河南洛阳市第一高级中学2021年高考数学导数及其应用多选题之知识梳理与训练及答案

一、导数及其应用多选题
1．已知函数1
(),()122
x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（ ）
A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2
B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线
C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点
D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线 【答案】BCD 【分析】
利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12
()(2)m f lnm g e
-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单
调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项
的正误．进而得出结论． 【详解】
在函数1(),()122x
x f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q
，则||PQ =
2ln 22
<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1
()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x
'=，
曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=， 曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1
2
12
1(2)2m m g e
e
--'=
，
令12
()(2)
m f lnm g e
-
''=，即12
12m m e
-=
，即1
221m me -=，则1
2
m =满足方程1
221m me -=，
m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；
构造函数1()()()22x
x F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x
'=-，
函数1()x
F x e x
'
=-
在(0,)+∞
上为增函数，由于1
()20F e '<，F '（1）10e =->，
则存在1(,1)2t ∈，使得1()0t
F t e t
'=-=，可得t lnt =-，
当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．
∴11
()()2222
t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-
1113
2220222
t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>， ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；
设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，
则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-， 同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11
22
n y x ln n =
+-， ∴11
(1)22
m n n m lnm ln ⎧
=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，
令1()(1)22G x x x lnx ln =--++
，则11
()1x G x lnx lnx x x
-'=-
-=-， 函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1
(2)202
G ln '=
-<， 则存在(1,2)s ∈，使得1
()0G s lns s
'=-=，且1s s e =．
当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．
∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，
5(2)02G =
>，17
(8)20202
G ln =-<， 由零点存 定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点， 即方程1
(1)202
m m lnm ln --++
=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．
故选：BCD ． 【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．
2．对于函数2ln ()x
f x x
=，下列说法正确的有（ ） A ．()
f x 在x =12e
B ．()f x
有两个不同的零点 C
．(2)f f f <<
D ．若21
()f x k x
>-
在(0,)+∞上有解，则2
e k <
【答案】ACD 【分析】
利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ． 【详解】
函数2ln ()x f x x =，所以2
431ln 212ln ()(0)x x x
x x f x x x x
⨯-⨯-'==>， 令()0f x '=，即2ln 1x =
，解得x =
当0x <<()0f x '>，故()f x
在上为单调递增函数．
当x >
()0f x '<，故()f x
在)+∞上为单调递减函数．
所以()f x
在x =
1
2f e
=
，故A 正确；
当0x <<
()0f x '>，()f x
在上为单调递增函数，
因为()10f =，所以函数()f x
在上有唯一零点，
当x ≥
2
ln ()0x
f x x =
>恒成立，即函数()f x
在)
+∞上没有零点， 综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．
由于当x >
()0f x '<，()f x
在)+∞上为单调递减函数，
因为2>>>
(2)f f f <<，故C 正确；
由于2
1()f x k x
>-
在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解， 所以2ln 1()max x k x +<，设2
ln 1()x g x x
+=，则32ln 1
()x g x x --'=， 令()0g x '=
，解得x =
当x >
()0f x '<，故()f x
在
)+∞上为单调递减函数．
当0x <<
时，()0f x '>，故()f x
在
上为单调递增函数．
所以()22
max e e
g x g e ==-
=． 故2
e
k <
，故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因
此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
3．已知函数()1
ln f x x x x
=-+
，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点
C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点
D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】
根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()12
1
()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】
由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()211
0g x x x
''=--<，
所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()1
10,12ln 202
g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x
=-+
， 当0x >时，()1ln f x x x x
=-+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=， 因为2
2131()024
x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；
又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=，
因为2
2
13
1()02
4
x x x -+-=---
<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1
ln f x x x x
=-+
在定义域内只有2个零点，所以B 不正确；
令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+
-
，则 ()211
0x x x
ϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，
结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；
由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，
可得()()1222222221111
1ln ln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即
()121
(
)f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 12
1x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
4．下列说法正确的是（ ）
A ．函数(
)2
3sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-
∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值域为(
C ．函数()1
sin 2cos 2
f x x a x =
+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数(
)222sin 42cos tx x x
f x x x
π⎛
⎫+++ ⎪⎝⎭=
+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】
化简函数解析式为(
)2
cos 1f x x ⎛=--+ ⎝
⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3
231
t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正
误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误. 【详解】 A 选项，
(
)2
22311cos cos cos 1442f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝
⎭， 又
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦可得：[
]cos 0,1x ∈，则当cos x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x x
f x x x x x
+∴=+=
⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x
++-⋅=
⋅
()(
)2
sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x
⎡⎤
++-
⋅⎣⎦=
⋅，
设sin cos 4t x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则
21
