《葛友华编CADCAM》讲稿

CAD/CAM技术
第一章概述
第一节CAD/CAM基本概念
一、CAD/CAM技术原理
CAD: Computer Aided Design——计算机辅助设计
CAM: Computer Aided Manufacturing——计算机辅助制造
广义的CAD/ CAM技术：
利用计算机辅助技术进行产品设计与制造的整个过程，以及与之直接或间接相关的活动，包括产品设计、工艺准备、生产作业计划、生产控制、质量控制及工程数据库管理等。

狭义的CAD/ CAM技术：
CAD主要功能：概念设计、结构设计、装配设计、复杂曲面设计、工程图绘制、工程分析、真实感及渲染、数据交换接口等。

CAM 主要功能：NC程序编制、刀具路径规划、刀位文件生成、刀具轨迹仿真及NC代码生成等。

二、CAD/CAM与制造模式
传统的设计与制造方式：以技术人员为中心展开的，产品及其零件在进行加工过程中所处的状态，设计、工艺、制造、设备等环节的延续与保持等，都由人工进行检测并反馈，所有的信息均交汇到技术和管理人员处，由技术人员进行对象的相关处理。

以CAD/CAM技术为核心的设计与制造方式：充分发挥了计算机存储容量大、运行速度快、信息处理能力强的优势，大大缩短了产品设计制造周期、提高了产品的质量。

两种设计与制造方式的实例比较：
实例1：无线扩音机的设计（周期6人半年减少到3人20天，电子装配无装配超差、自动绘图联动修改）；
实例2：美国波音（Boeing）飞机公司采用CAD/CAM技术应用于Boeing777全机的设计与制造。

（原设计周期为5~6年，并且有2万多处超差！现在只需一年半左右，只有十几处“人为”超差）。

三、CAD/CAM的生存环境
1、操作系统(Windows或Unix)
2、计算机网络(主要是Intranet)
3、数据管理平台(PDM)
4、集成制造环境(CIMS)
四、CAD/CAM系统的工作过程
学生自学
第二节CAD/CAM技术的发展
CAD/CAM技术的历史地位
1990年美国国家工程科学院将CAD/CAM技术评为当代最杰出的十大工程
技术成就，CAD/CAM技术居第六位。

CAD/CAM技术的发展和应用水平已成为衡量一个国家科技现代化和工业
现代化水平的重要标志之一，从根本上改变了产品的技术管理模式和生产模式。

应用领域日益广泛
最初：航空航天、汽车、船舶。

现在：机械、电子、轻工、建筑、电影制作等等几乎所有行业。

一、CAD/CAM技术的发展
1950s:
MIT首次研制成功数控机床；
1960s:（萌芽阶段）
MIT的I.E.Sutherland博士在其博士论文“人机对话图形通信系统”以及开发的
软件SKETCH PAD系统中首次提出了“计算机图形学”、“交互技术”等重要概念与思想。

代表软件：洛克希德飞机公司的CADAM系统。

1970s:（初始阶段）
硬件以小型机、超小型机为主。

软件既有通用型的，又有专用型的。

主要面向航空部门，商品化程度不高。

软件只是二维绘图与三维线框系统。

1980s:（蓬勃发展阶段）
32位字长的工作站及微机的性能已达到或超过了过去的小型机，而且价格低廉。

软件主要具有三维线框造型、曲面造型、机械制图、有限元分析、数控自动编程等功能。

1990s:（成熟阶段）
朝着标准化、集成化、并行化、智能化及自动化方向发展。

数据标准和数据交换。

出现PDM
典型软件：
法国Dassault Systems公司CATIA系统;
法国Matra Datavision公司Euclid系统;
美国UG II公司UG II系统、SolidEdge系统；
美国SDRC公司I-DEAS系统；
美国PTC公司Pro/E系统；
美国CNC Software公司MasterCAM系统；
以色列Cimatron公司的Cimatron系统；
二、我国CAD/CAM技术现状
老师简要介绍，学生课后自学。

三、CAD/CAM的发展趋势
老师简要介绍，学生课后自学。

第三节CAD/CAM技术的学习方法
老师简要介绍广东企业应用CAD/CAM技术的情况。

作业：p9：3、7
补充题：CAD/CAM技术的历史地位
第二章CAD/CAM系统
CAD/CAM系统组成，见图2-1。

第一节CAD/CAM系统的软、硬件配置
硬件：计算机（大型机、小型机、工作站、高档微机）、输入输出设备（鼠标、键盘、数字化仪、扫描仪/打印机、绘图机）、数控加工设备等
软件：操作系统软件、CAD/CAM支撑软件（著名的商品化CAD/CAM通用软件系统）、专业应用软件。

