两阶段库存问题的最优补货策略

两阶段库存问题的最优补货策略
马慧慧
【摘要】In this paper, we study the two-stage inventory replenishment threshold problem with a major supplier and an emergency supplier. According to the surplus inventory levels of the end of the first stage,we determine to use which kind of suppliers and the replenishment threshold of the next stage to make the retailer get maximum benefits. We identify respectively replenishment threshold of two sup- ply modes through analysis of the profit functions ' properties, and establish a simple algorithm to choose which kind of suppliers. In the end, we give the simulation experiment and determine different replenish- ment strategy to the different of surplus inventory levels.%主要研究带有普通供应商和紧急供应商的两阶段库存问题的补货阀值问题.即根据运行周期中第一阶段结束后的剩余库存量,确定下一阶段调用哪种供应商进行供货以及补货阀值来使零售商取得最大的收益.通过利润函数性质分析确定两种供应商供货时分别的补货阀值,并建立了简单的算法来决策调用哪种供应商.最后给出仿真模拟实验,确定不同剩余量的不同补货策略.
【期刊名称】《滨州学院学报》
【年(卷),期】2012(028)003
【总页数】5页(P53-57)
【关键词】补货阀值;紧急供应商;期望利润;最优库存水平
【作者】马慧慧
【作者单位】曲阜师范大学管理学院,山东日照276800
【正文语种】中文
【中图分类】O224
0 引言
在激烈的市场竞争环境下，企业在经营活动中越来越重视供应链管理的作用，企业的补货策略直接关系到其本身的收益.根据外界环境变化，如何制定最优的库存补
货策略已成为决策者必须解决的问题.但由于经济环境的变化，对于不同的情况，
需要不同的补货策略来应对.在通常的多周期库存模型中，运行周期中的某一阶段
结束往往会有剩余库存存在.在这种情况下，供应商的选择，在其中起着重要作用，这里考虑了两种情况：一个普通供应商和一个紧急供应商.在文献［1－2］中，零
售商采用两个或多个供应商，以保证商品的及时供应.文献［2－6］中，均是包含
有主供应商和紧急供应商两种模式的采购策略.文献［2］研究的是带有主供应商和紧急供应商的双周期最优采购模型，在第一阶段的开始零售商与主供应商签订协议，分别确定两阶段开始时的订货量，两者之间存在一个备份比.而在第二阶段开始根
据需求量再确定从紧急供应商订货.文献［3］研究了具有两种模式的周期性盘点问题，一个是普通供应模式和一个是紧急供应模式.通过紧急通道的订单有一个更短
的补货前置期，补货可变费用相同但补货启动费用高于通过普通通道的订单成本.
文献［4］研究的是具有两种供应模式的周期性盘点库存问题的最优补货策略，它对普通订单和紧急订单建立动态规划模型，设置了一个库存水平临界值，如果现有库存位置低于临界值，紧急订单被设置.
针对第一阶段结束后的库存剩余量，是否选择订货，若补货选择哪种供应商进行补货，补货需要补多少.普通供应商订货成本低，但存在补货启动费用；紧急供应商
无补货启动费用，但订货成本相比普通供应商偏高，并且他们提供的商品能完全相互替代.文中假设两种供应商能及时地提供商品.求解最优的补货策略以使零售商取
得最大利润，需要决策4个库存水平值，决定普通供应商或紧急供应商进行补货
的补货阀值S＊以及确定选择调用哪种供应商进行补货时需要达到的最优库存水平.
1 基本模型
首先定义下面的基本变量：qt表示第t订货周期内单位商品的销售价格，pt表示
第t订货周期从主供应商订货的单位成本，ct表示第t订货周期从紧急供应商订货的单位成本，w t表示第t订货周期末剩余商品处理单位成本，ht表示第t订货周期内单位商品的库存成本，π表示单位商品的缺货成本，K表示补货启动资金，x
表示第t订货周期内的需求，I表示剩余的库存量，显然ct＞p t＞w t.
决策变量：S＊表示补货阀值，L表示调用普通供应商进行补货所达到的库存水平，M表示调用紧急供应商进行补货所达到的库存水平.
对于具有两阶段的库存系统，当第一阶段有剩余库存I时能否维持下一阶段的市场需求？如果不能则需要补货.若补货需要普通供应商还是紧急供应商进行补货才能
使零售商取得最大利润呢？补货补多少？带着这些需要解决问题，下面进行具体分析.
（1）剩余的库存为I，若不补货，则第二阶段周期的利润函数是
（2）若调用普通供应商，补货后的库存水平为L，则第二阶段的利润函数是
市场需求x是随机变量，概率密度函数为f（x），故利润函数R（I）、R（L）也
是随机变量，对利润函数两边取数学期望得到如下期望利润函数：
下面求L使E（R（L））取得最大，对E（R（L））关于L求导，一阶导数
二阶导数
故E（R（L））是关于L的凹函数，令一阶导数为0，这样最优值L＊满足
显然，如果L＊≤I，选择不补货，如果L＊＞I，还是不能确定是否需要补货，需进行进一步分析.
假设有一补货阀值S＊，如果I≤S＊，则最优补充量为L＊－I，如果I＞S＊，则最优补充量为0.关于阀值S＊的大小，对期望利润函数进行分析，考虑不补货的利润大于补货产生的利润E（R（I））≥E（R（L）），则满足此式的最小的I就是补货的阀值S＊.
