数的整体性
小升初数学必考知识点参考
千里之行，始于足下。
小升初数学必考知识点参考小升初数学的考试内容相对固定，主要包括数与代数、几何、统计与概率三个部分。
下面是对每个部分主要考察的知识点的参考，希望对您有所帮助。
一、数与代数1. 数的认识：整数、正数、负数、零的概念及大小比较2. 数的运算：四则运算（加、减、乘、除）、加法、减法的逆运算、乘法口诀表3. 分数与小数的认识及相互转化：分数的加、减、乘、除运算、约分与化简、小数的读法与写法4. 符号的应用：加减法运算中带有括号和加减号的计算、解方程中的代入与求解5. 数的整体性：自然数的认识、完全平方数、接近整十整百的估算二、几何1. 图形的认识：平行四边形、长方形、正方形、三角形的认识及特征2. 各种图形的面积计算：长方形、正方形、三角形、梯形的面积计算3. 图形的周长计算：矩形、正方形、三角形、梯形、圆的周长计算4. 正方体、长方体、圆柱体、圆锥体的认识及体积计算5. 空间几何：平面图形的展开与折叠、立体图形的展开与拼拓三、统计与概率1. 数据的认识：数据的收集与整理，频数表、条形统计图2. 数据的分析：数据的最大值、最小值、中位数、平均数的计算与比较3. 算术均值与调和均值的理解与应用4. 基本概率：概率的认识、可能性的大小比较、事件的概率计算第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
以上列举的知识点是小升初数学考试中非常重要的部分，但并不代表所有的考察内容。
学生应该综合考虑教材知识点的重要性，在备考中进行有针对性的复习和练习。
此外，小升初数学考试中也涉及到一些基本的解题技巧，例如三角形的细分、抽象思维、逻辑推理等，学生需要在平时的学习中培养这些能力。
最后，值得一提的是，在备考过程中还需要注重因材施教，根据孩子的实际情况进行有针对性的指导和辅导。
尽早制定学习计划，合理安排时间，多做真题和模拟题，逐步提高对题目的理解和解题能力。
同时，提醒孩子保持良好的心态，保持信心，不要过分紧张，考试时保持好的状态，发挥出自己的最佳水平。
数学整体性教学的探索与反思
数学整体性教学的探索与反思数学整体性教学的探索与反思引言在教育领域中，数学教育一直是广受关注的重要学科。
为了提高学生的数学素养和能力，许多教育工作者不断探索新的教学方法和理念。
其中，数学整体性教学成为了近年来备受关注的一种教学方法。
本文将对数学整体性教学的概念、重要性、实现方法、案例分析以及反思进行探讨。
概念阐述数学整体性教学是指在数学教学中，将知识点进行整合，帮助学生理解数学知识之间的联系，形成完整的知识体系。
整体性教学强调知识的结构性和内在逻辑，旨在提高学生的数学思维能力、解决问题能力和创新能力。
在整体性教学中，教师通过引导学生探究知识点之间的联系，帮助学生形成良好的认知结构，使得学生能够更好地掌握数学知识和技能。
重要性数学整体性教学在数学教育中具有以下重要性：1、提高学生的数学素养：通过整体性教学，学生能够更好地理解数学知识的本质，形成良好的数学思维习惯，提高数学素养。
2、增强学生的解决问题的能力：整体性教学强调知识的内在联系和结构，有助于学生形成解决问题的整体思路，提高解决问题的能力。
3、培养学生的创新能力：在整体性教学中，学生需要主动探究知识之间的联系，有助于培养学生的创新意识和能力。
实现方法数学整体性教学的实现方法包括以下几个方面：1、整合知识点：将数学知识进行整合，帮助学生理解知识点之间的联系，形成完整的知识体系。
2、情境创设：通过创设真实的情境，引导学生运用数学知识解决实际问题，增强学生的实践能力和问题解决能力。
3、探究式教学：通过引导学生进行探究性学习，让学生主动探究知识点之间的联系，形成良好的认知结构。
4、合作式学习：通过小组合作式学习，让学生在交流和分享中形成对数学知识的深入理解，增强合作意识和能力。
案例分析案例一：某教师在教授“三角形”这一章节时，通过让学生观察、操作、探究等方式，理解三角形的性质和特点。
同时，教师还通过让学生了解三角形在实际生活中的应用，加深对三角形的理解。
小学数学数与运算整体教学的几点思考——以《三位数乘两位数的笔算》为例谈“运算教学”的整体性
小学数学数与运算整体教学的几点思考——以《三位数乘两位数的笔算》为例谈“运算教学”的整体性摘要：数的意义是运算的基础，数的运算是对数的意义的再解读，为我们进一步实践提供了很好的基础，但对数与运算这一主题的研究不够全面、深入、具体。
在这些研究的基础上，从实践出发，对“数与运算”这一主题的知识进行梳理，找准知识的“关键点”，确定重要的课例，进行课堂实践研究，形成一些整体教学的策略和教学模式。
关键词:小学；运算一致性；数学活动经验结构化；核心素养前言：按照2022版课标，数学的本质以及数与运算一致性的高度和核心素养高度来理解，我们幼儿园学的这点数学就是皮毛了。
在此背景下，笔者引领老师以《三位数乘两位数的笔算》开展了课例研究，以此推动这一内容领域教学的改革。
一、导入环节建议从四位老师的课来看，都能依据教材主情境图创设真实情境。
或从复习引入，或以主情境图引入，让学生感受数学学习的价值。
建议：1.用五句话引领学生学习，落实数学核心素养。
五句话即“你获得了哪些数学信息”、“要解决什么问题”、“该怎么列式”、“为什么这样列式（回答诸如“为什么用乘法计算的问题”）”、“请你借助以前的学习经验试着算一算”。
这五句话中，前两句旨在落实“用数学的眼光观察现实世界”。
通过观察，学生获取有价值的数学信息，提出有价值的数学问题。
四句话旨在落实“用数学的思维思考现实世界”。
学生通过对获取到的信息和对应的问题进行分析，通过已有知识经验建立解决问题的初步模型，列出算式，并思考这样列式的道理，培养初步的推理意识。
第五句话旨在落实“用数学的语言表达现实世界”这一核心素养2.交流过程中要注重引导学生体会每种运算的价值，及各种运算之间的相互联系。
（1）估算估算教学的价值在于可以确定运算结果的大致范围。
学生根据已有知识经验可以有两种结果：把145看作100，这个是根据四舍五入法，把145四舍五入到百位，把12看作10，估算的结果为1000；也可以把145看作150，这个是根据四舍五入法，把145四舍五入到十位，把12看作10，估算的结果为1500。
数学整体性教学的探索与反思
数学整体性教学的探索与反思——以“二元一次方程组”为例项军（浙江省台州市白云学校）摘要：学习应该被视为一个具有内在生成性的自然整体，数学教学可以根据教学内容和学生具体情况采取整体性教学．以“二元一次方程组”为例，从情境引入、整体感知、类比学习、巩固新知、归纳梳理、分层作业等六个环节展开整体性教学研究.关键词：二元一次方程组；整体性教学现行的初中数学课堂教学大都按教材编排体系逐步展开，学生按照这种体系学习一个个“点状”知识，虽然学习的难度下降了，但学生很难明白所学知识点在整个单元、整章甚至整个教材中的地位和作用，容易形成“只见树木，不见森林”的学习状况．这种“分而习之”不仅会导致学生很难将学到的知识整合成为一个整体，而且学生知识信息提取困难、学习的迁移度较低，难以将其灵活有效地用于解决工作和日常生活中的新问题．笔者认为学习应该被视为一个具有内在生成性的自然整体，学习应该是以整体的方式进行，而不是分而习之.因此，数学教学可以根据教学内容和学生具体情况采取整体性教学．初中数学整体性教学主要是用整体方法优化数学教学系统的一种教学方法，即教学过程中教师不仅要抓住教学目标和教学要求这一主线，选择知识进行有效串联，将数学知识系统化、整体化地传授给学生，并归入学生头脑中原有的数学认知结构，形成科学完善的数学认知结构；而且教师要整体把握教学方法和手段使学生掌握研究、解决同一类问题的基本思维路径和基本操作方法，促使学生学习能力和思想素养等方面能力有效提升.笔者在借鉴别人先进教学理论的基础上进行了整体性教学的尝试，现整理“二元一次方程组”一课的课堂实录和反思，与同行共研.一、情境引入(课前播放台州市中学生篮球联赛照片.)师：上课前同学们欣赏了篮球比赛的精彩画面，今天这节课我们就从篮球联赛的积分问题出发学习新的知识，请同学们先来解决第一个问题.情境1：台州市中学生篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分. 白云队在全部的10场比赛中得到18分，那么白云队胜了几场，负了几场？学生解答后,教师引导学生复习列一元一次方程解决实际问题的一般过程（板书部分知识结构图），并追问一元一次方程中的“元”指的是什么？“次”指的又是什么？然后设问：此题要求的是两个未知量，能否设两个未知数来解决呢？生1：设白云队胜了x场，负了y场，根据题意得x+y=10、2x+y=18，但这两个方程不会解.师：这是我们今天要学习的内容，请同学们先继续解决下面两个问题.情境2：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少?设货车的速度为x千米/小时，依题意可列方程________________.