主要功能：概念设计、结构设计、装配设计、复杂曲面设计、工程图绘制、工程分析、真实感及渲染、数据交换接口等。

（学生可课后自行阅读p12~20）
第三章计算机图形学基础
计算机图形学是CAD技术最早研究的内容之一。

第一节计算机图形学概述
一、计算机图形学的基本概念
矢量图形：记录了图形元素的形状参数与属性参数。

点阵图形：记录了图形的点的灰度与色彩。

计算机图形学的任务：（1）由计算机内的数据生成与之对应的图形，并显示在显示器上；（2）对图形作各种处理，如几何变换、投影、消隐等。

二、图形生成技术与算法
学生自修。

三、图形的编辑修改技术
见第二、三节。

四、真实图形技术
1、消隐技术
2、光色效应处理技术
五、二维工程图生成方法
1、交互式准确绘图；
2、程序参数化绘图；
3、交互式参数化绘图；
4、三维实体投影自动生成工程图
第二节图形变换
一、窗口区及视图区的坐标变换
1、窗口区：用户选定的矩形观察区域。

表示方法：（1）左下角点(w1,w3)，右上角点(w2,w4)；（2）左下角点(w1,w3)及矩形的长、宽。

2、视图区：用户定义的小于或等于屏幕大小的范围的图形显示区域。

表示方法：（1）左下角点(v1,v3)，右上角点(v2,v4)；（2）左下角点(v1,v3)及矩形的长、宽。

3、窗、视变换：
(x w ,y w ) → (x v ,y v )
x v - v 1/ v 2,-v 1 = x w - w 1/ w 2,-w 1
y v - v 3/ v 4,-v 3 = y w - w 3/ w 4,-w 3
所以得到（3-5）。

二、二维图形的几何变换
图形变换是指对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形，主要包括平移、旋转、对称、比例等几个基本变换。

1、基本变换
主要包括：平移变换、旋转变换、比例变换、对称变换、错切变换。

<1>平移变换
设点p(x,y)沿矢量（l,m ）移动到点p ’(x ’,y ’)，则由
矢量加法的三角形法则，得
（x ’， y ’）= (x,y) +（l,m ）
若用矩阵之和表示法，则有
[x ’ y ’] = [x y]+[l m]
<2>绕坐标原点旋转变换
设点p(x,y) 绕坐标原点o 逆时针转动θ角移动到点p ’(x ’,y ’)，利用复数相乘原理，则有
x ’+y ’i = (x+yi)(cos θ+isin θ)
即
x ’ = xcos θ-ysin θ
y ’ = xsin θ+ycos θ
若用矩阵相乘表示法，则得
也可利用直角坐标与极坐标的关系导出上式。

x = Rcos α
y = Rsin α
x ’ = Rcos(θ +α) = R[cos θcos α- sin θsin α]
= Rcos αcos θ – R sin αysin θ = xcos θ-ysin θ
[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθcos sin sin cos ''y x y
x
y ’ = Rsin(θ +α) = R[sin θcos α+ cos θsin α]
= Rcos αsin θ + R sin αcos θ = xsin θ + ycos θ
<3>以原点为中心的比例变换
以原点o 为中心对图形上任意一点p(x,y)按比例进行放大或缩小，得到点p ’(x ’,y ’)，则有
x ’ = x •S x
y ’ = y •S y
矩阵形式为
当S x = S y >1时，为等比例放大；
当S x = S y <1时，为等比例缩小；
当S x ≠ S y 时，为不等比例缩放。

<4>对称变换
图形上任意一点p(x,y)关于一条直线l 作对称，得到点p ’(x ’,y ’)。

当l 为X 轴时：
x ’ = x
y ’ = -y
矩阵形式为
当l 为Y 轴时：
x ’ = -x
y ’ = y
矩阵形式为
当l 为直线y=x 时：
x ’ = y [][]⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=y x S S y x y x 00''[][]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=1001''y x y x [][]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=1001''y x y x
y ’ = x
矩阵形式为
当l 为直线y=-x 时：
x ’ = -y
y ’ = -x
矩阵形式为
特别地，若关于原点o 对称，则有
x ’ = -x
y ’ = -y
矩阵形式为
<5>错切变换（感兴趣的学生自学）
简要介绍沿x 轴方向错切概念。

2、复合变换：一个复杂的图形变换都可以看作是由若干个基本变换组合而成。

例：P(x,y)关于固定点C(l ,m)逆时针旋转90o 。

这个变换可以看作是，先将P 点和C 点平移，使得固定点C 恰好与坐标原点重合。

然后将P 点的新位置P*(x*,y*)点关于坐标原点o 逆时针旋转90o ，得到P**(x**,y**)点。

最后将P**点平移，使得C 点恰好回到原来位置，得到的点P ’(x ’,y ’)即为所求。

由基本变换公式：
[x* y*] = [x y] + [-l -m] = [x y] + T 1
[x** y**] = [x* y*] T 2 =（[x y] + T 1）T 2 = [x y] T 2 +T 1T 2
[x ’ y ’] = [x** y**] + [l m] = [x y] T 2 +T 1T 2 + T 1 -1
故平移变换的矩阵给计算带来了麻烦。

