2019-2020学年内蒙古包头市高一下学期期末考试数学试题(解析版)

1
B．
4
1
C．
5
1
D．
6
【解析】如图，正方体截去三棱锥 D ABC 后，所得图形为三视图所对应的几何体，
设正方体的棱长为 a a 0 ，求出正方体的体积为V ，及三棱锥 D ABC 的体积，从
而可求出截去几何体的体积与剩余几何体的体积的比值. 【详解】
如下图，正方体截去三棱锥 D ABC 后，所得图形为三视图所对应的几何体，
2bc
2 3k 5k
2
因为 A 0, π ，所以 A 2π .
3
故选：B.
【点睛】
本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
7．某几何体的三视图如图所示，该几何体由一平面将正方体截去一部分后所得，则截
去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为（ ）
1
A．
3
【答案】C
D 中，令 a 2,b 1，则 1 1 , 1 1，显然 1 1 .
a 2b
ab
故选：B
【点睛】
本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立，属于基础题.
3．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（ ）
①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；
）
65
A．
2
B．33
67
C．
2
D．34
【答案】A
【解析】根据
f
(x)
f
(1
x)
1 ，并结合倒序相加法可求出 an
n 1
，再利用等差
2
数列求和公式得到答案.
【详解】
函数 y f (x) 满足 f (x) f (1 x) 1 ，
an
f
(0)
f
1 n
f
2 n
f
n 1 n
f (1) ①，
6．在△ ABC 中， sin A : sin B : sin C 7 : 3 : 5 ，那么这个三角形的最大角是（ ）
π
A．
2
2π
B．
3
4π
C．
5
5π
D．
6
【答案】B
【解析】由正弦定理，可得 a : b : c 7 : 3 : 5 ，设 a 7k,b 3k, c 5k k 0 ，易知
该三角形的最大角是角 A ，由余弦定理，可求出 cos A ，进而可求出角 A .
其中 DC BC ， DC AC ，又 AC BC C ，所以 DC 平面 ABC ； 又因为三棱锥 A BCD 四个面都为直角三角形且四个顶点都在一个正方体的顶点上， 所以该正方体如下图所示，可知 DC 为正方体的一条棱；
又 AB BC 2 ， BD 2 2 ， 所以在 RtBCD 中， DC BD2 BC2 8 4 2 ; 该正方体的表面积为 6 22 24 .
5
【点睛】 本题考查利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.
9．已知点 A(4, 0) ， B(3, 1) ，若直线 y kx 2 与线段 AB 恒有公共点，则 k 的取
值范围是（ ）
A．
1,
1 2
B．
1 2
,1
C．
,
1 2
[1,
)
D．
(,
1]
1 2
,
【答案】D
【解析】作出图形，直线 y kx 2 恒过定点 C 0, 2 ，求出 AC 、 BC 的斜率，由直
【详解】
由正弦定理， a : b : c sin A : sin B : sin C 7 : 3 : 5 ，
设 a 7k,b 3k, c 5k k 0 ，
3
显然该三角形的最大角是角 A ，
由余弦定理，可得 cos A b2 c2 a2 9k 2 25k 2 49k 2 1 ，
【答案】B
B．若 a b 0 ，则 a2 b2 D．若 a b 0 ，则 1 1
ab
【解析】取特殊值判断 A, C, D 选项，根据不等式的性质判断 B 选项.
【详解】
解：A 中， c2 0 时， ac2 bc2 ；
B 中， a b 0 ，由性质 7 可得 a2 b2 ；
C 中，令 a 2, b 1，则 a2 4, ab 2, b2 1 ，显然 a2 ab b2 ；
5．已知an 为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
2
A．若 a1 a3 ，则 a1 a2
B．若 a2 a1 ，则 a3 a2
C． a1 a3 2a2
D． a12 a32 2a22
【答案】D 【解析】利用等比数列的通项公式和性质，结合基本不等式，逐项进行判断即可．
【详解】
设等比数列an 的公比为 q，
故选：C.
8
【点睛】
本题主要考查了线面垂直关系，同时考查了对三棱锥的认识和空间想象能力，解题时要
认真审题，注意空间思维能力的培养．
12．已知函数 y f (x) 满足 f (x) f (1 x) 1 ，若数列an 满足
an
f
(0)
f
1 n
f
2 n
f
n 1 n
f (1) ，则数列an 的前 10 项和为（
若 a1 0, a3 0 ，则 a1 a3 2 a1 a3 2 a22 2 a2 ，当且仅当 a1 a3 ，即 q 1
时取等号；若 a1 0, a3 0 ，则
a1 a3 (a1) (a3 ) 2 a1 a3 2 a22 2 a2 ，当且仅当 a1 a3 ，即
an
f
(1)
f
n
1 nBiblioteka fnn2
f
顶点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为（ ）
A．12
B．18
C．24
D．36
【答案】C
【解析】根据题意作出四个面都为直角三角形的三棱锥 A BCD ，并根据该三棱锥的 特点，作出满足题意的正方体，由此可知 DC 为该正方体的一条棱，再根据题中所给数
据，即可求出结果.
【详解】
由于在三棱锥 A BCD 中， AB 平面 BCD ，且四个面都为直角三角形，作出三棱锥 A BCD ，如下图所示：
q 1 时取等号，故 C 不正确；
因为 a12
a32
( a2 )2 q
(a2q)2
2a2
2
，当且仅当
(
a2 q
)2
(a2q)2 ，即 q
1 时取等号，
故 D 正确.