情境3：完全相同的4个正方形的面积之和为25，求正方形的边长为多少？设正方形的边长为x，依题意可列方程________________.【设计意图】情境1从学生身边感兴趣的话题引入，激发学生学习的兴趣. 由同一背景引出一元一次方程和二元一次方程组两种模型，通过对列一元一次方程解决实际问题的一般过程的复习，给二元一次方程组的学习提供类比的素材，让学生初步体验方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型.情境2和情境3作者简介：项军（1976-），男，浙江台州人，中学高级教师，主要从事课堂教学实践研究.把初中教材中与本章知识相互联系的几个知识进行有效整合，使学生把握知识的整体性，完善学生的认知结构.二、整体感知 师：同学们刚才列出的这些方程x+y=10、2x+y=18、 、4x 2=25是一元一次方程吗？生齐：不是.师： x+y=10、2x+y=18这两个方程你认为应该是什么方程？生2：我认为应该是二元一次方程.师：4x 2=25这个方程呢？生3：一元二次方程.师： 这个方程呢？ 生4：一元一次方程. 生5：不是，应该是一元分式方程.师：像这样，分母中含有未知数的方程我们都称为分式方程.而2x+(10-x)=18、x+y=10、2x+y=18、4x 2=25这些方程左右两边都是整式，我们把它们称为整式方程.从这些实际问题中，我们发现建立的方程不一定都是一元一次方程，也可能是两个二元一次方程，也可能是分式方程或者是一元二次方程，因此我们还要继续研究这些新的方程，初中阶段我们重点就学习这四类方程，今天这节课我们先来学习8.1节二元一次方程组（板书），八年级我们学习分式方程，九年级将会学习一元二次方程.【设计意图】教师不能局限于“点”进行备课，应该意识到数学是一个有机整体，学习数学概念也要在数学知识体系中不断加深认识，如“二元一次方程” 、“一元二次方程”等概念，与“一元一次方程”的概念有密切的联系，撇开“一元一次方程”的概念而单讲后者，学生难免感到概念模糊，难以辨认，此时，只有将“一元一次方程”的概念与“二元一次方程” 、“一元二次方程”对照给出，才能讲透什么是“几元”，什么是“几次”，让学生经历“再创造”后从整体上对学习内容有初步的感悟和体验.三、类比学习师：刚才我们已经回顾一元一次方程的整章学习过程，而本章要学习的二元一次方程组从结构上看它们都是整式方程，因此我们可以通过概念和学习过程的比较进行本章的学习，这是学习新知识的一种重要的思想方法，我们称作类比思想.类比思想就是将我们要学习的新知识和已经学习的相近的旧知识作一个比较，通过比较获取新的概念、新的方法、新的性质等的一种思想方法.你认为这一章我们按怎样的顺序展开学习呢？学生回答后，教师补充完整：本章中我们也从实际问题谈起，认识二元一次方程组，学会解二元一次方程组的方法，并运用二元一次方程组解决一些实际问题，在二元一次方程组的基础上学习三元一次方程组及其解法.通过本章的学习，希望同学们对方程与方程组有新的认识.今后我们学习分式方程、一元二次方程也可以利用类比思想，通过这样一种路径进行学习.【设计意图】引导学生用类比的学习方法建构本章节的知识框架，学会一种探索新知的方法.通过比较分析，使学生能够进行知识的迁移，同化新知识，主动将其纳入自己的知识体系中，实现知识与方法的整体构建.师：请同学们观察x+y=10、2x+y=18的特征，我们如何给二元一次方程下个定义？ 生6：含有两个未知数，且未知数的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.（教师板书.）师：生6通过类比得出二元一次方程的定义，这样定义完整了吗？大家有不同的意见吗 ？ 203525+=x x 203525+=x x生齐：没有！师：请同学们思考方程xy+2x=1是二元一次方程吗？生7：是.师：有不同意见吗？生8：我认为它应该是二元二次方程.师：为什么呢？生8：因为xy 这一项的指数为2次，所以它应该是二元二次方程.师：很好！那你认为刚才得出的定义完整了吗？生8：不完整，应改成“含有未知数的项的次数都是一次的方程”.师：很好！我们把含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.（教师修改板书）.师：定义中的关键词有哪些？生9：两个未知数、项的次数、一次.师：请同学们根据我们得出的定义判断下列各式是不是二元一次方程.⑴ xy+2y=1；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸x 2-y=3. 【设计意图】引导学生通过观察、思考、归纳和概括得出概念，突出数学概念的形成过程，使学生较好地认识数学概念的本质，注重学生获取知识的过程和采用的方法.师：得出二元一次方程的定义，接下来我们研究什么？生10：二元一次方程的解.师：满足方程x+y=10，且符合实际意义的x 、y 的值有哪些？请同学们把它一一列举出来. 生11：x=1,y=9；x=2,y=8；…；x=9,y=1.师：还有吗？生12：还有x=0,y=10；x=10,y=0.师：你能解释一下x=0,y=10；x=10,y=0表示的实际意义吗？生12: x=0,y=10表示白云队胜了0场，负了10场；x=10,y=0表示白云队胜了10场，负了0场.师：解释得真好！同学们刚才都用直接列举法得出x 、y 的值，我们也可以采用列表法得出x 、y 的值.（教师用课件出示表格）从表格中，我们发现每一对x 、y 的值都能使方程左右两边的值相等，因此我们把使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.因为是一对未知数的值，所以我们还要给每对值加上大括号.师：若不考虑实际意义，满足方程x+y=10的解还有吗？有多少组？生13：还有，有无数组.例如x=1.1，y=8.9；x=1.2，y=8.8；……师：二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？生14：一元一次方程的解只有一个，二元一次方程的解有无数个.生15：一元一次方程的解是一个未知数的值，而二元一次方程的解都是一对未知数的值.【设计意图】充分发挥学生自主学习的能力，培养探究精神和良好的思维品质，引导学生初步体会二元一次方程的解是成对出现的，二元一次方程的解有无数个.师：得出这11组解，我们能否就确定白云队在这次比赛中胜了几场，负了几场？生齐：不能.师：为什么？生16：因为这些解还要满足第二个方程2x+y=18.023=-b a x y 21+12+=y x师：在这个实际问题中包含两个必须同时满足的条件，也就是未知数x 和y 必须同时满足x+y=10和2x+y=18这两个方程，我们把这样的两个方程合在一起，添上大括号，就组成一个二元一次方程组.现在我们要求出白云队在这次比赛中胜了几场，负了几场，接下来该怎么办？生17：把这11组解一一代入方程2x+y=18进行检验.师：请同学们仔细验算，满足方程2x+y=18的解有几组？生18：通过验算，只有 满足方程2x+y=18. 师： 既满足方程x+y=10，又满足方程2x+y=18，也就是两个方程的公共解，我们把 称作二元一次方程组 的解.一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【设计意图】让学生亲自体验二元一次方程组的解的意义，有效突破本节课的难点.四、巩固新知例 下列各对数值中是二元一次方程x+2y=2的解的是______________.① ⎩⎨⎧==02y x ； ② ⎩⎨⎧=-=22y x ；③ ⎩⎨⎧==10y x ； ④ ⎩⎨⎧=-=01y x . 解析：将①、②、③、④中各对数值逐一代入方程检验是否满足方程，选①、②、③. 变式1：上面各对数值中是二元一次方程组 的解的是____________.变式2：试写出其中一个解为 的一个二元一次方程. 变式3：试写出解为 的一个二元一次方程组. 【设计意图】本例先检验二元一次方程的解，再通过变式1检验二元一次方程组的解，遵循从简单到复杂的认知规律，使学生更深刻地了解二元一次方程组的解的概念.变式2、变式3加强学生对概念的理解.五、知识梳理师：请同学们回顾归纳一下本节课的收获与感受？生19：本节课我知道了二元一次方程和二元一次方程的解的定义，还有二元一次方程组及二元一次方程组的解的定义.生20：我还知道了什么是分式方程，什么是一元二次方程.生21：我还知道了类比的思想方法，今后学习分式方程、一元二次方程都可以按照一元一次方程的学习过程展开学习.……师：今天这节课我们通过类比学习，从实际问题出发，通过设未知数列方程组把实际问题转化为数学问题（二元一次方程组），我们先学习了二元一次方程的定义，然后学习了二元一次方程的解的定义，最后学习二元一次方程组及二元一次方程组的解的定义.