[][]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=0110''y x y x [][]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=0110''y x y x [][]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=1001''y x y x
在求复合变换的变换矩阵时，平移变换的变换矩阵由于用加法表示，而其他变换却用简单的乘法表示，这使得计算变得复杂起来，于是引入齐次坐标概念。

齐次坐标：n 维空间的点用n+1维矢量表示的方法。

(x 1, x 2, …… , x n )→(kx 1, kx 2, ……, kx n , k) (k ≠ 0)
或
(x 1, x 2, …… , x n )→(X 1, X 2, ……, X n , k) (k ≠ 0)
其中
x 1 = X 1/k, x 2 = X 2/k, ……, x n = X n /k
当k=1时称为规格化形式，此时x 1 = X 1, x 2 = X 2, ……, x n = X n
考虑下面两种特殊情况：
二维空间点、三维空间点。

例：
(2,3) → (4,6,2)或(-2,-3,-1)，
(8,4,2) → (4,2)，
(3,5,-1) → (9,15,-3)、(6,10,-2)
(6,9,-10) → (-3/5,-9/10)
学生上讲台现场做题
在齐次坐标下基本变换都可以表示为两个矩阵的乘积：
[x ’ y ’ 1] = [x y 1]T
齐次坐标下的变换矩阵T
平移变换：
旋转变换：
比例变换：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010001m l T ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1000cos sin 0sin cos θθ
θθ
T
对称变换：
(1)关于x 轴对称
(2)关于y 轴对称
(3)关于y = x 直线对称
(4)关于y = -x 直线对称
(5)关于坐标原点对称
这样一来，复合变换的变换矩阵恰好就是构成此复合变换的基本变换的变换矩阵依次从左到右相乘即可。

在齐次坐标下几何变换的基本公式是：
其中T 是变换矩阵。

T = T 1T 2•••T n
[][]T y x y x 11''
=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10000
00y
x
S S T ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010001T ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010001T ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100001010T ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100001010T ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100010001T
例：求三角形A(10,6)B(15,6)C(12,11)关于直线x = 6对称的变换，并绘出图形。

解：这是一个复合变换，可以依次分解为以下三个基本变换：
1）
平移图形，使对称轴从直线x = 6移到Y 轴上，变换矩阵为
2）
图形关于Y 轴作对称，变换矩阵为
3）
再平移图形，使得对称轴移回到直线x = 6位置上，变换矩阵为
因此，这个复合变换的变换矩阵T 为
利用公式
可以得到A 、B 、C 三点关于直线x = 6对称的对称点A ’、B ’、C ’的齐次坐标。

A ’：
B ’：
C ’：
所以，三角形ABC 关于直线x = 6对称的图形，
就是三角形A ’(2,6)B ’(-3,6)C ’(0,11)。

绘图如下：
课堂练习：求点p(8,2)关于直线y = x + 3对称的点p ’。

作业：p47, 第6,7题。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==1012010001321T T T T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1060100011T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1000100012T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1060100013T [][]T
y x y x 11''=[][][]16216101''==T y x [][][]16316151''-==T y x [][][]''1121110111x y T =
=
三、三维图形的几何变换
三维几何变换的基本原理与二维几何变换相同，所以三维空间几何变换在齐次坐标下基本变换可以表示为两个矩阵的乘积： [x ’ y ’ z ’ 1] = [x y z 1]T 其中T 是一个4 x 4的矩阵。

1、平移变换
设点p(x,y,z)沿矢量（l,m,n ）移动到点p ’(x ’,y ’,z ’)，则有 x ’=x+l y ’=y+m z ’=z+n
相应的齐次坐标下的变换矩阵为
2、比例变换
设点p(x,y,z)关于原点o 比例变换为点p ’(x ’,y ’,z ’)，则有 x ’=x·S x y ’=y·S y z ’=z·S z
相应的齐次坐标下的变换矩阵为
3、旋转变换 1)绕z 轴旋转θ
⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=101000010000
1n
m
l T ⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=10
00000000000z y x
S S S T ⎥⎥⎤⎢
⎢⎡-00cos sin 00sin cos θθθθ
2)绕x 轴旋转θ
3)绕y 轴旋转θ
4、对称变换
1）关于xoy 平面
2）关于yoz 平面
3）关于zox 平面
1
00
00cos sin 00sin cos 0000
1x T θθθθ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥-⎢
⎥⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-=10
000cos 0sin 00100sin 0cos θθθθy T ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10
00
010*********xoy
T ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10
00
010*********yoz
T ⎥⎥⎥⎤
⎢⎢
⎢⎡-=010*********zox
T
4）关于坐标原点o
例：求三维空间点P(5,-2,8)关于直线x = 2，z=3旋转60˚的变换矩阵及变换后点的坐标。