下面分析函数E（R（I））的性质，对E（R（I））关于I求导，一阶导数
二阶导数
故E（R（I））是关于I的凹函数，但关于I单调递增（没有支出，实际上越大，收益越大）.
通过分析函数E（R（I））和E（R（L））的性质得到，使得E（R（I））≥E（R （L＊））的最小剩余库存I的值即为补货的阀值S＊.
若调用紧急供应商，补货后的库存水平为M，则t周期的利润函数是
对上式两边取数学期望得到
同样，对E（R（M））关于M求导，一阶导数
二阶导数
故E（R（M））是关于M的凹函数，令一阶导数为0，这样最优值M＊满足
因为ct＞p t，故
即M＊＞L＊.则E（R（I））、E（R（L））和E（R（M））三函数之间的关系有3种可能情况：函数E（R（L））和E（R（M））的交点在L＊的左侧，且
函数E（R（L））和E（R（M））的交点在L＊的左侧，且
函数E（R（L））和E（R（M））的交点在L＊的右侧，且
由此分析得到，补货阀值S＊即为使得
时的剩余库存量I的值.令L＝M，求得函数E（R（L））与E（R（M））的交点为I
由上面3种情形分析，得出如下命题.
命题（1）当剩余库存
时，在
的情况下，当I＜S＊时，则调用普通供应商补货至库存水平为L＊，补货量为L＊－I.当I≥S＊时，不补货；在
的情况下，当I＜S＊时，调用紧急供应商补货至库存水平为M＊，补货量为M＊－I.则I≥S＊时，不补货.（2）当剩余库存
时，当I＜S＊时，则调用紧急供应商补货至库存水平为M＊，补货量为M＊－I.
当I≥S＊时，则不补货.
基于命题内容，设置如下的算法.
步骤1 计算L＊、M＊以及E（R（L＊））、E（R（M＊））；
步骤2 当剩余库存时，转步骤3，否则转步骤5；
步骤3 假如E（R（L＊））≤E（R（M＊）），转步骤4，否则转步骤6；
步骤4 当I＜S＊时，则调用普通供应商补货至库存水平为L＊，补货量为L＊－I，否则转步骤7；
步骤5 当时，若I＜S＊时，调用紧急供应商补货至库存水平为M＊，补货量为M ＊－I，否则转步骤7；
步骤6 若E（R（L＊））＞E（R（M＊）），当I＜S＊时，则调用紧急供应商补
货至库存水平为M＊，补货量为M＊－I，否则转步骤7；
步骤7 当I≥S＊时，不补货.
2 数值试验
某一商品分两阶段销售，时期t＝1，2.其中销售价格qt＝200.0＋0.8t，普通供应商订购价格为p t＝80.0＋0.6t，紧急供应商的订购价格为ct＝100.0＋0.6t，剩余商品处理价格为w t＝60.0＋0.5t，持货成本为ht＝2.5＋0.03t，缺货成本π＝20，
补货启动资金K＝200.需求x的概率密度函数
经计算得到L＊＝47.2，M＊＝44.8，当E（R（M＊））＞E（R（L＊））时，I
＞33.95.E（R（L））与E（R（M））的交点处剩余库存
当剩余库存量30＜I＜50时，若E（R（L＊））≤E（R（M＊）），则补货阀值S ＊＝44.8，若E（R（L＊））＞E（R（M＊）），则补货阀值S＊＝49.58.
（1）当剩余库存量30＜I＜50时，根据以上分析，当剩余库存I≤37.2时，当33.95≤I≤37.2时，S＊＝44.8，则I＜S＊时，故调用紧急供应商补货至库存水平
为44.8，补货量为44.8－I；当30＜I＜33.95时，S＊＝49.58，则I＜S＊时，故调用普通供应商补货至库存水平为47.2，补货量为47.2－I；当剩余库存I＞37.2时，S＊＝44.8，则当37.2＜I＜50时，调用紧急供应商补货至库存水平为44.8，补货量为44.8－I.当44.8≤I＜50时，不补货.
（2）当剩余库存量I≤30时，由于x＜30，x＞50时f（x）＝0，故需要补货，补货阀值S＊为使得E（R（I））＝E（R（L＊））时取得的I值，得到S＊＝49.58，则调用普通供应商补货至47.2，补货量为47.2－I.
（3）当剩余库存量I≥50时，不需要补货.
综上，补货方案归纳为：当I＜33.95时，调用普通供应商补货至库存水平为47.2，补货量为47.2－I.当33.95≤I≤44.8时，调用紧急供应商补货至库存水平为44.8，补货量为44.8－I.当I≥44.8时，不补货.
参考文献：
［1］ Eppen G，Iyer A.Backup agreements in fashion buying－the value of upstream flexibility［J］.Manage Sci，1997，43：1469－1484.
［2］ David M，Chiang R S，Guo FY.Retailer’s optimal sourcing strategy
by using one major supplier and one emergent supplier［J］.Optimization Letters，2011，（5）：319－331.
［3］ Chiang C，Gutierrez G J.A periodic review inventory system with two supply modes［J］.European Journal of Operational Research，1996，94：527－547.
［4］ Chiang C.Optimal replenishment for a periodic review inventory system with two supply modes［J］.European Journal of Operational Research，2003，149：229－244.
［5］ Chiang C，Gutierrez G J.Optimal control policies for a periodic review inventory system with emergency orders［J］.Naval Research Logistics，1998，45：187－204.
［6］ Moinzadeh K，Nahmias S.A continuous review Model for an inventory system with two supply modes［J］.Management Science，1988，34：761－773.。