同学们今后对于每一章节的学习都要养成一个习惯，把所学的知识整理成一个知识结构图，它可以帮助我们理清知识点横向发展的先后顺序，当然不要遗忘思想方法，思想方法是加深知识点纵向之间联系的纽带，例如今后学习分式方程、一元二次方程都可以通过类比，按照这样一种路径展开学习. ⎩⎨⎧==28y x ⎩⎨⎧==28y x ⎩⎨⎧==28y x ⎩⎨⎧=+=+18210y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2222y x y x ⎩⎨⎧-==31y x ⎩⎨⎧-==31y x【设计意图】教学不仅仅是和学生分享知识和方法，更重要的是培养学生的学习习惯，提高他们的学习能力，完善他们的认知结构.师：本节课你还有哪些困惑吗？生22：二元一次方程组的求解过程太烦琐了.师：那你有更简洁的解法吗？生22：没有. 师：同学们观察板书上我们列出的两种解法中，二元一次方程组 和一元一次方程2x+（10-x ）=18之间有关系吗？生23：把x+y=10中的x 移到方程右边，再把y=10-x 代入2x+y=18就可得到2x+（10-x ）=18. 师：你观察得很仔细，那你能不用列举法求出方程组的解吗？生23：（沉思了一会儿）求出一元一次方程2x+（10-x ）=18的解，再代入x+y=10就可以. 师：真棒！这就是我们下节课要学习的二元一次方程组的一种解法--代入消元法.还有其他困惑吗？（学生沉默.）师：老师还有个困惑：如果不考虑实际意义，方程x+y=10有无数个解，而方程2x+y=18也有无数个解，那么它们的公共解只有一个吗？(学生又开始小声讨论起来，此时下课铃声响了.)师：请同学们通过今天的作业帮老师解决这个困惑.【设计意图】勤于总结、善于反思是能力提高的“快车道”，同时为下节课的代入消元法的学习埋下伏笔.六、分层作业(1)必做题：①整理本节课的知识结构图，摘入笔记本.②教材94页练习和95页练习1、2、3、4.(2)选做题：①教材95页练习5.②在平面直角坐标系中分别以方程x+y=10和方程2x+y=18的一些解为横、纵坐标描出这些点，运用你所学的知识能否说明方程组 只有一组解？ 【设计意图】分层次布置作业，让学有余力的学生适当拓展，着实地解决 “吃好”与“吃饱”的关系，体现不同的人在数学上有不同发展的理念.七、教学反思初中数学整体性教学主要是用整体方法优化数学教学系统的一种教学方法.教学中教师不仅要整体把握教学内容，剖析知识的纵横联系，带领学生站在一定的高度从整体上把握数学教材，使学生理清知识的脉络，形成科学完善的数学认知结构；而且教师要整体把握教学方法和手段，使学生掌握研究、解决同一类问题的基本思维路径和基本操作方法，发展学生的思维能力，最终使学生能把知识、方法和技能“内化”成为一个整体，促进学生有意义的学习，从而形成解决实际问题的综合能力.本节课的“整体性”主要体现在以下2个方面：1.知识内容考虑到学生通过一元一次方程的学习，对方程有了一定的认识，会解一元一次方程，会用一元一次方程解决实际问题，有了建立数学模型的初步意识.因此设计三个情境，引出二元一次方程（组）、分式方程和一元二次方程，使学生能够根据知识之间的关联作简单、有效、深刻的⎩⎨⎧=+=+18210y x y x ⎩⎨⎧=+=+18210y x y x记忆，使学生的信息组织能力、知识储存方式不再是散点状的，而是链状、网状或立体结构状的，使学生能建立知识之间的联系，使之在“内化”过程中成为一个有机的整体结构.2.教学方法本节课先让学生回顾一元一次方程的整章学习过程，通过类比迁移到本章也可以按照这样的基本套路展开学习：从实际问题谈起，认识二元一次方程（组），学会解二元一次方程组的方法，并运用二元一次方程组解决一些实际问题.学生在小结中谈到今后学习分式方程、一元二次方程也可以通过这样一种路径进行学习，从而实现知识与方法的整体构建.逐步向学生渗透一种长远的学习方法.例如学习一次函数后，反比例函数、二次函数及高中的指数函数、对数函数等都可以类比一次函数的研究路径进行研究；学习三角形后，四边形也可按三角形的研究路径进行研究,等等.“教学永远是一门遗憾的艺术”，笔者也仅是对初中数学整体性教学在课堂上做了些初步的尝试，还需进一步实践与改进，使整体性教学能够在教学中得到真实、有效地落实.参考文献：[1] 冯锐，刘丽丽.整体论视域下的教学设计探讨[J].开放教育研究，2009（8）：69-73.[2] 雷玲.中学数学名师教学艺术[M].上海：华东师范大学出版社，2007.[3] 朱先东.基于整体思想的数学教学设计 [J]. 中学数学教学参考（中旬刊），20012（4）：2-5.。
注重数学的整体性,提升系统思维水平资料
• 4．公式的多元联系表示 • 问题4 如果a，b表示线段的长，则a2，b2分 别表示正方形的面积。你能根据公式的形 式，自己构造一个图形表示上述乘法公式 吗？ • 设计意图：通过构造几何模型表示公式， 以开拓学生的思路。通过数形结合、图形 直观，以加深理解、增强记忆。
• 5．小结 • （1）请你总结一下本节课讨论问题的基本 过程。 • 设计意图：引导学生总结“基本套路”， 即“多项式乘法（一般）——乘法公式（ 特殊）——公式特征分析——与相关知识 的联系”。 • （2）你能说说公式的结构特点吗？应用时 应注意哪些问题？ • 设计意图：注重知识的使用条件。
• 先行组织者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中， a，b，c，d可以是数、式或别的什么。数 学中，经常要通过考察特殊情况来获得对 问题的进一步认识，例如在两条直线的位 置关系中，我们特别研究了平行、垂直两 种特殊的位置关系，得到了一些有用的结 论。类似的，在多项式乘法中，也有一些 特殊情形值得研究。
• 2．公式的探究 • 问题2 (x+b)(x+d)可以利用公式直接写出结 果。它是(a+b)(c+d)在a=c=x时的特例。在 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你认为还有哪 些特殊情形？你能得到什么？ • 设计意图：通过“先行组织者”，渗透从 一般到特殊，考察特例，深入认识数学对 象的方法；在让学生自主活动之前，先指 出已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比 对象，明确思考方向。
• 问题3 请你用自己的语言表述平方差公式、 完全平方公式。 • 设计意图：帮助学生理解公式。 • 3．例题 • 本环节主要目的是通过变式（字母a，b取 数、式等各种变形），让学生体会公式在 “形式化运算”中的作用。另外，通过适 当反例，纠正学生可能的疏忽。最终要让 学生明确：第一，具备形式(a+b)(a－b)或 (a±b)2，就可以用公式；第二，要注意哪 个代表a，哪个代表b。
数据库系统原理及应用教程(部分题目答案)
1.4.7什么是数据的整体性？什么是数据的共享性？为什么要使数据有整体性和共享性数据的整体性是指在进行数据库设计时，要站在全局需要的角度进行抽象和组织数据；要完整地、准确睇描述数据自身和数据之间联系的情况；要建立设和整日需要的数据模型。
数据的共享性是指由于数据库系统是从整体角度上看待和描述数据的，数据不再面向某个应用，而是面向整个系统。
数据的整体性高会使得数据库中的数据冗余度变小，从而避免了由于数据冗余度大带来的数据冲突问题，也避免了由此产生的数据维护麻烦和数据统计错误问题。
数据共享度高会提高数据的利用率，它使得数据更有价值和更容易、更方便地被使用1.4.16试述数据库系统的三级模式结构及每级模式的作用？答：数据库的三级模式是指逻辑模式、外模式（子模式）、内模式（物理模式）。
逻辑模式是对数据库中数据的整体逻辑结构和特征的描述。
外模式是对各个用户或程序所涉及到的数据的逻辑结构和数据特征的描述。
内模式是数据的内部表示或底层描述。
逻辑模式是系统为了减小数据冗余、实现数据共享的目标，并对所有用户的数据进行综合抽象而得到的统一的全局数据视图。
通过外模式，可以方便用户使用和增强数据的安全性。
通过设计内模式，可以将系统的模式（全局逻辑模式）组织成最优的物理模式，以提高数据的存取效率。
改善系统的性能指标。
2.4.1定义并解释术语实体：现实世界中存在的可以相互区分的事物或概念称为实体。
实体型：现实世界中，对具有相同性质、服从相同规则的一类事物（或概念，即实体）的抽象称为实体型。
实体集：具有相同特征或能用同样特征描述的实体的集合称为实体集。
属性：关系表中的每一列即为一个属性////属性为实体的某一方面特征的抽象表示。
码：码也称关键字，它能够惟一标识一个实体。
E-R图为实体-联系图：提供了表示实体型、属性和联系的方法，用来描述现实世界的概念模型。
数据模型：表示实体类型及实体类型间联系的模型，具有数据结构、数据操作和完整性约束条件三要素。
例谈数学整体性教学设计的策略
性教学设计 的一些策 略．
基础；（３）渗透分 类思想．
一 、 教 学 案 例
问题 ４：任取 ２３，２ ，３２，３ ，４ ，４，中的两个数 （允许重复
教学内容 ：人教版课标教材八年级上册 “１５．１．１同底 数幂 的 选）进行运算 ，请 你写 出尽 可能多 的算 式 ，观察 算式的特征 和