sin cos 2
t x x -⋅=，
0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，3,
444x πππ⎛⎫∴+∈
⎪⎝⎭，sin 4x π⎤⎛
⎫∴+∈⎥
⎪⎝
⎭⎝⎦，(t ∴∈， 令()223
2
2132311
2
t t t t t g t t t ⎛⎫
--⨯ ⎪-
⎝⎭==--，(
t ∈，()()422301t g t t --'=<-
， ()g t ∴在区间(
上单调递减，(
)
()3
2
min 1
g t g
==
=-
所以，函数()f x 的值域为)
+∞，B 错； C 选项，
()1
sin 2cos 2
f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，
()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，
令sin t x =，(]
0,1t ∈，即2210t at --+≥，
1
2a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t
'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，
()11a g ∴≤=-
，C 对；
D
选项，(
)2
22cos 222cos tx x x x
f x x x
⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=
+ ()()
2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x x
x x
++⋅+⋅+=
=+
++， 所以，()()()()
2
2sin sin 2cos 2cos t x x t x x
f x t t x x
x x --+-=+
=-
+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，
所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
5．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2y
x 上两个不同点,A B 横坐标分
别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）
A ．若A
B 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上 B ．若阿基米德三角形PAB
C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值
14
D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积2
12||4
x x S -=
【答案】ABC 【分析】
设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方
程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.
A ：把抛物线焦点的坐标代入直线A
B 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；
B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；
C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；
D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】
由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，
由题意可知：点22
1122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，
由2'2y
x y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：
22
1112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，
两方程联立得：21112
2222()2()
y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12
122x x x y x x +⎧
=⎪⎨⎪=⎩
，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，
直线AB 的方程与抛物线方程联立得：
2
12122
0,y kx m x kx m x x k x x m y x
=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩.
A ：抛物线C ：2y
x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 1
4
y =-，
因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =
，而1214
x x m =-=-， 显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；
B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，
= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，
此时2
2
1111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：2
1(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，
1122
x x =-⇒=-， 因此正三角形PAB
， 所以正三角形PAB
的面积为11sin 6022︒==
， 故本选项说法正确；
C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以121212
1222
121122122114
PA
PB
x x x x
x x k
k x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：1
4
y kx =+
所以P 点坐标为：1(,)24
k -，点 P 到直线AB 的距离为：
=
||AB ==
=，
因为12121
,4
x x k x x +==-
，所以
21AB k =+， 因此直角PAB
的面积为：
2111(1)224
k ⨯+=≥， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值
1
4
，故本说法正确；
D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以
1||AB x x ===-，
点P 到直线AB 的距离为：
212=
= 所以阿基米德三角形PAB
的面积3
2121211224x x S x x -=⋅-=
， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】
关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.
6．设函数()()1x a
f x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列
结论正确的有（ ） A ．a e =
B ．()f x 在区间()1,e 单调递增
C ．1x =是()f x 的极大值点
D ．()f e 是()f x 的最小值
【答案】ACD 【分析】
()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()x
h x x
=
的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'
f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'
f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．
【详解】
()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即
ln ln x a
x a
=只有一个正根． 设ln ()x
h x x =
，则21ln ()x h x x
-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，
max 1()()h x h e e
==
． ∴要使方程
ln ln x a
x a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a
<，解得a e =或0a <，又
∵1a >，∴a e =．A 正确；
()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，
1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．
设()(1)ln 1p x e x x =--+，1
()1e p x x
-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，
又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，
01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，
所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为
(1)f ，
又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'
f x 的零点时，利用零点定义解方程，1
()0x
e f x e ex
-'=-=，11x e e x --=，取对数得
1(1)ln x e x -=-，
易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．
7．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1
f x x
'<，且()11f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2f e > B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭
C ．()1,x e ∀∈，()2f x <
D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
- 【答案】BCD 【分析】
令()()ln F x f x x =-，求导得：'1
()()0F x f x x
'
=-
<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；
【详解】
令()()ln F x f x x =-，∴'1
()()0F x f x x
'
=-
<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，
对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误； 以B ，111(1)()110e
F F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，故B 正确； 对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，
(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；
对D ，111,1,
,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()1ln ln f x x f x x ⎛⎫
⇒->+ ⎪⎝⎭
1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫
∈∴∈- ⎪⎝⎭，
1()2f x f x ⎛⎫
∴->- ⎪⎝⎭
1()20f x f x ⎛⎫
⇒-
+> ⎪⎝⎭
，故D 正确； 故选：BCD. 【点睛】
根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.
