第3章第1讲 动量定理 动量守恒定律 质量流问题

t1
t1
t2
F1＋F12
t2
dt＋
F12＋F21
dt (m1v1 m2v2 ) (m1v10 m2v20 )
t1
F12 F21
t1
t2
F1＋F2
dt (m1v1 m2v2 ) (m1v10 m2v20 )
平面内，且它们与板面法线的夹角分别 为45o和30o，求：（1）乒乓球得到的冲 量；（2）若撞击时间为0.01s，求板施 于球的平均冲力的大小和方向。
v2 30o 45o n
v1
解 取球为研究对象，由于作用时间很
短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力
为F则有：
I F
dt

mv2

mv1
t1
元冲量
dI Fdt
单位：N·s 量纲：MLT－1
0
t
t1 dt
t2
说明
•是矢量：有 大小和方向。 •是过程量， 是改变物体机械运动状态的原因。
F为恒力时，可以得出I＝F t；
如果已知变力F，则由冲量定义可求变力的平均值：
2 动量

F
1
t2
Fdt
t t1
意义：表征了物体的运动状态。因此动量是状态量。
黄冈师范学院数理学院
大学物理学电子教案
动量与动量守恒定律
§3-1 质点和质点系的动量守恒 §3-2 动量守恒定律 §3-3 系统内质量移动问题
第3章 动量守恒定律和能量守恒定律
牛顿第二定律——反映了物体所受的外力与所产生 的加速度（运动状态变化）之间的瞬时关系。
力的作用持续一段时间，或者持续一段距离，称为 力对时间的累积作用和力对空间的累积作用。
dpt


v
dx
i

v2i
dt
dt
链条的支持力N，由牛顿第三定律 知N与λ(l-x)g大小相等，方向相反，
所以系F－统所 受xg的＝合(F外－力为xg)i
F v2＋ xg

(F－ xg)i v2i
小结
•冲量
I＝
t2
Fdt
t1
•动量定理
I Fdt＝ p
在质点上的冲量，等于该质点在此时
t1
间内动量的增量——动量定理。
说明
•动量定理给出了外力的冲量与物体运动状态变化
的关系，即质点动量的改变是由外力和外力作用
时间两个因素（冲量）决定的。
F
d (mv)
动量定理的微分形式，它具有普适性。
dt
冲量的方向与动量增量（或速度改变）的方向相同。
•动量定理的分量式
p1 p10 ( p2 p20 )
一般地，当系统动量守恒时，系统内各质点的动量都可能发
生改变，但系统内动量的增加和减少量是相等的，系统的总动 量不变。系统内各物体间动量的传递是通过系统内各质点之间 的相互作用——内力来实现的。也就是说，系统中内力作用可 以使动量在系统内各个质点之间传递，但不改变系统的总动量。
dp M dv udm
dt
dt dt
dp M dv udM
dt dt dt
F
dp
M
dv udM
dt dt dt
M
dv
F
udM
dt
dt
dm dM dt dt
udM 叫作火箭发动机的推力 dt
二 火箭运动的速度公式
对于在远离地球大气层之外，星际空间中飞行的火箭，可
证明 建立如图所示坐标，设t时刻已有
o
x长的柔绳落至桌面，随后的dt时间内将有
质量为dx( =M/L)的柔绳以dx/dt的速率碰
到桌面而停止，取这一小段为研究对象，
它的动量变化率为：
dp

0

dx

dx dt
dt
dt
x
不考虑重力的影响，根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：

F

dp

0
dx
在力的作用下，质点或质点系的动量、动能或能量 将发生变化或转移。在一定条件下，质点系内的动量或 能量将保持守恒。对这些问题的研究，物理学引入了冲 量和动量；功和能的概念。
§3-1 质点和质点系的动量定理
一 冲量 质点的动量定理
1 冲量
意义：力的作用对时间的积累。 F
定义：
I＝
t2
Fdt
F
2
2
Fx 6.1N Fy 0.7N F F x F y 6.14 N
I x 0.061Ns I y 0.007Ns
I
I
2 x

I
2 y
6.14102 Ns
tan I y I x 0.1148
6.54
为 I 与x方向的夹角。
二 质点系的动量定理
iI0＝p－p0
t2 F外力dt
n
mivi
n
mi vi 0
t1
i 1
i 1
I x＝px－px0 I y＝py－py0 I z＝pz－pz0
作用在系统的合外力的冲量 等于系统动量的增量——质 点系的动量定理
说明
只有外力才对系统的动量变化有贡献，而系统 的内力是不能改变整个系统的动量的，这是牛顿第 三定律的直接结果。
在时刻t+△t火箭相对选定的惯 性参考系的速度为v+△v，而燃烧 气体粒子相对选定的惯性参考系的 速度则为v+△v+u。
pt Mv
pt＋t M mv v mv v u p pt t pt Mv um
p＝ n mivi 恒矢量 i 1
px mivix Cx py miviy Cy pz miviz Cz
Fx 0 Fy 0 Fz 0
二 说明
•守恒的意义：动量守恒定律揭示了通过物体的相互作用，
机械运动发生转移的规律。
p1 p2 p10 p20
•守恒的条件：系统所受的合外力为零。当外力远小于内力时， 可以用动量守恒定律求近似解。
•合外力在某个方向（坐标轴）上的分量为零，此时，系统的 总动量虽不守恒，但在该坐标轴（方向）上的分量却保持不变。 这个结论称为质点系在某一方向上的动量守恒定律。 •动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 •动量定理和动量守恒定律只在惯性系中才成立 。
以认为系统不受外力作用，即F=0

