第二章--稳态导热-肋片-1
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对于变截面肋片来讲，由于从导热微分方程求 得的肋片散热量计算公式相当复杂。其计算式可参 见相关文献。教材表2-1给出四种计算式。
仿照等截面直肋。利用肋片效率曲线来计算。 教材中图2-19和2-20分别给出了等截面直肋、三 角形直肋和环肋片的效率曲线。
工程上，往往采用肋效率ηf和
h
3
H 2
为坐标的曲线，表示理论解的结果。 Am
（2）当温差不变时，热流量必然随着接触热阻 rc 的增大而下降
（3）即使接触热阻 rc 不是很大，若热流量很大， 界面上的温差是不容忽视的
例：
q 6 105 W m2
rc 2.64 104 m2K W tc q rc 158.4 oC
接触热阻的影响因素：
（1）固体表面的粗糙度 （2）接触表面的硬度匹配 （3）接触面上的挤压压力（4）空隙中的介质的性质
矩形和三角形肋片的效率
矩形截面环肋的效率
2.4.3 肋面总效率
实际上肋片总是被成组 使用
在表面传热系数较小 的一侧采用肋壁是强 化传热的一种行之有 效的方法。
Arh to t f Af f h to t f
h to t f (Ar f Af ) Aoh to t f
l Φc
δ0
Φx
Φx+dx
dx H
已知：
(1) 矩形直肋，Ac均保持不变
(2) 肋基温度为t0，且t0 > t
x (t3 ) 肋片与环境的表面传热系
数为常量h.
(4) 导热系数，保持不变
求：
温度场 t 和散热量
分析：
肋宽方向：肋片宽度远大
l Φc
于肋片的厚度，不考虑温
度沿该方向的变化；
δ0
x
Φx
Φx+dx
在实验研究与工程应用中，消除接触热阻很重要
导热姆（导热油、硅油）、银
先进的电子封装材料 （AIN），导热系数达400以上
接触热阻是普遍存在 的，而目前对其研究又 不充分，往往采用一些 实际测定的经验数据。
通常，对于导热系数较 小的多层壁导热问题接 触热阻多不予考虑；但 是对于金属材料之间的 接触热阻就是不容忽视 的问题。
肋片内的温度分布
θ θ0
0
ch[m(x H )] ch(mH )
0
x
H
双曲余弦函数(hyperbolic cosine)
sh(x)
ex
ex ; 2
ch(x) ex
ex ; 2
th(x) ex ex
ex ex
sh(x) ex ex ; 2
th( x)
ex ex
ex ex
双曲正弦函数
hPH0
mH
hPH0表示整个肋片均处于肋基温度时传递的热
流量，也就是肋片传导热阻为零时向环境散失的
热流量。
f
th(mH ) mH
肋片的散热量 : hPH0 f 0 f
如果肋片的效率能够顺利计算出来的话，肋片 的实际散热量也就可以求得。
mH这个无因次数在肋片效率计算中有重要作用。 mH hP H Ac
在这种情况下，两壁面 之间只有接触的地方才直
x
t2
Δt
接导热，在不接触处存在
空隙。
t1
t
热量是通过充满空隙的流体的导热、对流和辐
射的方式传递的，因而存在传热阻力，称为接触热
阻。
q
A A
t1 t3
rc
B AB
t1
t3
q( A A
rc
B ) AB
（1）当热流量不变时，接触热阻 rc 较大时，必然 在界面上产生较大温差
所示。这样，矩形直肋的散热量可以不用公式计算
，而直接用图查出 ，散热f量
Φ f h (PH ) (t0 t )
f
th(mH ) mH
影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率 、
肋片表面与周围介质之间的表面传热系数 h、肋片
的几何形状和尺寸（P、A、H）
几点讨论
1) 肋端散热的考虑 推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。 对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够 精确。若必须考虑肋端散热，取：H H 2