题．因此 ，数学教学要根据教学 内容和学生具体情况采取整体性 同两个标准进 行分类 ：
教 学 ．
底数相同 ：２３，２４；３ ，３４；４２，４ ．
数学整体 教学是指用 整体方法优化数 学教学 系统的一种教
指数相同 ：２ ，４ ；２４，３４；３ ，４ ．
学方法 ，它 不仅关注数学 知识 内容和知识 结构 的完 整性 ，而且
２０１ ２年 第 ７－８期 ＼
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｅｄｕｃａｔｉ０ｎ
ＮＯ．７—８ ２０１２
藤藏 警繁秣 攀纛 譬震 露皤
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朱先东 （浙江省杭 州市采荷 中学） 潘 云超 （浙江省 台州市 白云 学校 ）
降了 ，但学生很难 明 白所学知 识点在整个单元 、整章甚 至整个 方法上都有类似性，所 以通过 问题 ２提供认知框 架．
教 材中的地位和作 用 ，容易形 成 “只见树木 ，不见森林 ”的学
活 动 ２：引 导发 现 ，整 体 感知
习状况 ．这种 “分而习之”不仅会导致学生很难将学到 的知识整
问题 ３：任取 ２，３，４中的两个数进行乘方运算 ，请写 出所
合成为一个整体 ，而且学生 知识信息提取 困难 、学 习的迁移度 有的结果 ？并按照 自己喜欢 的标准对结果进行分类 ？
从整体性认识走向结构化教学——以“数的认识”教学为例
［摘要］数学知识是有结构的，知识的相互联系首先体现在整体性。
教学“数的认识”时，教师对自然数、分数、小数采用整体性认识和结构化教学策略，可避免单课教学带来的知识碎片化的现象，让学生学会在整体的数学样貌下，通过学习和思考发现知识的联系，促进认知结构的整体化，让思维走向自主建构的结构化，为终身发展奠定基础。
［关键词］数的认识；整体性；结构化［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（2021）17-0021-02小学数学教学是根据教材的内容分课时进行的，使得学生接受的知识孤立又零碎，具有很大的离散性，学生难以形成完整的知识结构。
教师应该在对数学知识的整体性认识的基础上，构建结构化的教学策略，让学生通过学习、认识和思考，发现知识的联系，对数学知识形成整体的把握，既见树木又见森林，促进认知结构的整体化，让思维走向自主建构的结构化。
“数的认识”中蕴含丰富的数学思想，比如有序、守恒、集合、模型、对应等，其中的许多思想都可以体现数学的本质。
因此，我以“数的认识”为例，讨论“从整体性认识走向结构化教学”这一话题所具有的现实意义。
一、加强对“数的认识”的整体性认识从数系的角度看，数的概念包括自然数、整数、有理数、实数和复数。
自然数的概念是人类积累数学知识的开端，也是一切数的基础。
按照皮亚杰的观点，学习自然数的概念的基础是数守恒，即数的相互性、同一性和逆反性。
分数由于其表征形式不同，可以有以下几种理解。
（1）部分与整体的关系：将分数表征成一个整体等分成若干份，其中的几份与整体相比较的结果。
（2）子集与母集的关系：当全体为离散量，分数的意义为子集与母集的关系，此时将分数表征成一个集合等分后，将其中的几组与该集合相比较产生的结果。
（3）除法中等分除的商：除法中的等分除明显与分数相吻合，分数在等分除中的意义是单位量等分的过程与结果。
从数学的角度来看，这一定义体现了分数的本质，符合数系扩张的数学思想。
初中数学教案数的整体性与分解法
初中数学教案数的整体性与分解法数学教育在初中阶段扮演着重要的角色，因为它不仅有助于学生掌握基本数学技能，还培养了解决问题的能力。
为了有效地传授数学知识，教师需要设计合理的教案。
本文将探讨初中数学教案的整体性与分解法，以帮助教师更好地准备教学材料，以满足学生的需求。
## 教案的整体性### 目标明确每个数学教案都应该有明确的教学目标。
教师需要清楚地知道他们希望学生从这节课中学到什么。
这些目标应该与课程标准相一致，以确保学生在教育过程中获得必要的知识和技能。
### 结构合理教案应该有清晰的结构，包括引入、教学、练习和总结等部分。
这有助于学生更好地理解课程内容，并帮助教师在教学过程中保持组织。
### 教材选择教师应选择合适的教材，以支持他们的教学目标。
这些教材可以包括教科书、工作簿、在线资源等。
选择合适的教材可以提高教学效果。
### 不同能力水平的考虑教案应该考虑到学生的不同能力水平。
教师可以提供不同难度级别的练习，以满足不同学生的需求。
这有助于确保每个学生都能在课堂上取得成功。
## 教案的分解法### 教学目标的分解为了实现整体性，教师可以将教学目标进一步分解成具体的学习目标。
这有助于学生更好地理解他们需要学什么，以及如何评估他们的学习进展。
### 任务分解教案可以包括不同的任务和活动，以帮助学生逐步掌握复杂的数学概念。
任务可以分解成小部分，逐渐增加难度，以确保学生能够逐步提高他们的技能。
### 练习的分解练习对于数学教育至关重要。
教师可以将练习分解成不同的步骤，以帮助学生逐步解决问题。
这有助于学生建立自信，逐渐提高他们的解决问题的能力。
### 评估的分解教师可以将评估分解成不同的部分，以确保学生的学习成果得到准确的反馈。
这可以包括课堂测验、作业、项目等。
分解评估有助于教师更好地了解学生的表现，并为他们提供有针对性的反馈。
## 结语初中数学教案的整体性与分解法是有效教育的关键。
通过明确的教学目标、合理的结构、合适的教材选择以及对不同能力水平的考虑，教师可以提供高质量的数学教育。
数学问题解决的真实性与整体性
数学问题解决的真实性与整体性数学作为一门科学，一直以来都扮演着重要的角色。
它不仅是一种工具，用来解决实际问题，还是一种思维方式，培养逻辑思维和分析能力。
然而，数学问题的解决涉及到其真实性和整体性的问题，这是一个值得探讨的话题。
首先，我们来谈谈数学问题解决的真实性。
数学问题的真实性指的是问题的解是否符合数学规律和逻辑。
在解决数学问题的过程中，我们不能凭空臆想，而是要依靠数学原理和定理进行推导和证明。
只有通过严密的逻辑推理，我们才能得到正确的解答。
然而，数学问题的真实性并非一成不变。
随着数学的发展，我们不断发现新的数学规律和定理，这就意味着以前的解答可能不再准确。
数学家们不断探索和研究，推动了数学的进步和发展。
因此，我们在解决数学问题时，要时刻保持谦虚和开放的态度，不断学习和更新自己的知识，以确保解答的真实性。
除了真实性，数学问题的解决还需要考虑整体性。
数学问题往往是一个复杂的系统，各个部分之间相互关联，缺一不可。
因此，解决数学问题时，我们不能只关注其中的某个方面，而是要将问题作为一个整体来考虑。
只有全面把握问题的各个方面，我们才能找到最优的解决方案。
在解决数学问题的过程中，我们还需要运用不同的数学方法和技巧。
数学是一门多样化的学科，包括代数、几何、概率等多个分支。
每个分支都有自己的特点和应用领域。
因此，我们在解决问题时，要根据问题的性质选择合适的方法。
只有将各种方法和技巧有机结合起来，我们才能更好地解决数学问题。
此外，数学问题的解决还需要运用创造性思维。
数学是一门富有创造性的学科，它鼓励我们提出新的思路和方法。
在解决数学问题时，我们不能仅仅依赖于已有的知识和技巧，而是要勇于探索和创新。
只有通过创造性思维，我们才能找到独特的解决方案。
综上所述，数学问题的解决涉及到其真实性和整体性的问题。
我们在解决数学问题时，要保持谦虚和开放的态度，不断学习和更新自己的知识，以确保解答的真实性。
同时，我们还要将问题作为一个整体来考虑，全面把握问题的各个方面，运用不同的数学方法和技巧，发挥创造性思维，找到最优的解决方案。
小学数学教学备课教案数的整体性与分解性的运算问题的解决
小学数学教学备课教案数的整体性与分解性的运算问题的解决在小学数学教学中，备课教案的编写是十分重要的一环。
其中，数的整体性与分解性的运算问题常常是学生们最容易迷惑的部分。
因此，本篇文章将以小学数学教学备课教案为背景，探讨解决数的整体性与分解性的运算问题的方法与策略。
一. 教案设计概述在解决数的整体性与分解性的运算问题时，教师应该根据学生的年龄特点，选择恰当的教学方法与策略。
首先，教案的概述部分应明确本节课的教学目标、教学重点和难点。
例如，教案的概述可以包括以下内容：1. 教学目标：培养学生对数的整体性与分解性的认识，掌握相应的运算方法。
2. 教学重点：理解数的整体性与分解性的概念，掌握运用相应性质进行计算的方法。
3. 教学难点：辨析整体性与分解性的应用场景，并进行相应的运算。
二. 教学准备在解决数的整体性与分解性的运算问题之前，教师需要充分准备教学材料与教学工具。
例如，可以准备一些数字卡片或者算盘，用于教学过程中的实际操作。
此外，教师还应查阅相关的教材、教辅资料，为教学过程做好充分的准备。
三. 教学步骤1. 导入与铺垫教师可以通过提问或者展示教学素材，引导学生回忆与整理已有的知识。
