r itk
p r k k r p p p r k t )
(e
)1)(1()1()!1(e )1(11e )(L ϕ ∑∑+∞=−=−−−+∞
=−=−−=+−−−=r k p x r k r r it r
k p x r k r it it
it
dx x d r p x r k k r p e )1(111e )1()
()!1()e ()1()1()!1()e (L it
it it p x r r it p x r r r it p x k k r r r it x r r p x dx d r p x dx d r p e )1(e )1(11e )1(1111)1()!
1()!1()e (11)!1()e ()!1()e (−=−=−−−=+∞=−−−−−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=∑r
it it
r it r it p p p p ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−−=−−=e )1(1e ]e )1(1[)e (． 4． 求下列分布函数的特征函数，并由特征函数求其数学期望和方差．
（1）)0(,e 2)(|
|1>=
∫∞−−a dt a x F x t a ； （2）)0(,1
π)(222>+=∫∞−a dt a
t a x F x ． 解：（1）因密度函数||11e 2
)()(x a a
x F x p −=′=，
故⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡−+
+=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+=⋅=+∞
−∞
−+∞+−∞−+∞+∞−−∫∫∫0
)(0
)(0)(0)(||1e e 2e e 2e
e 2)(a
it a it a dx dx a dx a t x a it x a it x a it x a it x a itx ϕ 2
2
2112a
t a a it a it a +=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−+=； 因2
22222221)
(22)()(a t t
a t a t a t +−=⋅+−=′ϕ，有)(0)0(1
X iE ==′ϕ， 故E (X ) = 0；
因3
22
4
2242222222221)(26)(2)(22)(2)(a t a t a a t t a t t a a t a t +−=+⋅+⋅−+⋅−=′′ϕ， 有)
(22)0(222641X E i a a a =−=−=′′ϕ，可得22
2)(a X E =， 故2222
02)Var(a
a X =−=；
（2）因密度函数2
2221
π)()(a
x a x F x p +⋅=′=， 则∫+∞∞−+⋅=dx a x a t itx 2
2
21
e π)(ϕ， 由第（1）小题的结论知
∫∞+∞
−=+=dx x p a t a t itx )(e )(1222
1ϕ，
根据逆转公式，可得
∫∫∞+∞−−∞+∞−−−+⋅===dt a
t a dt t a x p itx itx x a 222
1||1e π21)(e π21e 2)(ϕ， 可得
||||22
2e πe 2
π21e y a y a ity
a a a dt a t −−−+∞∞−=⋅=+⋅∫， 故|
|||222e e ππ1e π)(t a t a itx a a dx a
x a t −−+∞∞−=⋅=+⋅=∫ϕ； 因⎩
⎨⎧>−<=′−,0,e ,
0,e )(2
t a t a t at
at ϕ 有a a −=+′≠=−′)00()00(22ϕϕ，即)0(2ϕ′不存在， 故E (X ) 不存在，Var (X ) 也不存在．
5． 设X ~ N (µ, σ 2)，试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩． 解：因X ~ N (µ, σ 2)，有X 的特征函数是2
2
2e
)(t t i t σµϕ−
=，
则)(e
)(22
2
2t i t t t i σµϕσµ−⋅=′−
，)(e
)(e )(22
222
2
22
2σσµϕσµσµ−⋅+−⋅=′′−
−
t t i t t i t i t ，
因)()(3e
)(e
)(222
322
2
22
2σσµσµϕσµσµ−⋅−⋅+−⋅=′′′−
−
t i t i t t t i t t i ，
有ϕ″′(0) = e 0 ⋅ (i µ )3 + e 0 ⋅ 3i µ ⋅ (−σ 2) = − i µ 3 − 3i µσ 2 = i 3E (X 3) = − i E (X 3)， 故E (X 3) = µ 3 + 3µσ 2； 又因222
2222
422
)4()(3e
)()(6e
)(e
)(2
22
22
2σσσµσµϕσµσµσµ−⋅+−⋅−⋅+−⋅=−
−
−
t t i t t i t t i t i t i t ，
有ϕ (4)(0) = e 0 ⋅ (i µ )4 + e 0 ⋅ 6(i µ)2 ⋅ (−σ 2) + e 0 ⋅ 3σ 4 = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4 = i 4E (X 4) = E (X 4)， 故E (X 4) = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4．
6． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，则
X + Y ~ b (n + m , p )．
证：因X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，
有X 与Y 的特征函数分别为ϕ X (t ) = ( p e it + 1 − p ) n ，ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) m ， 则X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) n + m ，这是二项分布b (n + m , p )的特征函数， 故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ b (n + m , p )．
7． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，则
X + Y ~ P (λ1 + λ2)．
证：因X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，
有X 与Y 的特征函数分别为)
1(e
1e )(−=it
t X λϕ，)
1(e
2e )(−=it
t Y λϕ，
则X + Y 的特征函数为)
1)(e
(21e )()()(−++==it
t t t Y X Y X λλϕϕϕ，这是泊松分布P (λ1 + λ2)的特征函数，
故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ P (λ1 + λ2)．
8． 试用特征函数的方法证明伽马分布的可加性：若X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，则
X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．
证：因X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，
有X 与Y 的特征函数分别为1
1)(αλϕ−⎟
⎠
⎞
⎜⎝⎛−=it t X ，2
1)(αλϕ−⎟
⎠
⎞
⎜⎝⎛−=it t Y ，
则X + Y 的特征函数为)
(211)()()(ααλϕϕϕ+−+⎟
⎠
⎞
⎜⎝⎛−==it t t t Y X Y X ，这是伽马分布Ga (α1 + α2 , λ)的特征函数，
故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．
9． 试用特征函数的方法证明χ 2分布的可加性：若X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，则
X + Y ~ χ 2 (n + m )．
证：因X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，
有X 与Y 的特征函数分别为2
)
21()(n X it t −−=ϕ，2
)
21()(m Y it t −
−=ϕ，
则X + Y 的特征函数为2
)
21()()()(m n Y X Y X it t t t +−+−==ϕϕϕ，这是χ 2分布χ 2 (n + m )的特征函数，
故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ χ 2 (n + m )．
10．设X i 独立同分布，且X i ~ Exp
(λ)，i = 1, 2, …, n ．试用特征函数的方法证明：),(~1λn Ga X Y n
i i n ∑==．
证：因X i ~ Exp (λ)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，
有X i 的特征函数为1
1)(−⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛−=−=λλλ
ϕit it t i X ，
则∑==n
i i n X Y 1的特征函数为n
n
i X Y it t t i n −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−==∏λϕϕ1)()(1
，这是伽马分布Ga (n , λ)的特征函数，
故根据特征函数的唯一性定理知Y n ~ Ga (n , λ)．
11．设连续随机变量X 的密度函数如下：
+∞<<∞−−+⋅=x x x p ,)
(π1)(2
2µλλ， 其中参数λ > 0, −∞ < µ < +∞，常记为X ~ Ch (λ, µ )．
（1）试证X 的特征函数为exp{i µ t − λ | t |}，且利用此结果证明柯西分布的可加性； （2）当µ = 0, λ = 1时，记Y = X ，试证ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t )，但是X 与Y 不独立；
（3）若X 1, X 2, …, X n 相互独立，且服从同一柯西分布，试证：
)(1
21n X X X n
+++L 与X 1同分布． 证：（1）根据第4题第（2）小题的结论知：若X *的密度函数为2
2π1)(*x
x p +⋅=λλ
，即X * ~ Ch (λ, 0)， 则X *的特征函数为ϕ * (t ) = e −λ | t |，且X = X * + µ 的密度函数为2
2
)(π1
)(µλλ−+⋅=x x p ， 故X 的特征函数为ϕ X (t ) = e i µ t ϕ * (t ) = e i µ t ⋅ e −λ | t | = e i µ t −λ | t |； 若X 1 ~ Ch (λ1, µ1)，X 2 ~ Ch (λ2, µ2)，且相互独立，
有X 1与X 2的特征函数分别为||111e )(t t i X t λµϕ−=，||222e )(t t i X t λµϕ−=， 则X 1 + X 2的特征函数为||)()(21212121e )()()(t t i X X X X t t t λλµµϕϕϕ+−++==，
这是柯西分布Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)的特征函数，
故根据特征函数的唯一性定理知X 1 + X 2 ~ Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)； （2）当µ = 0, λ = 1时，X ~ Ch (1, 0)，有X 的特征函数为ϕ X (t ) = e −| t |，
又因Y = X ，有Y 的特征函数为ϕ Y (t ) = e −| t |，且X + Y = 2X ，
故X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ 2X (t ) = ϕ X (2t ) = e −| 2t | = e −| t | ⋅ e −| t | =ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t )； 但Y = X ，显然有X 与Y 不独立；