m hP
Ac
mH hP H h2(l ) H 2hl H 2h H 3 2
Ac
l
l
H
l P 2l
H AL 肋片的纵剖面积
Φc
1
δ0
Φx
Φx+dx
x
mH
2h H 3 2
2
h
2
H
3 2
dx H
H
AL
可见， f与参量
1
h
AL
有2 H关32，其关系曲线如图
§2-4 通过肋片的导热
由前可知： • 导热分析的首要任务就是确定物体内部的温度
场。 • 根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立了导热
物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导 热微分ห้องสมุดไป่ตู้程。
c t ( t ) ( t ) ( t ) & x x y y z z
非稳态项
扩散项
源项
❖ 基本概念
得： c1
0
emH emH emH
c2
0
emH emH emH
带入：
0
emH emx emH emH
0
emH emx emH emH
0
emH emx emH emH
0
emH emx emH emH
0
emx e2mH
1
0
e2mH emx e2mH 1
0
emx e2mH emx 1 e2mH
沿该方向的变化； 3 ）表面上的换热热阻 1/h ，远大于肋片的
导热热阻 δ/λ ，即肋片上沿肋厚方向上的温度均 匀不变；
4 ）肋端视为绝热，即 dt/dx=0 ；
在上述假设条件下，把
复杂的肋片导热问题转化为 一维稳态导热,并将沿程散热
l Φc
量q视为负的内热源，则导
热微分方程式简化为
δ0
x
Φx
Φx+dx
Ac0m
th(mH
)
hP m
0th(mH )
Φc
分子分母乘以ｍ
m2 hP
Ac
δ0
x
Φx
Φx+dx
dx H
2.4.2 肋片效率
1、等截面直肋的效率
为了从散热的角度评价加装肋片后换热效果， 引进肋片效率 f
肋片效率＝
实际散热量
假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量
f
hP m
0
th
(mH
)
th(mH
)
dx H
d 2t dx2
qv
0
• 内热源强度 qv
单位时间肋片单位体 积的对流散热量
如图，在距肋基ｘ处 取一长度为dx的微 元段，该段的对流换 热量为：
ht t Pdx
l Φc
qv
δ0
x
Φx
Φx+dx
dx H
因此该微元段的内热源强度为：
qv
导热微分方程：
d2t dx2
hP
Ac
(t t ) 0
肋厚（ｙ）方向：沿肋厚
dx H
方向的导热热阻一般远小
于它与环境的换热热阻。
t
1/h
把沿ｙ方向的散热视为负的内热源。 t2 δ/λ
于是我们可以把通过肋片的导热问题 t1 1/h
视为沿肋片方向上的一维导热问题。 t
假设 1 ）导热系数 λ 及表面传热系数 h 均为常
数； 2 ）肋片宽度远大于肋片的厚度，不考虑温度
引入过余温度 t 。 t并令
m hP const
Ac
导热微分方程：
二阶齐次线性常微分方程
d 2
dx2
m2
l Φc
边界条件：
δ0
x
Φx
Φx+dx
x
0
时，
＝0＝t0
t
dx H
x
H
时，
d
dx
0
方程的通解为： c1emx c2emx
应用边界条件可得：
c1 c2 0; c1memH c2memH 0
l
2) 换热系数为常数的假定
为了推导和求解的方便，我们将h、均假定为常数。 但实际上换热系数h并不是常数，而是随肋高而变
化的。而在自然对流环境下换热系数还是温度的函 数。因此，我们在肋片散热计算中也应注意由此引 起的误差。
3) 关于肋片效率
严格地讲，肋片效率并不反映肋片散热性能的
好坏，并不是说f大肋片散热量就大。实质上，
H
0
chm(H H )
ch(mH )
0
ch(mH )
m hP const
Ac
一般工程上应用的肋片效率不低于0.8。