例如，可以以"小明有8个苹果，他吃了3个，还剩下几个？"的问题作为导入，激发学生对整数运算的兴趣与思考。
2. 分组合作探究教师可以将学生分成小组，在小组内共同探究数的整体性与分解性的运算问题。
例如，可以给出一些具体的情境，要求学生通过合作讨论和实际操作，找出相应的解决方法。
在这个过程中，教师应鼓励学生提出问题、发现规律，并及时给予指导和反馈。
3. 总结与概括在学生完成小组活动后，教师可以组织全班讨论，并引导学生总结与概括数的整体性与分解性的运算方法。
例如，可以通过解决具体的计算题目，让学生总结出相应的规律和性质，并加以概括与归纳。
四. 教学评价在教学活动的最后，教师可通过一些评价手段对学生的学习情况进行评估。
关注数学概念理解数的整体性和一致性
关注数学概念理解数的整体性和一致性新课程标准对数学的概念认知和运算方法相关的内容进行了整合，形成数与运算的章节。
数与运算的教学中提出，要在认识整数的基础上，围绕小数与分数的概念认知开展教学，感悟计数单位的一致性，了解运算的一致性。
为了实现教学目的，有必要采取合理的教学内容。
在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。
强化对数学本质的理解，关注数学概念的现实背景，引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构。
通过合适的主题整合教学内容，指导学生掌握分析问题的方法，培养其思考问题的能力，增强他们的素质。
笔者结合前不久参加市优质课比赛执教的苏教版三年级下册《认识小数》来谈一谈数的认识中整体性与一致性的体验与思考。
一、梳理教材，把握本源。
这部教材分别于小学三年级下册以及五年级上册设置了小数章节，主要围绕长度单位以及元角分的关联展开，让学生在熟悉的环境里体会小数的重要性，并认识到分母为10、100、1000……的分数能够通过小数形式进行描述。
笔者以为：“小数的意义”里面包括的数学方法主要体现在拓展自然数方面，将比单位1更小的量通过某个数进行描述。
学生既需要学会认识、读写小数，还应该具备解决部分本质层面问题的能力，对此，教师应该将小数中的数学思维和方法传授给学生。
鉴于此，有必要作如下的深入分析：小数认识里面的本质问题有哪些？在教授小学三年级上册小数初识章节的内容时，教师如何结合学生的日常经验，用比较浅显的办法向学生解释小数的本源内容？即，既需要解释小数和十进分数之间的关联，还应该重视十进位方法，让学生感知完整位值计数的原理，使其形成对于小数内涵的正确认知。
二、结合具体“量”，感悟“十进”、“十分”关系。
在学生第一次认识小数时，要让学生明白的是：小数属于整数十进制计数的拓展，在教学过程中，教师需要侧重位值计数以及十进位方面的内容，不必将过多的时间和精力花费在小数和分数的联系上。
幼儿园大班数学教学中的数的分解技巧
幼儿园大班数学教学中的数的分解技巧在幼儿园大班数学教学中，数的分解技巧是一个重要的学习内容。
通过数的分解，幼儿可以更好地理解数的组成规律和数的大小关系。
本文将从整体性分解、逐步分解和集合的分解三个方面介绍幼儿园大班数学教学中的数的分解技巧。
整体性分解是指将一个数整体地分解成几个部分，通过理解数的总和和部分之间的关系，帮助幼儿认识和掌握数的结构和数的大小。
比如，可以通过使用小球或者积木等教具，将一个数字10分解成两个数字的和，如2+8、5+5等，让幼儿亲自动手进行分解，并理解其中的原理。
逐步分解是指将一个数逐步地进行拆解，让幼儿逐步地认识到数的结构和数的大小关系。
这种分解方法可以通过图形、图表等视觉工具来呈现。
例如，可以使用一个大正方形，将其分解成若干个小正方形，并逐步展示分解的过程。
通过观察和操作，幼儿能够逐渐理解数的分解规律，并且在实践中提高自己的操作能力。
集合的分解是指将一个数分解成几个不同的部分，每个部分代表着一个集合。
这样的分解方法可以培养幼儿的分类思维和逻辑思维能力，并且能够帮助幼儿理解数的分解和组合之间的关系。
比如，可以利用不同颜色的小球，将一个数字8分解成几个小球的集合，如红球3个、蓝球2个、黄球3个等。
通过观察和比较，幼儿可以逐渐理解集合的分解和数的分解之间的联系。
在幼儿园数学教学中，教师可以采用多种教学方法来引导幼儿掌握数的分解技巧。
首先，教师可以通过游戏和竞赛等趣味活动，调动幼儿的积极性，激发他们学习数的分解的兴趣。
其次，教师可以设计一些富有想象力和创造力的活动，如绘画、手工制作等，让幼儿通过实际操作来体验数的分解过程，并巩固所学的分解技巧。
此外，家长也可以在家庭环境中提供一些有助于数的分解技巧的活动。
家长可以利用日常生活中的事物和环境，与幼儿一起进行数的分解练习。
例如，可以一起分解蔬菜、水果的数量，或者将若干个小玩具进行分组。
通过这样的活动，幼儿不仅可以巩固数的分解技巧，还能够在家庭中感受到数学学习的乐趣。
数与运算的整体性和一致性的深度学习
数与运算的整体性和一致性的深度学习摘要：深度学习的核心特性在于能够增进学生对于问题的深层次理解和感悟，最终实现知识的内化。
数学课堂教学当中通过构建深度学习的教学系统，能够帮助学生将原本零散的、碎片化的知识内容，通过整体性、整合的方式构建起完备的系统，从而实现完备的框架思维体系，在面对其他类型的数学问题时能够做到触类旁通，能够及时准确地完成问题的分析和解读。
在小学数学教学系统中，数与运算是学生接触到的最为直接和本质性的数学内容，通过整体性和一致性的教学体系建构，形成深度学习框架，是当前数学教学的主要路径。
关键词：小学数学；数与运算；数学思维；深度学习一、统合教学目标明确深度学习基本方向深度学习的理念背景中，教师组织开展教学单元的模式设计，需要从单元的整合角度进行系统重构，突出数学整体性的特征特点。
数与运算部分的数学教学中，学生需要掌握基本的数的概念，同时对加减乘除四则运算以及运算当中涉及到的加法交换律、乘法交换律、乘法分配律、乘法结合律等数学定律、数学思想进行结合，进而实现更加得心应手的数学运算使用。
相应的在教学当中，教师需要结合学生此前的知识储备情况，结合运算定律和其中的数学思想来进行教学设定，拟定具体的教学目标和教学导向。
例如在运算律部分的教学当中，教师可以确定三个层面的教学应用方向，首先是，学生们通过学习能够对运算律的基本方法进行掌握和熟练运用，完成知识的主动迁移；其次是学生能够具备自主探究及与其他同学互动交流的学习策略，对协同学习、交流互助的学习优势有所认知，通过交流沟通理解运算律在数与运算当中的核心价值；最后学生们能够熟练运用运算律，对运算律的使用场合进行识别和判定，将运算律方法融入到日常的学习生活当中。
二、进行内容优化提高学生的接受程度小学阶段学生抽象思维能力不足，导致他们在数学学习当中容易产生困扰。
深度学习理念下，数学教学工作的组织与开展需要坚持循序渐进的基本导向，通过提高学生的接受程度来引导学生思维活性，实现对于学生的思想启发。
高中数学新教材“小结”的整体性——以平面向量章节为例
２０２３年７月上半月㊀教材点击㊀㊀㊀㊀高中数学新教材 小结 的整体性以平面向量章节为例◉西华师范大学㊀刘慧欣㊀㊀摘要:以平面向量章节为例,从研究路径㊁知识内容㊁数学思想方法与数学思维三方面对比了２００３年与２０１９年人教A 版高中数学教材 小结 中的整体性,并为复习教学提出了部分参考建议,力求引起广大教师对教材 小结 教学的重视,夯实学生基础,贯彻落实核心素养的培育,促进学生全面发展．关键词:数学的整体性;小结;新教材;教学建议１对数学整体性的理解数学的整体性不仅蕴含在数学的知识内容上,还体现在数学逻辑的连贯性㊁数学思想方法的一致性㊁数学思维的系统性上[１]．在知识内容上,主要表现为进一步优化知识内部的系统结构,将碎片化的知识更好地统筹为一个整体．同时,更加注重不同学科之间的联系以及与实际生活的联系．例如,２０１９年新人教A版高中数学教材(以下简称新教材)调整了２００３年人教A版高中数学教材(以下简称旧教材)中部分内容的顺序,按照函数㊁几何与代数㊁概率与统计㊁数学建模活动与数学探究活动四大主题来呈现教学内容,并突出各个主题之间的联系,将具有内在联系的不同内容整合起来,从总体框架上体现了数学的整体性．在数学思想方法与数学思维上,主要表现为研究数学知识时所蕴含的数学思想㊁方法以及所形成的数学思维,它们都具有内在一致性．例如有些知识点虽各不相同,但其研究路径大致相同．这些都是高于知识层面数学整体性的体现．２基于数学整体性的 小结 具体内容分析新旧教材中对于每章末 小结 的编写都分为两部分:第一部分是本章知识结构,第二部分是回顾与思考．与旧教材相比,新教材以落实学生核心素养的发展为导向,对具体的主题内容等进行了适当的调整与修改,进一步强调了数学的整体性．２．１本章知识结构小结 的第一部分是本章的知识结构,它是对本章全部知识内容的一个整体呈现,从结构上简单地表达出各部分知识之间的联系．图１㊁图２分别是新教材与旧教材的 小结 知识结构框架图．对比新旧教材的知识结构,显然,新教材的知识结构框架图更为简洁明了,更加强调对数学整体性的认识和感受[２]．