解：这是一个复合变换，可以依次分解为以下三个基本变换：
1）平移图形，将直线x = 2，z=3移到Y 轴上，变换矩阵为
2）图形绕Y 轴旋转θ = 60˚，变换矩阵为
3）将旋转轴平移回直线x = 2，z=3位置，变换矩阵为
此复合变换的变换矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---=1000010000100001o T ⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--=13
02
0100001000011T ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-=10
00
0cos 0sin 00100sin 0cos 2θθθθT ⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=13
02
0100001000013T
将点P(5,-2,8)代入公式[x ’ y ’ z ’ 1]= [x y z 1]T ，则得 即
所以点P(5,-2,8)变换后点的坐标为 作业
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡+--=⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡
+----=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--==132302
/33102/10230010
02
30
2/11sin 2cos 330sin 3cos 220cos 0sin 00100sin 0cos 130201
00001000011cos 3sin 20sin 3cos 20cos 0sin 00100sin 0cos 1302
0100
00100001
10000cos 0sin 00100sin 0cos 130********
000
01321θθθθθθθθθθθ
θθθθθθθ
θ
θT T T T 32
3211'2'325
27'-=
-=+=z y x )
32
3
211,2,32527('--+P [
]1/202
001005281201/201203/217/2/2211/221⎡⎤⎢
⎥⎢
⎥-⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥-+⎣
⎦
⎡⎤=+--⎣⎦
1、求三维空间点P(9,12,4)关于直线y = -1, z = 5旋转45˚的变换矩阵及变换后点的坐标。

2、求齐次坐标(8,-3,5,2),(4,2,6,2),(18,-6,-3,3)所对应的三维空间点的坐标。

四、投影变换（自修，只要求掌握基本概念）
第三节图形裁剪技术
一、点的裁剪（自修，只要求掌握基本概念）
二、线段的裁剪（自修，只要求掌握基本概念）
三、多边形的裁剪（自修，只要求掌握基本概念）
四、字符的裁剪（自修，只要求掌握基本概念）
第四节图形的消隐技术
（自修，只要求掌握基本概念）
第五节图形的光照处理技术
（自修，只要求掌握基本概念）
第四章三维几何建模技术
三维几何建模是CAD/CAM系统的理论基础的核心内容。

第一节基本概念
一、几何建模的定义
20世纪70年代中期发展起来的，它是一种通过计算机表示、控制、分析和输出几何实体的技术。

几何建模就是以计算机能够理解的方式，对几何实体进行确切的定义，赋予一定的数学描述，再以一定的数据结构形式对所定义的几何实体加以描述，从而在计算机内部构造一个实体的模型。

定义、描述的几何实体必须是完整的、唯一的。

而且能够从计算机内部模型上提取该实体的全部信息。

二、二维绘图与三维建模
二维绘图是早期的CAD/CAM系统的主要功能，但图形不能自动绘制，也不能联动更新。

现代CAD/CAM系统都是采用三维几何建模，可以真实地、完整地、清晰地描述物体，是CAD/CAM技术发展的主流。

三、三维建模技术基础
1、三维形体的几何信息和拓扑信息
几何信息：一个物体在三维欧氏空间中
的形状、位置和大小。

强调对一个单一基本几何元素的具体准
确描述。

举例：直线的表示。

拓扑信息：多个单一基本几何元素之间
的邻接关系。

举例：立方体的面、边、点之间的关系。

2、形体的定义
(1)体：由封闭表面围成的有效空间，其边界是有限个面的集合。

(2)壳：由一组连续的面围成的，实体的边界称为外壳，如果壳所包围的空
间是个空集则为内壳。

(3)面：形体表面的一部分，具有方向性，它由一个外环和若干个内环界定其有效范围。

(4)环：有序、有向的边组成的封闭边界。

环有内环、外环之分，外环最大且只有一个，内环的方向与外环相反。

(5)边：两相邻或多个邻面的交线。

(6)点：是边的端点。

(7)体素：如立方快、圆柱、球、环等。

3、正则集合运算
见p57图4-5。

四、三维几何建模技术的发展
早期的CAD系统以平面图形的处理为主。

最早的三维CAD系统所用到的数据模型是线框模型，用线框表示三维形体，没有面和体的休息。

第一次CAD革命：法国Renault汽车公司的Bezier提出了Bezier曲线、曲面。

第二次CAD革命：美国SDRC公司于1979年发布世界上第一个完全基于实体造型技术的大型CAD/CAM系统I-DEAS。

第三次CAD革命：参数化建模理论诞生。

典型代表，美国PTC公司推出的基于特征、全尺寸约束、全数据相关、尺寸驱动设计修改的Pro/E系统。

第四次CAD革命：基于变量化技术的造型技术。

美国SDRC公司推出的I-DEAS Master SeriesCAD/CAM系统。

第二节 线 框 建 模
一、线框建模的原理
线框建模由一系列的点、直线、圆弧及某些二次曲线组成，描述产品的轮廓外形。

其数据结构是表结构。

二、线框建模的特点
所需信息量少，数据运算简单，对硬件占据的存储空间比较小，要求不高。

但没有面的信息，存在多义性，不能进行消隐。

关于曲线、曲面的预备知识：
三维空间向量的基本概念、向量的加减、向量与标量的乘法、向量的点乘与叉乘、向量平行或垂直的判别方法。

对于非零向量A=[a 1,a 2,a 3]，B=[b 1,b 2,b 3]， A ·B = a 1 b 1 + a 2 b 2+ a 3 b 3
<1>点
二维空间P(x,y)，三维空间P(x,y,z)。

