圆和半平面上的迪利希莱Dirichlet问题-泊松积分公式

圆和半平面上的迪利希莱（Dirichlet）问题—泊
松积分公式
在第一章的§2.5中，我们曾讨论过调和函数与解析函数之间的密切联系。

在这一节中，我们将继续阐述这种联系。

具有物理应用的一类重要的数学问题是迪利希莱（Dirichlet）问题，即要找一个未知函数，它在某个区域内是调和的，而且在这个区域的边界上取得预先指定的值。

例如图2.8所示，一半径为1的圆柱体充满导热的物质。

我们知道，圆柱体内的温度是由调和函数T(r,θ)来描述的。

若圆柱体表面的温度是已知的，是由sinθcos2θ所给定的，由于T(r,θ)在0≤r≥1,0≤θ≥2π上是连续的，因此，我们的问题是要求一个单位圆上的调和函数T(r,θ)，使得T(1,θ)= sinθcos2θ。

这就是我们所要解的迪利希莱问题。

图2.8
我们刚才所讨论的迪利希莱问题，其边界是简单的几何形状，如在大多数关于偏微分方程的教科书中所述的，通常用变量分离法来解，对更复杂的形状，有时要用共形映照的方法。

这种方法将在以后讨论。

在这节里，我们只讨论区域的边界是圆周或无限直线的情况。

一．圆的迪利希莱问题
对解边界为圆周的迪利希莱问题，柯西积分公式是有帮助的。

考虑z-复平面上半径为R，中心为原点的圆（见图2.9）设f(z)是在圆周z=R 上及其内解析的函数。

图2.9
对这函数f(z)和这圆周应用柯西积分公式，对圆内的任何一点z ，我们有 f(z)=i
π21⎰=-R w z w w f )(dw. (2-25)
令z=z R 2，它位于过圆点和点z 的射线上，且1z =z R 2>R ，因此，1z 位于圆z ≤R 的外部。

于是，由柯西定理，我们有
0=i π21
⎰=-R w z w z f 1)(dw =dw z R w w f i R w ⎰=-2
)(21π.
(2-26)
将式(2-25)与式(2-26)的两边分别相减，我们获得 f(z)=
.))(()(21
22dw z R w z w z R z w f i R w ⎰=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---π (2-27) 令w=Re θi ，z=re θi ,于是θi re z -=。

将它们代入(2-27)式，我们有 f(z)=ϕππθϕθϕϕθθϕd e r R re e r R re f i i i i i i i i ⎰⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---2022))(Re (Re Re )()(Re 21 . 将分子和分母同时乘以)()(θϕ+--i e R r ，则分子=R 22r -，分母=(Re )cos(2Re ))(Re 222)()()(θϕθϕθϕθϕ--+==-------Rr r R r r r i i i ，于是，最后我们有 f(z)=.)(Re ))
cos(2(21202222ϕθϕπϕπ
d f Rr r R r R i ⎰--+-。

现将解析函数f(z)表示成其实部U 和V ，于是，
f(re ),(),()θθθr iV r U i +=, f(Re ),(),()ϕϕϕR IV R U i +=,上述方程成为
U(r,[]ϕϕϕθϕπθθπd R iV R U Rr r R r R i r iV ),(),()
cos(221),()202222+--+-=+⎰ 由于这个方程两边的实部必相等，于是我们得到下列泊松（Poisson ）公式
U(r,⎰--+-=π
θθϕϕπθ202222)
cos(2))(,(21)d Rr r R r R R U (2-28) 对V(r,)θ与V(R,)ϕ，我们也有类似的公式。

泊松积分公式（2-28）是重要的。

这个公式告诉我们：当U 在圆周R w =上的取值U(R,)ϕ已知时，则调和函数U(r,)θ在这圆内任意一点的值由公式(2-28)所给出。

由于我们要求f(z)在这半径为R 的圆周上及其内部是解析的，因此读者必须假定方程(2-28)中的函数U(R,)ϕ是连续的。

事实上，这条件可放宽成允许U(R,)ϕ有有限个“跳跃的”不连续点，泊松公式仍成立。

例2-6 如图2.10所示，设一根半径为1的导电的管子被无限裂缝分成两半。

上半管（R=1，0<ϕ<π）保持1伏特的电位，下半管（R=1，πϕπ2<<）保持-1伏特的电位。

求在管内任何一点（r ，θ）的势。

图 210
解由于电位势是个调和函数，因此泊松公式是可用的。

由公式
（2-28），R=1，我们有U(πθ21),=r ⎰⎰--+----+-πππ
θϕϕπθϕϕ2222022)
cos(21)1(21)cos(21)1(r r d r r r d r . （2-29）
在每个积分中，我们作变数变换x=θϕ-,并利用下述积分公式
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=+-⎰b a x tg b a tg b a x b a dx )2(2
cos 22122 . (2-30) 取 a=1+r 2，b==-2r ，我们得到U(r,
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+---+---+=---))2(11())2(11())22(11(21)111θθπθππθtg r r tg tg r r tg tg r r tg .
由于反正切函数是多值函数，在应用这个公式时，必须取适当的单值支，使得U(r,)θ对一切r<1是连续的和U （1,)θ仅在裂缝θ=0和πθ=时是不连续的。