图１㊀新教材 小结 知识结构框架图２㊀旧教材 小结 知识结构框架通过详细对比新教材与旧教材中的 小结 知识结构框架图,不难发现:(１)新教材切合实际,按照传统的研究脉络 背景１１Copyright©博看网. All Rights Reserved.教材点击２０２３年７月上半月㊀㊀㊀－概念－运算(及几何意义)－性质－运用 进行结构框架图的绘制,其所呈现的平面向量的研究思路也更加清晰,这也使其与同一主题的其他内容的研究路径保持一致,更加突出了同一主题内容在研究方法上的通用性和数学思维的一致性,由外而内地展现出数学的整体性．相较之下,旧教材的知识结构框架图(图２)不论是从外观还是结构层次方面,均稍显杂乱,对数学整体性的表达较为隐晦．(２)新教材更加强调知识内部的整体性．从其结构图中可明显看出,新教材将平面向量基本定理与坐标表示进行整合,并以 运算 为统领将向量的线性运算和向量的数量积统筹为向量的运算,使得向量的数量积和向量的加㊁减㊁数乘运算形成一个联系紧密的整体,强调了平面向量知识内部的系统性．(３)新教材通过改善框架图的绘制细节,使数学内容在思想方法上的整体性得以外显化．对比图１与图２,显而易见,二者均遵循自上而下的编排顺序．然而,相较图２中的各个标题,除 实际背景 和 向量的应用 外,图１在每个标题的开头中均增加了 向量 的字眼,并将 向量的应用 更换为 平面向量的应用 ．新教材将 向量 一词贯彻框架始终,通过此微小细节的改变,增强了学生对于 向量 几何 代数 三个不同主题之间存在密切联系的感受,同时也为 向量 和 运算 两大统筹方向的更换奠定基础,使得数学在思想㊁方法上的整体性进一步得以突出显现．２．２回顾与思考继第一部分 本章知识结构 之后, 回顾与思考 是对本章知识进行更加详细㊁深度地回顾㊁梳理㊁再思考和再建构的环节．通过对比新旧教材,不难发现,在回顾与思考 部分二者之间存在非常明显的差异．旧教材主要通过设置一系列富有弹性的问题,以提问的方式对学习过的数学知识㊁思想方法等进行回忆㊁复习,引起学生的思考,偏向于学生对重点知识的掌握．而新教材则站在全局的角度,以数学的整体性为统领,将 回顾与思考 分为 陈述 和 提问 两部分,其中 陈述 在前, 提问 在后．同时,新教材主要通过新增的 陈述 环节,来影响学生对于整体或局部知识的再理解与再建构过程,增强学生对数学整体性的感受,进而优化对数学知识整体的理解与建构．以平面向量章节为例,新教材 回顾与思考 的具体表现为:２．２．１突出研究路径的整体性对于平面向量的研究学习,新教材 回顾与思考 的编写最大的特色之一就是站在全局的角度,将平面向量视作一个一般的数学研究对象,通过陈述,对其整体的研究过程进行了详细的回顾．首先,从 类比数的运算 即研究方法入手,简要回顾平面向量的整体研究内容．其次,依照向量的 实际背景－概念－运算(及其几何意义)－性质－应用 分别展开,呈现具体的研究思路．同时,在整个过程中,以连贯的逻辑和诸如 明确数学对象的内涵及表示是定义一个数学对象的基本要求 等客观的解释,增强了对研究对象和研究方法不同,但研究路径和思路保持一致的数学思维整体性的认识．２．２．２加强研究内容的整体性基于数学的整体性,新教材 小结 注重优化平面向量知识内部的结构,将具有内在联系的同一主题和不同主题的内容㊁其他学科的内容整合在一起,以此加强学生内化知识时的结构意识和整体意识．例如:在旧教材中, 平面向量 与 解三角形 处于两个不同的单元,然而在新教材平面向量的知识结尾,教材设置了用平面向量的方法研究三角形的边角关系即正弦定理和余弦定理,并在 小结 中进行简单回顾[３]．此外, 小结 将平面向量与空间向量㊁实数㊁力等相关知识的联系以思维导图的形式呈现出来,并将其放置在 陈述 环节的最后,恰到好处地衔接 提问 环节,以此来进一步强化对知识整体的认知与内化．总体来说,新教材 小结 不仅将新旧知识内容进行了实质性整合,突出了各个部分的重点知识㊁结论,同时还兼顾知识的延展性,增强了对知识的整体性认识和感受．２．２．３突出数学思维㊁数学思想方法上的整体性新教材 小结 中的 陈述 环节对每一小节知识的学习过程均进行了简明扼要的陈述,以此很好地打开了学生的数学思维,进而使学生可以清晰地感知数学知识与学习所带来的数学思维的一致性．此外,向量是一种数学工具,新教材 回顾与思考 主要借助向量与几何㊁代数之间的联系来渗透平面向量研究中所蕴含的数学思想方法．例如: 类比数a 的整数倍n a 是n 个a 相加的总和 向量运算与实数运算既有差别又有共性,在定义向量的运算法则,探索其相应的运算律时,我们总是类比数及其运算来发现和提出问题 ,以此来突出代数㊁几何㊁向量之间的相互融合,同时也总结出向量问题所涉及的类比和转化思想,加强对不同的思想㊁方法之间以及思想方法与知识之间存在着内部联系的整体性认识．３基于数学整体性的小结 教学复习课的教学并不是对知识的简单回顾,更不能盲目地搞题海战术,教师应深度钻研教材㊁读懂教材,２１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年７月上半月㊀教材点击㊀㊀㊀㊀加强对数学整体性的认识,这样才能发挥出教材 小结 最大的教育价值,做好小结教学,提高复习课的课堂效果．以下是从数学的整体性出发,合理利用教材小结 的一些教学建议．３．１提高 小结 的使用意识通过查阅文献和对实际情况的调查发现,大部分教师对高中数学教材 小结 的使用情况不容乐观．高中学习节奏快㊁效率高,大部分教师为追求高效率,通常在章末小结时会选择以填空的方式对知识进行简单的回顾,并针对典型例题以及重点知识进行练习,以此来帮助学生掌握知识㊁归纳解题方法[４]．如此,不仅忽略了教材 小结 的教育价值,同时也对学生的整体性学习策略造成不利影响．从 小结 的作用来看,基于数学的整体性 小结 不仅是对知识的回顾,更起到了促进学生整体内化知识㊁检测知识掌握情况的重要作用．同时,其内容也对教师的复习教学有着非常重要的参考价值．因此,广大教师必须提高对新教材 小结 的认识水平与重视程度．３．２自主与引导相结合,多次构建框架首先,在进行具体的知识复习之前,教师应合理利用 小结 的第一部分 本章知识结构框架,使学生先从整体上对本章知识结构有一定的认识,即积极鼓励学生脱离课本,独立构建本章内容的知识结构框架．在学生初步了解了自身的知识掌握情况和系统构建能力之后,再给学生留下适当思考时间,使其结合课本 小结 的知识结构框架进行自主完善．其次,借助 小结 中 回顾与思考 部分的 陈述 素材,带领学生以整体性视角再度理解所学知识,通过对本章知识内容的整体性梳理,引导学生共同对本章知识结构框架进行再建构,得到 整体性结构框架图 ,即处于 陈述 环节末尾位置的框架图．通过多次构建和完善知识框架图,逐渐深化学生对数学整体性的感知,帮助学生从整体上掌握知识[５]．３．３会用 提问 小结为保证复习的效率和效果,使学生真正掌握数学内容,教师应有意识使用或补充 小结 中覆盖本章全部内容的问题链,并通过循序渐进的提问,促使学生能够主动回忆起知识,从而在潜移默化中渗透数学整体性思想的同时使学生能够真正内化所学的知识．最后,在结合教材 小结 设计或使用问题串时,教师需注意以下几点:(１)设计的问题要能够体现出本章数学内容的整体性㊁逻辑性;(２)对于具有拓展联系性的问题,要在学生的最近发展区内,不能一味为了整合而忽略学生的感知能力;(３)问题的提出要以知识的产生与发展顺序为主线,不能太过跳脱．３．４设计 综合与实践 类整合性练习秉承理论与实践相结合的理念,在 小结 教学中,必须辅以适当的练习题进行检验． 综合与实践 类习题是将知识与操作相结合,并融合学科内部与学科之间以及现实生活为一体的整合性极强的一类习题,同时情境性与开放性也尤为突出,这对渗透数学的整体性思想和优化 小结 教学起到了很好的推动作用[６]．因此,教师应根据本章的中心内容,通过查找资料等途径,设计出与本章数学知识㊁思想方法㊁数学技能等相匹配的 综合与实践 类习题．比如,以阅读理解的形式变相检验学生的知识应用能力,设计 拓展应用 以建立起新知识与旧知识之间的联系,等等．这样不仅可以进一步夯实学生的基础,还能够使学生在实践活动中真切地感受到数学的综合性㊁整体性与趣味性．４总结从落实核心素养角度出发,新教材中的 小结 强化了数学的整体性且主要表现在数学知识的呈现方式㊁内容的设置以及数学思想方法与思维三方面上．教师应及时更新教育理念,提高基于数学的整体性反复钻研教材的意识与能力．通过教材 小结 的整体性分析与教学,提高学生整合和内化知识的能力,深化学生对数学整体性的理解,同时适当结合 综合与实践 类整合性练习题,及时检验学生的知识掌握情况和联系整合能力,将学生的核心素养发展落到实处．参考文献:[１]章建跃．数学学科核心素养导向的 单元 课时 教学设计[J]．中学数学教学参考,２０２０(１３):５Ｇ１２．[２]张爽．高中数学教材 小结 栏目的教学研究 以人教A版教材为例[D]．福州:福建师范大学,２０１８．[３]章建跃．核心素养导向的高中数学教材变革 «普通高中教科书 数学(人教A版)»的研究与编写[J]．中学数学教学参考,２０１９(１６):６Ｇ１０．[４]杨小玉,陈捷．高中数学新教材 小结 的调查与分析[J]．数学通报,２０１０,４９(６):３１Ｇ３５．[５]郭君．高中数学复习课教学中培养学生整体性学习策略的探究与实践[D]．济南:山东师范大学,２０１８．[６]陈美娟．高中师生对数学教材小结的认识与分析[D]．长沙:湖南师范大学,２０１６．Z３１Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