<2>平面直线
● 两点式方程：已知直线上的点p 1(x 1,y 1)和p 2(x 2,y 2)，则方程为：
)(211
1
1212x x x x y y x x y y ≠--=--
● 标准方程（由两点式方程推出） Ax+By+C=0
● 斜截式方程：已知斜率k 和Y 轴上的截距b y=kx+b
● 点斜式方程：已知斜率k ，直线通过点（x 0,y 0） y=k(x-x 0)+y 0 ● 法线式方程
设N 为从原点o 到直线l 的垂足，D=|ON|，θ为矢量
ON
3
21
321
b b b a a a B A =⨯
与x 轴正向夹角。

设P(x,y)为直线上任意一点，则有
而
{}{}θθθθsin ,cos sin ,cos D D D ON ==
{}y x OP ,= 于是(*)变为 xcos θ+ysin θ=D
注：利用这种思想推导点到直线的距离公式
直线的参数方程（让学生上来推导） 设直线l 的倾斜角为α，且通过点P 0(x 0,y 0)，则有
(其中t 为任意实数，表示P 0P 的有向长度。

) 若直线通过两点p 1(x 1,y 1)、p 2(x 2,y 2)，则
(其中t 为任意实数，表示P 1P 是P 1P 2在有向长度上的倍数。

) 特别地，如果0≤t ≤1，则动点p 在P 1、P 2两点之间。

矢量形式：P = (1-t)P 1+tP 2
<3>平面圆与圆弧 圆的解析方程 (x-x c )2+(y-y c )2=R 2
其中(x c ,y c )为圆心，R 为半径。

圆的参数方程
*).........(D =⎩
⎨
⎧+=+=αα
sin cos 00t y y t x x ⎩⎨⎧-+=-+=)
()(121121y y t y y x x t x x ⎩⎨
⎧+=+=θ
θsin cos R y y R x x c c
(0≤θ≤2π)，若限定a ≤θ≤b ，即为圆弧的参数方程。

<4>曲线的矢量方程与参数方程
对于空间任意一点P ，可以用对应的位置矢量r = OP 表示。

所以对于空间曲线，只需研究曲线上动点的位置矢量的变化规律。

空间曲线的方程可表示为： r = r(t) = [x(t), y(t) , z(t)]
所以，参数方程就是
例题：求空间右手螺旋线的矢量方程与参数方程。

设螺旋线以正Z 坐标轴为轴线，起点S 落在正X 轴上, 螺旋线的半径为a ，动点P 在螺旋线上的运动角速度为ω，沿轴线向上匀速运动的速度为v ，所以参数方程为，
其中t 表示运动时间。

矢量方程为，
r = r(t) = [acos ωt , asin ωt,vt ]
12()
()([,])
()x x t y y t t t t z z t =⎧⎪
=∈⎨⎪=
⎩
cos sin x a t y a t z vt ωω=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
<5>曲面的矢量方程与参数方程
对于平面域[0,a]×[0,b]上的任意一点p(u 0,v 0)，按照函数的映射关系对应于三维空间中的点R(u 0,v 0)。

空间曲面的矢量方程可表示为： R = R(u,v) = [x(u,v), y(u,v) , z(u,v)]
所以，参数方程就是
<5>矢函数的求导
矢函数导矢仍然是一个矢函数，它表示曲线上一点的切线矢量，并指向曲线参数增长的方向。

关于导矢的基本运算法则：
)]
('),('),('[]
)()(,)()(,)()([)()()('lim lim 0
0t z t y t x t t z t t z t t y t t y t t x t t x t t r dt t dr t r t t =∆-∆+∆-∆+∆-∆+=∆∆==→∆→∆2
22)]([)]([)]([)('t z t y t x t r ++=(,)(,)(,[0,][0,])
(,)x x u v y y u v u v a b z z u v =⎧⎪
=∈⨯⎨⎪=
⎩
C’ = 0 (C为常矢)；
[r1(t)+r2(t)]’ = r1’(t)+r2’(t)；
[Kr(t)]’ = K r’(t) (其中K为常数)；
[f(t)•r(t)]’ = f’(t) •r(t)+ f(t) •r’(t) (其中f(t)为数量函数)；
[r1(t)•r2(t)]’ = r1’(t) •r2(t)+ r1(t) •r2’(t)；
[r1(t)×r2(t)]’ = r1’(t) ×r2(t)+ r1(t) ×r2’(t)；
r’’(t) = [x’’(t),y’’(t),z’’(t)]；
……
r(n)(t) = [x(n) (t),y(n) (t),z(n) (t)]。