工程上采用的肋片几何形状是十分复杂的。
y
r 0
0 x
矩形环肋片
三角形肋片
2.其他形状 肋片的效率
为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量 基本不变，需要采用变截面肋片，其中包括环肋及 三角形直肋、针肋等。
说明
①需要强化换热的情形，如肋片表面等，接触热 阻是有害的。
②减少接触热阻的措施 ➢降低接触面的粗糙程度； ➢增加其间的平行度和压力； ➢在接触处加热导率大的导热脂或硬度小，延展性 好的金属箔（紫铜箔或银箔）。
③减少接触热阻的实例 当采用在圆管上缠绕金属带以生成环肋或在管束间 套以金属薄片形成管片式换热器时，采用胀管或浸 镀锡液的操作都是为了有效地减少接触热阻。
Bi
1h
对等截面直肋，Bi 0加.25肋有利。
短 长而 而粗 细： ：效f 率 高，，但但面面积积大少，散热量大 有最佳值
2.4.4 接触热阻
在推导多层壁导热的公式时，假定了两层壁面之间
是保持了良好的接触，要求层间保持同一温度。而在
工程实际中这个假定并不存在。因为任何固体表面之
间的接触都不可能是紧密的。
它反映了肋片的几何结构、材料性质和环境条 件与散热量之间的关系。
th(mH)的数值随mH
的增加而趋于一定
值（mH 3）
f
th mH
mH
随着mH增加， f先迅
速增大，但逐渐增量越
来越小，最后趋于一定
值 。 说 明 ： 当 mH 增 加
到一定程度，再继续增
加 f
th mH
f mH
mH 的数值较小时， f 较高。在高度H一定时， 较小的 m 有利于提高 f。
Ar f Af
Ar Af
hoo Ao to t f
式中， o为肋面总效率。
o
Ar f Af
Ar Af
2.4.3 肋片的选用与最小重量
kAt
增加肋片加大了对流传热面积，有利于减少总面 积热阻，但肋片增加了固体导热热阻。因此增加肋 片是否有利取决于肋片的导热热阻与表面对流传热 热阻之比，即毕渥数Bi。
双曲正切函数
肋端温度
令x=H，可得到肋端的温度：
H
0
chm(H H )
ch(mH )
0
ch(mH )
Φc
δ0
x
Φx
Φx+dx
dx H
肋片表面的散热量
0
emx e2mH emx 1 e2mH
稳态时肋片表面的散热量 = 通过肋基导入肋片的热量
Φx0
Ac
d
dx
x0
Ac0 (m)
sh(mH ) ch(mH )
1 、肋片：指依附于基础表面上的扩展表 面。 工程上和自然界常见到一些带有突出表 面的物体。
２、肋片的作用 其作用是增大对流换热面积，以强化换热。
•肋片的基本尺寸和术语
• 肋高H
• 肋宽l
• 肋厚δ
• 截面积Ac
l
• 肋基
• 肋端
3 、常见肋片的结构：直肋 环肋 针肋
直肋
针肋
环肋
2.4.1 通过等截面直肋的导热
仿照等截面直肋。利用肋片效率曲线来计算。 教材中图2-19和2-20分别给出了等截面直肋、三 角形直肋和环肋片的效率曲线。
工程上，往往采用肋效率ηf和
h
3
H 2
为坐标的曲线，表示理论解的结果。 Am
（2）当温差不变时，热流量必然随着接触热阻 rc 的增大而下降
（3）即使接触热阻 rc 不是很大，若热流量很大， 界面上的温差是不容忽视的
例：
q 6 105 W m2
rc 2.64 104 m2K W tc q rc 158.4 oC
接触热阻的影响因素：
（1）固体表面的粗糙度 （2）接触表面的硬度匹配 （3）接触面上的挤压压力（4）空隙中的介质的性质
矩形和三角形肋片的效率
矩形截面环肋的效率
2.4.3 肋面总效率
实际上肋片总是被成组 使用
在表面传热系数较小 的一侧采用肋壁是强 化传热的一种行之有 效的方法。
Arh to t f Af f h to t f
h to t f (Ar f Af ) Aoh to t f
l Φc
δ0
Φx
Φx+dx
dx H
已知：
(1) 矩形直肋，Ac均保持不变
(2) 肋基温度为t0，且t0 > t
x (t3 ) 肋片与环境的表面传热系
数为常量h.