M dv udM dt dt
Mdv udM
vdv uM dM
v0
M M 0
v v0

uln
M M0

uln
M0 M
考虑初速度为零，则火箭的速度大小为
v u ln M0 M
M0/M叫做质量比
三 多级火箭
质量比Ni =M0/M
解 以人、车为系
统，在水平方向上不
受外力作用，动量守
恒。建立如图所示的
坐标系，有
m1v1+m2v2=0 或
v2=-m1v1/m2
人相对于车的速度
u=v1-v2=(m1+m2)v1/m2
设人在时间t 内从车的一端走到另一端，则有
l
t
udt
0
t 0
m1 m2 m2
v1dt

m1 m2 m2
•质点系的动量定理
I＝p－p0
•动量守恒定律
p＝ n mivi 恒矢量 i 1
•变质量物体的运动方程
M
dv
F
udM
dt
dt
作业：
课后作业： P94习题：3-6、3-11、3-12。
课外作业： P91问题：2-2、2-4、2-5、2-7; 预 习：第3章§3-4~§3-6。
v1 u ln N1 v2 v1 u ln N 2 vn vn1 u ln Nn
vn u（ln N1＋ln N2＋ ＋ln Nn ) u ln（N1N2 Nn )
但级数越多，技术越复杂。一般采用三级火箭。
例题 一长为 l，密度均匀的柔软链条，其单位 长度的密度为λ。将其卷成一堆放在地面上。若手 握链条的一端，以匀速v 将其上提。当绳端提离地 面的高度为x 时，求手的提力。
解 取地面为惯性参考系，地面上一点为坐标原
点O，竖直向上为x轴。以整个链条为一系统。设
在时刻t，链条一端距原点的高度为x，其速率为v，
由于在地面部分的链条的速度为零，故在在时刻t，
链条的动量为
pt xvi来自作用在整个链条的外力，有手的提 力F，重力λxg和λ(l-x)g以及地面对
链条的动量随时间的变化率为
t
0 v1dt
在这段时间内人相对于地面的位移为
x1
t 0
v1dt

m2 m1 m2
l
小车相对于地面的位移为
x2

l

x1


m1 m1 m2
l
§3-3 系统内质量移动问题
一 火箭运动的微分方程
在t 时刻，火箭－燃料系统的 质量为M，速度为v；
在t→t+△t时间间隔内，有质 量为△m的燃料变为气体，并以速 度u相对火箭喷射出去。
定义：物体的质量与速度的乘积 p mv
•说明： 动量是矢量，大小为 mv，方向就是速度的方向。
•单位： kg·m·s-1 •量纲：MLT－1
3 动F量定dp理 dt
dp

Fdt

p2

p1

I＝
t2 t1
Fdt
在给定的时间间隔内，外力作用

I
t2 Fdt＝p
dx dt

v2
dt
dt
柔绳对桌面的冲力F＝－F′即：
F v2 而v2 2gx F 2gx
而已落到桌面上的柔绳的质量为x，其重量为
mg = xg
所以任意时刻桌面上所有绳了对桌面的压力为
N=mg+F=3 gx=3mg
§3-2 动量守恒定律
一 内容
当系统所受合外力为零时，即F外=0时，系统的动量的增量 为零，即系统的总动量保持不变
Ix
t2 t1
Fx dt

mv2 x

mv1x
I y

t2 t1
Fy dt

mv2 y

mv1y
Iz
t2 t1
Fz dt

mv2 z

mv1z
上式表明：质点在某一方向上的动量增量仅与质点在该 方向上所受外力的冲量有关。
•应用： 利用冲力：增大冲力，减小作用时间——冲床 避免冲力：减小冲力，增大作用时间——轮船靠岸时的缓冲
利用动量定理可求作用力
I

Fdt＝p
F＝ p
t
鸟本身的速度不快， 质量也不大，但由于飞机 速度很快，相对于飞机来 说，鸟的速度很大，具有 很大的相对动量，或者说 明具有很大的动量改变量。 因此，两者相撞时，会造 成严重的空难事故。
例1 质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速 率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速 率飞出。设两速度在垂直于板面的同一
三 应用动量守恒定律解题的步骤
1．选好系统，分析要研究的物理过程； 2．进行受力分析，判断守恒条件； 3．确定系统的初动量与末动量； 4．建立坐标系，列方程求解； 5．必要时进行讨论。
例题 水平光滑铁轨上有一车，长度为l，质量为 m2，车的一端有一人（包括所骑自行车），质量为 m1，人和车原来都静止不动。当人从车的一端走到 另一端时，人、车各移动了多少距离？
1 质点系 内力 外力的概念
多个质点组成的系统称为质点系。 质点系内各物体间的相互作用力称为内力。
系统外的物体对系统内的物体的作用力，称为外力。
2 两个质点的情况
t2
F1＋F12
dt m1v1 m1v10
t2
F2＋F21
dt

m2v2
m2v20
y v2
O
30o
45ox n
v1
I x Fxdt mv2 cos 30 (mv1 )cos 45 Fxt
I y Fydt m v2 sin30 m v1 sin45 Fyt
t 0.01s v1 10m/s v2 20m/s m 2.5g
t1
作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系 统内两质点动量之和的增量，即系统动量的增量。
3 多个质点的情况
t2
n
Fi外

t
dt＋
2

n
Fi内
dt

n
mivi
n
mi vi 0
t1 i 1

t1 i 1

i 1
i 1
n
Fi内 0
系统内各物体间的相互作用力——内力，虽能 引起各自动量的改变，但不能引起系统总动量的改 变，系统总动量的变化仅与外力有关，这就是内力 和外力作用的不同。
质点系的动量定理的微分形式为
F ex

dp
dt
例2 一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着， 绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放 开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中， 任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的 绳重量的三倍。