<6>矢函数的导矢及其应用
利用导矢可以求出空间曲线r = r(t) = [x(t), y(t) , z(t)]上任意一点t = t0的切线方程与法平面方程。

切线方程：
r = r(u) = r(t0) + u r’(t0)= [x(t0), y(t0) , z(t0)] + u [x’(t0), y’(t0) , z’(t0)]
相应的参数方程为
x = x(t0) + u x’(t0)
y = y(t0) + uy’(t0)
z = z(t0) + uz’(t0)
其中u为实数。

法平面方程：
(r - r(t0)))·r’(t0) = 0
即
r·r’(t0) =r( t0))·r’(t0)
或者
x’(t0)x + y’(t0)y + z’(t0)z = x(t0) x’(t0)+ y(t0) y’(t0)+ z(t0) z’(t0)
对空间曲线r = r(t)，导矢的物理意义是，若t表示时间，则一阶导矢就是速度矢，二阶导矢是加速度矢。

练习1、求空间曲线方程为r = {t,t2,t3} 在t = 2处的切线方程及法平面方程。

练习2、对于非零向量A，B，试证明：
A⊥B的充要条件是A·B = 0。

A∥B的充要条件是A╳B = 0
第三节曲面建模
一、曲面建模的原理
二、曲面建模的特点
1、能够较完整的定义较复杂的立体的表面，如汽车、飞机机身等都可以采用曲面建模的方法构造其模型。

2、另外，曲面建模可以对物体作剖切面、面面求交、线面投影、数控编程以及彩色渲染图所需的曲面信息。

3、但曲面建模没有面与面之间的联系，缺乏对实体表达的完整性。

三、曲面建模的方法 <1>Bézier 曲线
背景：上世纪60年代法国雷诺(Renault)汽车公司的Bézier 先生研究提出，并由此开发了一套自由曲线曲面造型系统UNISURF 。

Bézier 曲线的定义: 设有n+1个点Q 0,Q 1,Q 2,……,Q n ，则可以构造一条n 次的Bézier 曲线，
,0
()()01n
i n i
i P u B u Q u ==≤≤∑
其中
B n,i (u)称为伯恩斯坦基函数。

Q i (0≤i ≤n)称为顶点，他们顺次连接形成的开口多边形Q 0Q 1Q 2,…,Q n 称为特征多边形。

当n=3时，这时伯恩斯坦基函数为：
所以，得到常用的3次Bézier 曲线为
,!
()(1),0,1,...,!()!
i i n i i
i n n n n B u C u u C i n
i n i -=-=
=-00
330,33()(1)(1)B u C u u u =-=-11221,33()(1)3(1)B u C u u u u =-=-22122,33()(1)3(1)B u C u u u u =-=-33
033,33()(1)B u C u u u =-=3
,3032230123()()[(1)3(1)3(1)
][]i i
i T
P u B u Q u u u u u u Q Q Q Q ===---
∑
n次Bézier曲线的重要几何性质：
●端点性质：p(0) = Q0，P(1) = Q n；
●切线性质：P’(0) = nQ0Q1，P’(1) = nQ n-1Q n；
●对称性：把特征多边形的编号顺序完全颠倒，曲线的形状不变。

Bézier曲线的一个奇妙特性
注：绘制Bézier曲线图形可以采用“三点”法：两个端点（应反映上述的端点性质及切线性质）、中点。

<2>B样条曲线
背景：Bézier曲线有两个明显的缺点：曲线的次数等于特征多边形的边数，所以当顶点较多时会出现“振荡”；修改一个顶点或改变顶点数时，将影响整个曲线，不方便修改。

由于Bézier曲线的明显缺点，美国人提出了“分段构造”的B样条曲线，它保留了Bézier曲线的优点，克服了Bézier曲线的缺点，具有便于修改、次数不随顶点数增加而提高的优点。

三次B样条曲线的定义:
P(u) = 1/6(1-3t+3t2-t3)V0+1/6(4-6t2+3t3)V1+1/6(1+3t+3t2-3t3)V2+1/6t3V3
三次B样条曲线的重要几何性质：
●端点性质：V1r(0) = V1M/3，V2r(1) = V2N/3；
即
r(0) = (1-1/3)V1+1/3[(V0+V2)/2] = (V0+V2)/6 + 4 V1/6
r(1) = (1-1/3)V2+1/3[(V1+V3)/2] = (V1+V3)/6 + 4 V2/6
●切线性质：r’(0) = V0V2/2 =( V2-V0)/2
r’(1) = V1V3/2 =( V3-V1)/2
●二阶导矢：r’’(0) = 2V1M = (V0+V2) - 2 V1
r’’(1) = 2V2N = (V1+V3) - 2 V2
<3>参数曲面
S = S(u,v)，(u,v∈[0,1])
规范定义域：R = [0,1]⨯[0,1]
两个坐标系之间的映射；
u,v向的参数线及u,v向的等参数线S(u,v0) ，S(u0,v)概念。

