解三角形的面积最值问题

解三⾓形的⾯积最值问题
从图中我们能看到，第（1）问已经解决，⽤到了正弦定理和余弦定理.
如何求⾯积的最⼤值呢？
从⾯积公式出发，因为已知⾓C，所以我们选择下⾯这个公式求解.
求⾯积的最⼤值，就是要求ab的最⼤值.
在⾼中阶段，求最值的⽅法主要有两个：⼀是函数法，⼆是基本不等式法.
在平时解题中，我们可以尝试⼀题多解，然后总结哪类解法适合哪类题型.
⽅法1：函数法.
所谓函数法，就是要把⽬标值表⽰为某个变量的函数，然后求这个函数的最值或值域.
选择哪个变量为⾃变量呢？
先分析已知条件：已知⼀个⾓，外接圆半径，则这个⾓的对边也是可求的.
受以上思路的启发，a，b边也能⽤含有⾓A或者⾓B的式⼦来表⽰.A⾓和B⾓是相互制约的（和为定值），且⽆特殊性，我们任意选择其中⼀个作为⾃变量即可.
下⾯要考虑两个问题：
1. 既然选择A为⾃变量，那么定义域是什么？
2. 把ab表⽰为A的函数，这个三⾓函数化简的⽅向是什么？
先看定义域.
注意看清楚题⽬的要求.⽐如有的题⽬要求三⾓形为锐⾓三⾓形，则对⾓的约束条件要加强⼀些.再说化简⽅向.
中学阶段，三⾓函数的化简⽅向主要有两种：
本题根据解析式特点，应该属于第（1）种情况.
然后结合定义域范围，求函数的最⼤值和⾯积的最⼤值.
⽅法2：基本不等式法
如果我们把ab整体考虑的话，可以试试余弦定理.
为求得ab的最值，需要把平⽅项进⾏转化，⾃然联想到基本不等式.
这种解法貌似⽐⽅法1要简便的多.
⽅法3：⼏何法
分析本题条件，我们知道：c边长是确定的，⾓C是确定的，三⾓形外接圆的半径是确定的.
我们把三⾓形的外接圆画出来.
这样⼀个事实清晰地呈现出来：AB是⼀条定长的弦，劣弧AB所对的圆周⾓为60度，点C在优弧ACB上运动.
要使得三⾓形⾯积最⼤，就要使AB边的⾼线最长.
显然，当C点运动到⾼线通过圆⼼时，⾼线最长.
此时CA=CB，⼜⾓C为60度，所以三⾓形ABC为等边三⾓形.即当三⾓形为等边三⾓形时⾯积最⼤.
⼩结：
1.函数法是处理最值问题的通法，最容易想到，但是运算量略⼤；
2.基本不等式法适合处理⾯积问题，⼜快⼜好；
3.⼏何法把代数和⼏何联系起来，不容易想到，可以开阔眼界.
如果把所求问题改为求三⾓形ABC周长的最⼤值，⼤家觉得哪种⽅法最好呢？
聪明的你，不妨动笔⼀试.。