故选：D．
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式、等比数列的性质、基本不等式等知识的综合应用，解
题的关键是灵活利用基本不等式和等比数列的性质．
可得 a2 b2 a2 (1 b)2 (1 a)2 b2 (1 a)2 (1 b)2 PO PC PA PB ， 又在 PAC 中， PA PC AC ，在 POB 中， PO PB OB PO PC PA PB AC OB 2 2 当 P 是 AC 与 OB 的交点时， PO PC PA PB = AC OB 2 2 ， 所以 PO PC PA PB AC OB 2 2 ． 即 a2 b2 a2 (1 b)2 (1 a)2 b2 (1 a)2 (1 b)2 的最小值为 2 2．
基础题.
8．已知在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P, Q 分别为 A1B1, CC1 的中点，则异面直线
B1C 和 PQ 所成的角为（ ）
A．
6
B．
4
C．
3
D．
2
【答案】A
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角.
【详解】
解：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2 ，
③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形
A．1 【答案】A
B．2
C．3
D．4
【解析】根据斜二侧画法的基本概念和作图原则，对每一个选项进行判断，即可得到结
果．
【详解】
对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；
对于②，相等的线段在直观图中不一定相等， 如平行于 x 轴的线段，长度不变，平行 于 y 轴的线段，变为原来的 1 ，所以②错误；
设所求对称直线上任意一点的坐标为 x, y ，则关于原点对称点的坐标为 x, y ，该
点在已知的直线上，则 3x 4 y 5 0 ，即 3x 4 y 5 0 .
故选：D. 【点睛】
本题主要考查了直线关于点对称问题，考查运算能力，属于基础题.
2．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 a b 0 ，则 ac2 bc2 C．若 a b 0 ，则 a2 ab b2
6
本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中等题．
10．已知 0 a 1， 0 b 1 ，则 a2 b2 a2 (1 b)2 (1 a)2 b2 (1 a)2 (1 b)2 的最小值为（ ）
A．2
B． 2 2
C． 2 3
D．4
【答案】B
【解析】根据两点之间的距离公式，令 O 0, 0,C 0,1, A1, 0, B 1,1, P(a,b) ，可
A．1
B． 2
C．2
D． 2 2
【答案】B
【解析】利用点到直线的距离公式，求出原点到直线 x y 2 0 的距离，即为 OP
的最小值.
【详解】
原点到直线 x y 2 0 的距离为 0 0 2 2 2 .
12 12
2
故选：B.
【点睛】
本题主要考查点到直线的距离公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
设正方体的棱长为 a a 0 ，则正方体的体积为V a3 ，
三棱锥 D ABC 的体积为V 1 1 a a a 1 a3 ，
32
6
4
V 则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为 V V
1 a3 6 a3 1 a3
1 5
.
6
故选：C.
【点睛】
本题考查三视图，考查几何体的体积，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于
线 y kx 2 与线段 AB 恒有公共点，可求出 k 的取值范围.
【详解】
直线 y kx 2 恒过定点 C 0, 2 ，
直线
AC
的斜率 k1
20
0 4
1 2
，直线
BC
的斜率 k2
2 1
03
1 ，
当 k 1 或 k 1 时，直线 y kx 2 与线段 AB 恒有公共点.
2
故选：D. 【点睛】
2019-2020 学年内蒙古包头市高一下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．与直线 3x 4 y 5 0 关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A． 3x 4 y 5 0
B． 3x 4 y 5 0
C． 3x 4 y 5 0
D． 3x 4 y 5 0
【答案】D 【解析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线 方程，即可. 【详解】
则 C 0, 2, 0 ， B1 2, 2, 2 ， P 2,1, 2 ， Q 0, 2,1
PQ 2,1, 1 ， CB1 2, 0, 2
设异面直线 B1C 和 PQ 所成的角为 ，则
cos
PQ
CB1
PQ CB1
2 2 1 2
3
22 12 12 22 22 2
0,
2
6
故选： A
故选：B．
7
【点睛】
本题主要考查了两点间距离公式的应用，函数最值得几何意义，考查了转化思想、数形
结合思想，属于中档题．
11．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥 A BCD
为鳖臑， AB 平面 BCD ， AB BC 2 ， BD 2 2 ，且三棱锥 A BCD 的四个
2 对于③，相等的角在直观图中不一定相等， 如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二
测画法内是 45 和135 ，所以③错误；
对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；
综上，正确的命题序号是①，共 1 个．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了斜二侧画法的基本概念和作图原则，是基础题．
4．点 P(x, y) 在直线 x y 2 0 上， O 是坐标原点，则 | OP | 的最小值是（ ）
若 a1 a3 ，则 a1 a1q2 ，∴ q2 1，∴ q 1 ，∴ a1 a2 或 a1 a2 ，故 A 不正确；
若 a2 a1 ，则 a1q a1 ，所以 a3 a2 a1q2 a1q q(a1q a1) ，当 q 0 时，
a3 a2 ；当 q 0 时， a3 a2 ，故 B 不成立.
得
a2 b2 PO , a2 (1 b)2 PC , (1 a)2 b2 PA , (1 a)2 (1 b)2 PB
，做出草图，再根据三角形的性质，即可求出结果． 【详解】
如图，令 O 0, 0,C 0,1, A1, 0, B 1,1, P(a,b) ，
则
a2 b2 PO , a2 (1 b)2 PC , (1 a)2 b2 PA , (1 a)2 (1 b)2 PB