数学单元整体性教学设计
0弟％滴免数学单元整体］性教学设计-朱先东（杭州市育海外国语学校浙江杭州，311122）课改十多年来，虽然教师们普遍认同新课程理念，也在努力改变自己的教学方式与方法，但在教学中还是存在诸多困惑，如“教了，为什么没有学会？”“学会了，为什么不能举一反三？”“学会了，为什么还是不会学？”等。
究其原因主要有以下三个方面：（1）教学内容的“碎片化”。
教学中忽视知识内在的关联性以及知识形成、发展过程中的逻辑关系，不清楚该知识在整个单元或教材体系中的地位和作用，形成“只见树木，不见森林”的教学状态，以致学生孤立习得的知识碎片不能正确地应用在现实生活的整体任务中，导致学习的迁移度低。
（2）不重视“研究对象的获得”。
教师习惯用“一个定义，三项注意”的方式让学生记住概念的形式化表述，在学生还不知道研究对象的基本特征时就开始“讲解例题，大量练习”，以致学生对知识、方法以及学科思想缺乏感悟、内化的过程，导致浅层次学习。
渊3）无经验的学习。
学习本质是经验在深度和广度上持续变化，即个体在原有经验的基础上，通过自主建构形成新经验的过程。
但教师习惯于重视学生知识的积累和运用，忽视学生研究知识的路径和方法经验的积累,以致学生不能运用“类比”的方法研究结构相似的内容，实现方法迁移，导致学生不能以少驭多、以简驭繁，这是学生数学学习负担重的教学原因。
三方面原因共同导致了一个结果：学生学到太多无意义的“惰性知识”，难以在更大范围和更高层次上迁移运用，致使面对新的问题或情境不能自觉地运用“一般观念”来指导学习、思考和解决问题。
作为一门思维科学的数学学科，要发挥数学独特的育人功能，主要在培养学生的思维，特别是逻辑思维上，要使学生学会思考，学会有逻辑地思考。
这就要求数学的教学注重知识的整体性、逻辑的连贯性、方法的普适性、思维的系统性、思想的一致性，努力使数学课堂教学成为一个融知识、技能、方法、思维、思想于一体的“整体性教学”。
一、单元整体性教学的理解什么是单元整体性教学？至今还没有形成统一的定义，结合专家、学者的观点，认为单元整体性教学是在整体性教学理论指导下，将具有结构关联的知识作为一个“单元”，把每一个知识点都嵌入到单元结构中去理解，促使学生建立新旧知识以及观念之间的联系，整体把握结构关系，并通过“学结构”学会“用结构”（简称“学•用”结构），实现学习结构迁移。
谈数学教学中的整体性原则
作者： 黄双才
出版物刊名： 商洛学院学报
页码： 60-61页
主题词： 数学教学 数学知识结构 数学文化 数学认知结构 数学史 数学科学 数学对象 数学思维 数学语言 数学发展
摘要： 客观世界是一个有机联系的统一体,数学科学是客观世界数形结构方面的本质反映,它在不同侧面不同次层上,体现了整体性和局部性的辩证统一。
1、数学的整体性是数学科学的客观反映。
1.1数学概念是对客观现象、客观规律和数学对象整体性质的概括。
数学定理法则是数学对象共有属性的整体反映,数学内容的各节、各章及各学科,数学发展的各阶段既有其特殊性,又有内在的整体上的统一性。
现代数学的发展不但使数学科学本身更加统一化,也和数学与其他科学交叉结合形成错综复杂的整体的网络结构体系。
初中数学课堂练习设计要体现整体性
初中数学课堂练习设计要体现整体性北京市顺义区杨镇第二中学数学教师张臣整体性，数学是统一的，许多不同内容之间存在实质上的联系，包含内涵与方法。
这样的感受有助于学生正确地认识数学的价值、理解数学的内涵，形成应用数学解决问题的能力，发展师生自身的认识能力。
1.整体体现课程内容的核心。
《数学课程标准（2011年版）》将内容核心浓缩为数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识等10个核心概念。
数学课堂练习设计应将体现核心概念的内涵作为突出课程内容核心的具体途径，围绕这些核心概念展开课堂练习。
在运用图形性质解决几何问题、构造代数对象的几何背景、利用图形特征表达数学问题等活动过程。
在课堂练习设计时，应当让学生尽可能多地从事观察、操作、归纳、类比、猜测、证明等活动，以发展学生的空间观念、运算能力、推理能力、数据分析观念等。
通过对生活中实物和事件个数、数量关系的分析和抽象，发展学生的数感；通过对具有实际背景的数及其关系的分析、对现实情境中几何实体关系的分析，发展学生的符号意识；通过应用数学知识、方法解决问题的活动，发展学生的应用意识。
2.整体考虑知识之间的关联。
数学课程内容有代数、几何、统计、概率之分，数学本质应该是一个整体，不同知识之间、不同课程领域之间都存在是指性联系，课堂练习设计应当体现这些联系。
在课堂练习整体设计时，教师应考虑如何反应课程内容之间存在的实质性联系。
比如，代数公式的几何意义。
3.重要的数学概念与数学思想要体现螺旋上升的原则。
对于那些较为抽象的或深刻的数学概念、方法和思想，不能期望学生通过一次性学习就能完成对他们的认识。
比如，对函数、概率等概念，对数形结合、逻辑证明、模型思想的学习，就应该采取螺旋上升的方法。
4.注意相关内容的协调性。
在课堂练习设计时，教师要考虑配置的习题与其相应内容的协调性。
一方面要保证配备必要的习题帮助学生巩固、理解所学知识内容；另一方面，要避免配置的习题所涉及的知识超出相应的内容要求。
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行测数学运算16种题型之数的整除性1、数的整除性质：(1)对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。
(2)传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
(2) 若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。
(3) 几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。
(4) 若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能分别被这两个互质数的积整除。
（所有非零自然数只有一和他本身外没有其他的因数叫质数，如3，7，11等这种整数叫做质数）(5) 若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。
（若干个最大公因数只有1的自然数，叫做互质数。
）(6) 若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
2、数的整除特征：一个数要想被另一个数整除，该数需含有对方所具有的质数因子。
(1)1与0的特性：1是任何整数的约数，0是任何非零整数的倍数。
(2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
(3)若一个整数的数字和能被3(9)整除，则这个整数能被3(9)整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4(25)整除，则这个数能被4(25)整除。
(5)若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
(6)若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
(7)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
(8)若一个整数的末尾三位数能被8(125)整除，则这个数能被8(125)整除。
(9)若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
(10)若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
(不够减时依次加11直至够减为止)。
11的倍数检验法也可用上述检查7的(割尾法)处理，过程唯一不同的是：倍数不是2而是1。
(11)若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
(12)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