8．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔
离直线”，已知函数()()2
f x x R x =∈，()()1
0g x x x
=
<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在
x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-
D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =- 【答案】AD 【分析】
求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在
x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成
立，即有10∆≤，又
1
kx b x
≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线的方程为
(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.
【详解】
对于选项A ：()()()2
1m x f x g x x x =-=-
，()212m x x x
'=+，
当x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-
在x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又
1
kx b x
≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，
可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；
对于选项D ：函数()f x 和()h x
的图象在x =
()f x 和()h x 的
隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线的方程为
(y e k x -=
，即y kx e =-，由(
)f x kx e ≥-，可得
20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤
，只有k =
y e =-
，下面证明()h x e ≤-
，令
()2n ()l G x e h x e x e =--=--，
()x G x x
'=
，当x =
()0'=G x
，当0x <<时，()0'
<G x
，当
x >()0G x '
>
，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所
以
()()0G x e h x =--≥
，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()
g x 之间存在唯一的“隔离直线
”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】
本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.
9．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（ ）. A ．2- B ．1-
C ．0
D ．1
【答案】ABC 【分析】
将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭
，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x
F x x x x x
=++>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】
因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫
<
++ ⎪⎝⎭
，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1x
F x x x x x
=++>， 则()222
131ln 2ln x x x F x x x x x ---'=
-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--， 因为()1
0x x x
ϕ-'=
>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()0
00min 00
ln 3ln x F x F x x x x ==++.（*） 因为()1ln 3309F -'=
<，()()21ln 22ln 4401616
F --'==>，
所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=， 将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 000
231
21x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈. 因为00
1
1t x x =+-在()3,4上为增函数， 所以713,34t ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
因为k 为整数，所以0k ≤. 故选：ABC
【点睛】
本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.
10．（多选题）已知函数31()1x x xe x f x e x x
⎧<⎪
=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是
（ ）
A ．点(0,0)是函数()f x 的零点
B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >
C ．函数()f x 的值域为)
1e ,-⎡-+∞⎣
D ．若关于x 的方程[]
2
()
2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是
222e e
,(,)e 82
⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】
根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】
对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)x
f x x e '
=+，可得， 当1x <-时，()f x 单调递减； 当11x -<<时，()f x 单调递增； 所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，
当1x >时，4
(3)
()x e x f x x
-'=， 当13x <<时，()f x 单调递减； 当3x >时，()f x 单调递增；
()y f x =图像
所以，当13x <<时， 3
()27
e f x e << ，综上可得，选项B 正确；
对于选项C ，min 1
()(1)f x f e
=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]
2
()
2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根
⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根
⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x x
x e x g x e x x
⎧<⎪=⎨≥⎪⎩
当1x <时，/
2
()(2)=+x
g x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：
x
2x <-
2-
20x -<<
0 01x << /()g x +
-
+
()g x
极大值 极小值
极大值24(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3
(2)
'()e x g x x -=
当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下： x 1
12x <<
2 2x >
/()g x
-
+
()g x
e
极小值
极小值
2 (2)
4
e
g=，
()
y g x
=图像
综上可得，
2
2
4
2
4
<<
e
a
e
或2a e
>，
a的取值范围是
2
2
2e e
,(,)
e82
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
，D不正确.
故选：BC
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.。