1）Bézier曲面
Bézier曲面片的一般定义如下：
设Q i,j (i=0,1,…,m; j=0,1,…,n)为给定的(m+1)(n+1)个空间点列，则m ×n 次参数Bézier 曲面为
其中B i,m (u),B j,n (v)是伯恩斯坦基函数；Q i,j 是控制多边形顶点的(m+1)×(n+1)二维阵列。

逐次用线段连接点列Q i,j 中相邻两点所形成的空间网格，称为特征网格。

当m=n=3时，得到常用的双三次Bézier 曲面。

图形见p58图4-13。

2）B 样条曲面
P59公式4-8，与Bézier 曲面类似。

3）NURBS 曲线、曲面
NURBS(Non uniform Rational B-Spline)非均匀有理B 样条，将描述自由型曲线、曲面的B 样条方法与精确表示二次曲线与二次曲面的数学方法相互统一。

常用曲面构造方法： 线性拉伸曲面
设平面曲线为 r =r(u) (u ∈[0,1])，沿着单位向量A 拉伸位移为v ，则根据矢量加法的三角形法则，其向量方程为
P = r(u)+vA
直纹曲面
设有两条空间曲线设C 1=C 1(u)，C 2=C 2(u)，(u ∈[0,1])，P 1、P 2分别是C 1、C 2上的动点，P 1= C 1(u) ，P 2= C 2(u)。

连接P 1、P 2两点得到动直线P 1P 2。

当P 1、P 2分别沿C 1、C 2正向滑动时动直线P 1P 2在空间运动形成的曲面即为直纹曲面。

（注意：P 1、P 2两点必须对应相同的u 值）所以直纹曲面的方程为
S = (1-v) P 1+v P 2 = (1-v)C 1(u)+v C 2(u) (v ∈[0,1])
等距曲面
设曲面方程为S = S(u,v)，(u,v ∈[0,1])。

对任何u,v ∈[0,1]，动点S(u,v)处的两条等参数线的切线矢量为S u (u,v)和 S v (u,v)
令N = S u (u,v)⨯S v (u,v)，取n = N/|N|，则n 为动点S(u,v)处的单位法线向量，于是曲面S = S(u,v)，(u,v ∈[0,1])的等距曲面方程为：
)
1,0()()(),(,00
,,≤≤=∑∑==v u Q v B u B v u P j
i m i n
j n j m i
S* = S(u,v)+dn （d 为常数，表示偏移量）
作业：
1、用控制顶点V 0(0,0)，V 1(3,3)，V 2(8,3)，V 3(11,0)构造一条三次Bézier 曲线，试写出方程、求出首末端点矢量及相应的一阶导矢并绘制图形。

2、用第一题的控制顶点构造一条三次B 样条曲线，试求出首末端点矢量及相应的一、二阶导矢并绘制图形。

3、设有两条曲线 C 1(u) = {2πu,cos(2πu),0} ，C 2(u) = {2πu,sin(2πu),5} (u ∈[0,1])。

试利用这两条曲线构造一张直纹曲面。

4、设有一条曲线 C(u) = {2πu,cos(2πu),0} (u ∈[0,1])。

试求沿着向量A ={1,1,5}线性拉伸的曲面方程。

5、设有一条曲线 C(u) = {2πu,3+cos(2πu),0} (u ∈[0,1])。

试利用这条曲线构造一张绕X 轴旋转的旋转曲面方程。

解：1、此三次Bézier 曲线的方程为 其中
首末端点为
r(0) = V 0 = (0,0), r(1) = V 3 = (11,0) 首末端点处一阶导矢
r ’(0) = 3V 0V 1 = (9,9) r ’(1) = 3V 2V 3= (-9,-9) 绘制此三次Bézier 曲线的图形如下
2、根据三次B 样条曲线的几何性质 首末端点为
r(0) = (V 0+V 2)/6 + 4 V 1/6 =(8/6,3/6) + (2,2) = (10/3, 5/2) r(1) = (V 1+V 3)/6 + 4 V 2/6
∑==3
,3)()(i i
i V u J u r )!
3(!!
3,
)1()(333,3i i C u u C u J i
i i
i i -=
-=
-
= (14,3)/6 + 4 (8,3)/6
=(23/3,5/2)
首末端点处一阶导矢
r’(0) = ( V2-V0)/2 = (4,3/2)
r’(1) = ( V3-V1)/2 = (4,-3/2)
首末端点处二阶导矢
r’’(0) = (V0+V2) - 2 V1 = (2, -3)
r’’(1) = (V1+V3) - 2 V2 = (-2, -3)
绘制此三次B样条曲线的图形如下
3、这个直纹曲面的方程为
S = (1-v)C1(u)+v C2(u) = (1-v) {2πu,cos(2πu),0}+v {2πu,sin(2πu),5} = {2πu,cos(2πu) (1-v)+ sin(2πu) v,5v} (u,v∈[0,1])
第四节实体建模
一、实体建模的原理
通过建立几何信息与拓扑信息，建立完整的几何模型。