(4) 导热系数，保持不变
求：
温度场 t 和散热量
分析：
肋宽方向：肋片宽度远大
l Φc
于肋片的厚度，不考虑温
度沿该方向的变化；
δ0
x
Φx
Φx+dx
在实验研究与工程应用中，消除接触热阻很重要
导热姆（导热油、硅油）、银
先进的电子封装材料 （AIN），导热系数达400以上
接触热阻是普遍存在 的，而目前对其研究又 不充分，往往采用一些 实际测定的经验数据。
通常，对于导热系数较 小的多层壁导热问题接 触热阻多不予考虑；但 是对于金属材料之间的 接触热阻就是不容忽视 的问题。
肋片内的温度分布
θ θ0
0
ch[m(x H )] ch(mH )
0
x
H
双曲余弦函数(hyperbolic cosine)
sh(x)
ex
ex ; 2
ch(x) ex
ex ; 2
th(x) ex ex
ex ex
sh(x) ex ex ; 2
th( x)
ex ex
ex ex
双曲正弦函数
hPH0
mH
hPH0表示整个肋片均处于肋基温度时传递的热
流量，也就是肋片传导热阻为零时向环境散失的
热流量。
f
th(mH ) mH
肋片的散热量 : hPH0 f 0 f
如果肋片的效率能够顺利计算出来的话，肋片 的实际散热量也就可以求得。
mH这个无因次数在肋片效率计算中有重要作用。 mH hP H Ac
在这种情况下，两壁面 之间只有接触的地方才直
x
t2
Δt
接导热，在不接触处存在
空隙。
t1
t
热量是通过充满空隙的流体的导热、对流和辐
射的方式传递的，因而存在传热阻力，称为接触热
阻。
q
A A
t1 t3
rc
B AB
t1
t3
q( A A
rc
B ) AB
（1）当热流量不变时，接触热阻 rc 较大时，必然 在界面上产生较大温差
所示。这样，矩形直肋的散热量可以不用公式计算
，而直接用图查出 ，散热f量
Φ f h (PH ) (t0 t )
f
th(mH ) mH
影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率 、
肋片表面与周围介质之间的表面传热系数 h、肋片
的几何形状和尺寸（P、A、H）
几点讨论
1) 肋端散热的考虑 推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。 对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够 精确。若必须考虑肋端散热，取：H H 2
m hP
Ac
mH hP H h2(l ) H 2hl H 2h H 3 2
Ac
l
l
H
l P 2l
H AL 肋片的纵剖面积
Φc
1
δ0
Φx
Φx+dx
x
mH
2h H 3 2
2
h
2
H
3 2
dx H
H
AL
可见， f与参量
1
h
AL
有2 H关32，其关系曲线如图
§2-4 通过肋片的导热
由前可知： • 导热分析的首要任务就是确定物体内部的温度
场。 • 根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立了导热
物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导 热微分ห้องสมุดไป่ตู้程。
c t ( t ) ( t ) ( t ) & x x y y z z
非稳态项
扩散项
源项
❖ 基本概念
得： c1
0
emH emH emH
c2
0
emH emH emH
带入：
0
emH emx emH emH
0
emH emx emH emH
0
emH emx emH emH
0
emH emx emH emH
0
emx e2mH
1
0
e2mH emx e2mH 1
0
emx e2mH emx 1 e2mH
沿该方向的变化； 3 ）表面上的换热热阻 1/h ，远大于肋片的
导热热阻 δ/λ ，即肋片上沿肋厚方向上的温度均 匀不变；
4 ）肋端视为绝热，即 dt/dx=0 ；
在上述假设条件下，把
复杂的肋片导热问题转化为 一维稳态导热,并将沿程散热
l Φc
量q视为负的内热源，则导
热微分方程式简化为
δ0
x
Φx
Φx+dx
Ac0m
th(mH
)
hP m
0th(mH )
Φc
分子分母乘以ｍ
m2 hP
Ac
δ0
x
Φx
Φx+dx
dx H
2.4.2 肋片效率
1、等截面直肋的效率
为了从散热的角度评价加装肋片后换热效果， 引进肋片效率 f
肋片效率＝
实际散热量
假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量