二．对于半平面的迪利希莱问题
我们的问题是要在上半-+=iv u w 平面上求一个函数),(v u ϕ,使得它在上半平面(v >0的区域)上是调和的,而在实数轴v =0上),(v u ϕ必须满足欲先给定的边界条件)0,(u ϕ.
设),(),()(v u i v u w f ψϕ+=在0≥v 上是解析的.考虑闭围道R C ,它由半径为R 的上半圆周R γ和实数轴上的线段[]R R l R ,-所组成。

图2.11
令z 是C R 內任何一点，由柯西积分公式，我们有
dw z
w w f i z f R C ⎰-=)(21)(π . (2-32) 由于z 位于上半平面，则z 必位于下半平面，因此，它必在C R 的外部。

于是，据柯西定理，有
dw z
w w f i R C ⎰-=)(210π . (2-33)
将（2-32）式和（2-33）式的两边分别相减，我们获得 =
⎰⎰⎰---+---=---R R R l C dw z w z w w f z z i dw z w z w w f z z i dw z w z w z z w f i )
)(()()(21))(()()(21))(())((21πππγ， 令z=x+iy ，则iy x z -=。

上式右端的第二个积分I 2等于
⎰-+-R R y x u du u f y
22)()(π . （2-35） 记（2-34）右端的第一个积分为I 1，在R γ上it w Re =，我们有
⎰⎰-≤--≤πγππ021.)()(Re Re )
)(()(Re dt z R R f y d z w z w f y
I it it it R 。

若在上半平面v ≥上∞<≤M w f )(，则得21)
(z R R M
y I -≤。

于是，对任意给定的点z ，我们有 01lim =∞→I
R . (2-36)
由于（2-34）式对任何C )(z R R >都是成立的，因此,我们有 ⎰+∞∞-∞→+-=
+=2221)()()()(lim y x u du u f y
I I z f R π . 将f(z)和f(w)用它们的实部和虚部来表示，f(z)=),(),(y x i y x ψϕ+，f(w)=)
,(),(v u i v u ψϕ+，由（2-37）式，我们有
),(),(y x i y x ψϕ+=du y x u u i u y ⎰+∞∞-+-+22)()
0,()0,(ψϕπ
于是，取实部，我们既得对上半平面的泊松积分公式:
=),(y x ϕdu y x u u y ⎰+∞∞-+-22)()
0,(ϕπ （2-38）
关于),(y x ψ与)0,(u ψ也有相似的公式。

当ϕ在整个实数轴上的值完全已知时，泊松积分公式（2-38）给出了
调和函数),(y x ϕ在上半平面内每一点的值。

我们能证明，在上半平面上有界的迪利希莱问题的解是唯一的。

若没有这个限制，还能找到其他的解。

在我们的推导过程中，我们假定，),(v u ϕ是在闭上半平面0≥=w I v m 上解析的函数f(u,v)的实部，这要求方程（2-38）中的函数)0,(u ϕ对∞-<u<+∞是连续的。

事实上，这个要求可以放松，若)0,(u ϕ有有限多个跳跃点（既第一类不连续点），方程（2-38）仍然是成立的。

例 2-7 如图2.12所示,上半空间0>w I m 充满着导热的物质。

在边界v=0,u>0上，温度保持在0C 0，而在边界v=0,u<0，上，温度保持在C T 0
0。

求整个导体的稳定的温度分布),(y x ϕ。

图 2.12
解 我们知道，温度),(y x ϕ是一个调和函数，泊松积分公式（2-38）是直接可用的。

我们有;0,)0,(0<=u T u ϕ，又0,0)0,(>=u u ϕ，于是
第二个积分是零。

在第一个积分中作变量变换p=x-u ，则
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+=-∞-∞
⎰y x tg T y p tg T y p dp y
T y x x x 10102202|),(ππππϕ .
(2-39) 由于θπ==---)()(211x y tg y x tg ，故00),(0T T y x ≤=
≤θπϕ。

.。