二、实体生成的方法
1、体素法（图4-21、22）
2、扫描法（图4-23）
三、三维实体建模的计2算机内部表示
1．边界表示法(Boundary Representation)
2. 构造立体几何法（Constructive Solid Geometry）
3. 混合模式（Hybrid Model）
第七章计算机辅助数控加工编程
第一节数控编程基础
数控加工：按照事先编制好的加工程序对工件进行加工的。

加工程序是一些包含刀具运动、机床运动、刀具更换、冷却液开停等动作的指令。

数控机床可以根据这些指令对工件进行加工。

数控加工的流程：
加工图样→加工工艺决策→加工程序编制→程序输入→数控加工→零件
数控程序的编制方法：
手工编程；
自动编程：APT(Automatically Programme Tools) 编程、图像编程
（使用具体简单实例说明）
数控机床及数控加工工艺
<1>数控机床
数控机床的组成结构：床体（床身、导轨、工作台等）、数控系统（机床的控制部分）和伺服系统（数控系统的执行部分）。

数控机床的分类：
按加工类型: 数控车床、数控镗铣床(加工中心)、数控磨床、数控冲床；
按控制坐标数: 两坐标联动、三坐标联动、四坐标联动、五坐标联动；
三坐标数控镗铣床(加工中心)的各坐标轴和运动正方向（分卧式和立式分别介绍）。

<2>三坐标数控镗铣床的常用刀具及适用范围
平底刀圆角刀球型刀组合刀钻头
平底刀：铣水平面及垂直侧面、型腔及凸台粗加工；
圆角刀：铣平面、型腔粗加工及半精加工、凸台粗加工、半精加工及精加工。

球型刀：曲面半精加工及精加工。

组合刀：作用与圆角刀相同，但可以更换刀粒。

直径一般较大。

钻头：简单钻、琢钻、断屑钻
<3>工件坯料的装夹与对刀
装夹：对长方形坯料，需用千分表打水平（X轴方向或Y轴方向）的，然后才能完全收紧装夹螺钉。

对圆盘形坯料，一般用三个压铁均匀间隔压紧。

对刀：确定工件加工坐标系(X m=0,Y m=0)与刀具长度补偿(Z m = 0)
(着重介绍长方形坯料以中心点作为加工坐标系的情况)
数控加工程序的指令系统及数控编程
世界著名的数控加工系统：FANUC、SIEMENS、MAHO、CINCINNATI、FADAL等。

<1>常用G代码
G00: 快速定位例：G00 X50.0 Y63.8
G01: 直线插补例：G01 X42.0 Y25.0 Z16.5 F600.0
G02: 顺时钟方向圆弧插补例：G02 X20.0 Y40.0 I10.0 J2.0 F600.0 (I,J,K为圆弧起始点到圆心的矢量的三个分量)
G03: 逆时钟方向圆弧插补
G17: XY平面选择（在XY平面上作圆弧插补）
G40: 取消刀补
G41: 左刀补
G42: 右刀补
G43: 刀具长度补偿例：G43 H18
G54~G59 加工坐标系原点
G90: 绝对坐标编程
G91: 相对坐标编程
<2>常用M代码
M00: 程序停止，主轴停转，冷却液关闭M02: 程序结束
M03: 主轴顺时钟方向旋转
M04: 主轴逆时钟方向旋转
M05: 主轴停转
M06: 换刀例：T5 M06
M08: 冷却液打开
M09: 冷却液关闭
M30: 程序结束
<3>数控加工程序的应用示例
%
T05 M06
G54 G00 G90 X10. Y20. S1200 M03
G43 H05 Z5.5 M08
G01 X18.2 Y20.3 F500.
X23.7 Y40.
X-60. Y-20.
……
M05
M09
G28 G90 Z0.
M30
%
<4>APT语言（p116~118）
初始与终止语句(CUTTER、END)、几何定义语句(LINE/20,20, 20,70)、刀具运动语句(GOFWD/L3,PAST,L4)、工艺参数语句(COOLANT / ON)。

<5>手工编程步骤
1）根据零件图纸对零件进行工艺分析，在分析的基础上确定加工路线和工艺参数；
2）根据零件的几何形状和尺寸，计算数控机床运动所需数据；
3）根据计算结果及确定的加工路线，按规定的格式和代码编写零件加工程序单；
4）将程序单在穿孔机上穿孔，制作穿孔纸带（现在可在计算机上用文字编辑软件产生NC文件，然后通过RS232接口传入数控机床控制系统）
举例：（假定零件的材料为铝，形状尺寸如下，厚度为5mm）
零件轮廓精加工。

加工坐标系原点位于左下角顶面。

刀具采用ø10平底刀，刀具运动路径如上箭头线所示。

%。