f
hP m
0
th
(mH
)
th(mH
)
dx H
d 2t dx2
qv
0
• 内热源强度 qv
单位时间肋片单位体 积的对流散热量
如图，在距肋基ｘ处 取一长度为dx的微 元段，该段的对流换 热量为：
ht t Pdx
l Φc
qv
δ0
x
Φx
Φx+dx
dx H
因此该微元段的内热源强度为：
qv
导热微分方程：
d2t dx2
hP
Ac
(t t ) 0
肋厚（ｙ）方向：沿肋厚
dx H
方向的导热热阻一般远小
于它与环境的换热热阻。
t
1/h
把沿ｙ方向的散热视为负的内热源。 t2 δ/λ
于是我们可以把通过肋片的导热问题 t1 1/h
视为沿肋片方向上的一维导热问题。 t
假设 1 ）导热系数 λ 及表面传热系数 h 均为常
数； 2 ）肋片宽度远大于肋片的厚度，不考虑温度
引入过余温度 t 。 t并令
m hP const
Ac
导热微分方程：
二阶齐次线性常微分方程
d 2
dx2
m2
l Φc
边界条件：
δ0
x
Φx
Φx+dx
x
0
时，
＝0＝t0
t
dx H
x
H
时，
d
dx
0
方程的通解为： c1emx c2emx
应用边界条件可得：
c1 c2 0; c1memH c2memH 0
l
2) 换热系数为常数的假定
为了推导和求解的方便，我们将h、均假定为常数。 但实际上换热系数h并不是常数，而是随肋高而变
化的。而在自然对流环境下换热系数还是温度的函 数。因此，我们在肋片散热计算中也应注意由此引 起的误差。
3) 关于肋片效率
严格地讲，肋片效率并不反映肋片散热性能的
好坏，并不是说f大肋片散热量就大。实质上，
H
0
chm(H H )
ch(mH )
0
ch(mH )
m hP const
Ac
一般工程上应用的肋片效率不低于0.8。
工程上采用的肋片几何形状是十分复杂的。
y
r 0
0 x
矩形环肋片
三角形肋片
2.其他形状 肋片的效率
为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量 基本不变，需要采用变截面肋片，其中包括环肋及 三角形直肋、针肋等。
说明
①需要强化换热的情形，如肋片表面等，接触热 阻是有害的。
②减少接触热阻的措施 ➢降低接触面的粗糙程度； ➢增加其间的平行度和压力； ➢在接触处加热导率大的导热脂或硬度小，延展性 好的金属箔（紫铜箔或银箔）。
③减少接触热阻的实例 当采用在圆管上缠绕金属带以生成环肋或在管束间 套以金属薄片形成管片式换热器时，采用胀管或浸 镀锡液的操作都是为了有效地减少接触热阻。
Bi
1h
对等截面直肋，Bi 0加.25肋有利。
短 长而 而粗 细： ：效f 率 高，，但但面面积积大少，散热量大 有最佳值
2.4.4 接触热阻
在推导多层壁导热的公式时，假定了两层壁面之间
是保持了良好的接触，要求层间保持同一温度。而在
工程实际中这个假定并不存在。因为任何固体表面之
间的接触都不可能是紧密的。
它反映了肋片的几何结构、材料性质和环境条 件与散热量之间的关系。
th(mH)的数值随mH
的增加而趋于一定
值（mH 3）
f
th mH
mH
随着mH增加， f先迅
速增大，但逐渐增量越
来越小，最后趋于一定
值 。 说 明 ： 当 mH 增 加
到一定程度，再继续增
加 f
th mH
f mH
mH 的数值较小时， f 较高。在高度H一定时， 较小的 m 有利于提高 f。
Ar f Af
Ar Af
hoo Ao to t f
式中， o为肋面总效率。
o
Ar f Af
Ar Af
2.4.3 肋片的选用与最小重量
kAt
增加肋片加大了对流传热面积，有利于减少总面 积热阻，但肋片增加了固体导热热阻。因此增加肋 片是否有利取决于肋片的导热热阻与表面对流传热 热阻之比，即毕渥数Bi。
双曲正切函数
肋端温度
令x=H，可得到肋端的温度：
H
0
chm(H H )
ch(mH )
0
ch(mH )
Φc
δ0
x
Φx
Φx+dx
dx H
肋片表面的散热量
0
emx e2mH emx 1 e2mH
稳态时肋片表面的散热量 = 通过肋基导入肋片的热量
Φx0
Ac
d
dx
x0
Ac0 (m)
sh(mH ) ch(mH )
1 、肋片：指依附于基础表面上的扩展表 面。 工程上和自然界常见到一些带有突出表 面的物体。
２、肋片的作用 其作用是增大对流换热面积，以强化换热。
•肋片的基本尺寸和术语
• 肋高H
• 肋宽l
• 肋厚δ
• 截面积Ac
l
• 肋基
• 肋端
3 、常见肋片的结构：直肋 环肋 针肋
直肋
针肋
环肋
2.4.1 通过等截面直肋的导热