（3）因X i ~ Ch (λ, µ )，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，
有X i 的特征函数为||e )(t t i X t i λµϕ−=， 则)(1
21n n X X X n
Y +++=
L 的特征函数为 )(e e )()(1||111t n t t t X t t i n t n t
i n n
i X n
i X n
Y i i
n ϕϕϕϕλµλµ===⎟⎠⎞⎜⎝⎛==−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛
⋅−⋅==∏∏，
故根据特征函数的唯一性定理知
)(1
21n X X X n
+++L 与X 1同分布． 12．设连续随机变量X 的密度函数为p (x )，试证：p (x ) 关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶
函数．
证：方法一：根据随机变量X 与−X 的关系
充分性：设X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数，有ϕ X (t ) = ϕ X (−t )，
则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t )，根据特征函数的唯一性定理知−X 与X 同分布，
因X 的密度函数为p (x )，有−X 的密度函数为p (−x )，
故由−X 与X 同分布可知p (−x ) = p (x )，即p (x ) 关于原点对称； 必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (−x ) = p (x )， 因−X 的密度函数为p (−x )，即−X 与X 同分布，
则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t )，且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X it X X ϕϕϕ=====−−−， 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数． 方法二：根据密度函数与特征函数的关系
充分性：设连续随机变量X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数，有ϕ X (t ) = ϕ X (−t )，
因∫+∞∞
−−=dt t x p itx )(e π21)(ϕ，有∫∫+∞∞−+∞∞−−−==−dt t dt t x p itx
x it )(e π21)(e π21)()(ϕϕ， 令t = −u ，有dt = −du ，且当t → −∞时，u → +∞；当t → +∞时，u → −∞，
则)()(e π21)(e π21))((e π21)()(x p du u du u du u x p iux
iux x u i ==−=−−=−∫∫∫+∞∞
−−+∞∞−−−∞∞+−ϕϕϕ， 故p (x ) 关于原点对称；
必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (−x ) = p (x )，
因∫+∞
∞
−−==dx x p E t itx
itX
)(e )(e
)(ϕ，有∫∫+∞
∞
−−+∞
∞
−−==−dx x p dx x p t itx x
t i )(e )(e
)()(ϕ，
令x = −y ，有dx = −dy ，且当x → −∞时，y → +∞；当x → +∞时，y → −∞， 则)()(e )(e ))((e )()(t dy y p dy y p dy y p t X ity ity y it X ϕϕ==−=−−=−∫∫∫+∞
∞
−+∞
∞
−−∞
∞
+−−，
且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X t i X X ϕϕϕ====−=−−， 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数．
13．设X 1, X 2, …, X n 独立同分布，且都服从N
(µ , σ 2
)分布，试求∑==n
i i X n X 1
1的分布．
证：因X i ~ N (µ , σ 2)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为2
2
2e
)(t t i X t i σµϕ−
=，
则∑==n i i X n X 11的特征函数为n
t t i n t n t i n n
i X n i X n X n t t t i i 2211112
222e
e
)()(σµσµϕϕϕ−
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅====⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==∏∏，
这是正态分布⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛n N 2,σµ的特征函数，
故根据特征函数的唯一性定理知⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛=∑=n N X n X n
i i 21,~1σµ． 14．利用特征函数方法证明如下的泊松定理：设有一列二项分布{b (k , n , p n )}，若λ=→∞
n n np lim ，则
L ,2,1,0,e !
),,(lim ==
−∞
→k k p n k b k
n n λλ．
证：二项分布b (n , p n )的特征函数为ϕ n (t ) = ( p n e it + 1 − p n ) n = [1 + p n (e it − 1)] n ，且n → ∞时，p n → 0，
因)
1(e
)
1(e )
1(e 1
e )]
1(e 1[lim )]1(e 1[lim )(lim −−⋅−→→∞
→∞
=−+=−+=it
it n it n n np p it
n p n it n n n n p p t λϕ，。