一个三位以上的整数能否被7(11或13)整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差(以大减小)能否被7(11或13)整除。
另法：将一个多位数从后往前三位一组进行分段。
奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差若被7(11或13)整除，则原多位数也被7(11或13)整除。
(13)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
(14)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
(15)若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
(16)若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
(17)若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。
例题1.(2007年中央第60题)有一食品店某天购进了6箱食品，分别装着饼干和面包，重量分别为8、9、16、20、22、27公斤。
该店当天只卖出一箱面包，在剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍，则当天食品店购进了()公斤面包。
A.44B.45C.50D.52【解析】本题是整除运算题目。
由题意可知，6箱食品共重102公斤，设卖出的一箱面包为x公斤，又由于剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍，所以(102-x)应是3的倍数，并且(102-x)÷3应是其余5箱中一箱的重量或几箱重量的和。
只有当x=27时符合条件，此时共有面包27+(102-27)÷3=52公斤。
故选D。
例题2.(2006年中央(一类)第50题，(二类)第34题)一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有()。
A.5个B.6个C.7个D.8个【解析】本题要运用整除运算。
根据“除以5余2”，可知该数的尾数为2或7;而根据“除以4余3”，可知其尾数只能为7，根据“除以9余7”，该数可以表示为9x+7，其中x的范围为11至110;其中尾数为7的有9y+7，其中y的范围为20至110，经检验可知，当y为30、50、70、90、110时，该三位数仍不能符合“除以4余3”的条件，即只有当y为20、40、60、80、100时，该三位数才满足三个条件，因此共有5个三位数。
故选A。
例题3：求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。
分析：由于要求被9整除，可只考虑数字和，又由于要求最小的，故从第二位起应尽量用最小的数字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为9的倍数。
【解析】一个以5为首位数的六位数，要想使它最小，只可能是501234(各位数字均不相同)。
但是501234的数字和5+0+1+2+3+4=15，并不是9的倍数，故只能将末位数字改为7，这时，5+0+1+2+3+7=18是9的倍数，故501237是9的倍数。
即501237是以5为首位，且是9的倍数的最小六位数。
例题4：从0、1、2、4、7五个数中选出三个组成三位数，其中能被3整除的有几个?【解析】三位数的数字和字和应被3整除，所以可取的三个数字分别是：0,1,2; 0,2,4; 0,2,7; 1,4,7。
于是有：(2*2*1)*3+3*2*1=18﹝个﹞例题5：某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三字依次是多少?【解析】这个七位数能被2、3、4、5、6、7、8、9整除，所以能被2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数整除。
这个最小公倍数是5*6*7*8*9=2520。
1993000/2520=790 (2200)2520-2200=320所以最后三位数依次是3、2、0。
例题6：十个连续的自然数，其中的奇数之和为85，在这10个连续的自然数中，是3的倍数的数字之和最大是多少?A56 B66 C54 D52【解析】奇数之和为85，则这个5个奇数为13、15、17、19、21，由此可知这十个最大为13-22，则3的倍数为：12、15、18、21。
二。
数的拆分问题是公务员考试常考的题型之一，考察对数的基本特性的掌握，通常此类问题都比较灵活。
一般来说此类问题整体难度不大，不过像考试中常用的代入法等在此将不再实用，故掌握方法就变得特别重要。
1.分解因式型：就是把一个合数合数是除了1和它本身还能被其他的正整数整除的正整数.除2之外的偶数都是合数.(除0以外)合数又名合成数,是满足以下任一(等价)条件的正整数:1.是两个大于1 的整数之乘积;2.拥有某大于1 而小于自身的因数(因子);3.拥有至少三个因数(因子);4.不是1 也不是素数(质数);5.有至少一个素因子的非素数.分解成若干个质数质数(又称为素数）1.就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的因数，这种整数叫做质数。
还可以说成质数只有1和它本身两个约数。
2.素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。
相乘的形式。
运用此方法解题首先要熟练掌握如何分解质因数，还要灵活组合这些质因数来达到解题的目的。
【例1】三个质数的倒数之和为a/231 ，则a=( )A.68B.83C.95D.131【解析】将231分解质因数得231=3×7×11，则1/3+1/7 +1/11 =131/231 ，故a=131。
【例2】四个连续的自然数的积为3024，它们的和为( )A.26B.52C.30D.28【解析】分解质因数：3024=2×2×2×2×3×3×3×7=6×7×8×9，所以四个连续的四个自然数的和为6+7+8+9=30。
【例3】20^n是2001*2000*1999*1998*……*3*2*1的因数，自然数n最大可能是多少?A 499 B500 C 498 D501【解析】20^n=5*2*2的N次方，显然2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中，能分解出来的2个个数要远远大于5的个数，所以2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中最多能分解多少个5也就是N的最大值，由此计算所求应为【2001÷5】+【2001÷25】+【2001÷125】+【2001÷625】=400+80+16+3=499。
注：【】取整数部分。
2.已知某几个数的和，求积的最大值型：基本原理：a2+b2≧2ab，(a，b都大于0，当且仅当a=b 时取得等号)推论：a+b=K(常数)，且a，b都大于0，那么ab≦((a+b)/2)2，当且仅当a=b时取得等号。
此结论可以推广到多个数的和为定值的情况。
【例1】3个自然数之和为14，它们的的乘积的最大值为( )A.42B.84C.100D.120【解析】以下内容需要回复才能看到开通VIP,拥有隐藏帖子免回复特权!不用回复也能看!若使乘积最大，应把14拆分为5+5+4，则积的最大值为5×5×4=100。
也就是说，当不能满足拆分的数相等的情况下，就要求拆分的数之间的差异应该尽量的小，这样它们的乘积才能最大，这是做此类问题的指导思想。
下面再举一列大家可以自己体会.【例2】将17拆分成若干个自然数的和，这些自然数的乘积的最大值为( )A.256 B.486 C.556 D.376【解析】以下内容需要回复才能看到开通VIP,拥有隐藏帖子免回复特权!不用回复也能看!将17拆分为17=3+3+3+3+3+2时，其乘积最大，最大值为×2=486。
3. 排列组合型: 运用排列组合知识解决数的分解问题。
要求对排列组合有较深刻的理解，才能达到灵活运用的目的。
【例1】有多少种方法可以把100表示为(有顺序的)3个自然数之和?( )A.4851B.1000C.256D.10000【解析】以下内容需要回复才能看到开通VIP,拥有隐藏帖子免回复特权!不用回复也能看!插板法：100可以想象为100个1相加的形式，现在我们要把这100个1分成3份，那么就相等于在这100个1内部形成的99个空中，任意插入两个板，这样就把它们分成了三个部分。
而从99个空任意选出两个空的选法有：C992=99×98/2=4851(种);故选A。
(注：此题没有考虑0已经划入自然数范畴，如果选项中出现把0考虑进去的选项，建议选择考虑0的那个选项。