2月6日六校联考数学试题（理）

广东省高三六校第四次联考
数学（理科） 0206
本试卷共4页，21小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：
球体的体积公式, 3
43
V R π球＝，其中R 是球体的半径.
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．若复数21i
z i
=+，则=|z |
A ．
2
1
B ．22
C ．1
D ．2
2．抛物线2
4y x =的焦点坐标为
A.(1,0)
B.1(0,)16
C.(0,1)
D.1
(,0)8
3. 等差数列}{n a 中，若12011,a a 为方程2
10160x x -+=的两根，则210062010a a a ++等于
A ．10
B ．15
C ．20
D ．40
4. 设p 和q 是两个简单命题，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则q ⌝是p 的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不充要条件
5. 右图是我校校园歌手大赛比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 A ．83 B ．84
C ．85
D ．86
6. 平面α的斜线l 与平面α所成的角是45︒，则直线l 与平面α内所有不过斜足的直线所成的角中，最大的角是
A ．45︒
B ．90︒
C ．135︒
D ．60︒
7. 已知函数2()2f x x x =-,则满足条件()()0
()()0
f x f y f x f y +≤⎧⎨
-≥⎩的点(,)x y 所在区域的面积为
A ．4π
B ．π
C ．32
π D ．2π
8. 有一种掷正方体骰子走跳棋的网络游戏，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第100站．一枚棋子开始在第0站，玩家每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，则棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站. 游戏规定：若棋子经过若干次跳动恰跳到第99站，则玩家获胜，游戏结束；若棋子经过若干次跳动最后恰跳到第100站，则玩家失败，游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为(,100)n p n N n ∈≤，可以
7984464793
第5题图
y x
O
6π 2
512π
证明：1212
33n n n p p p --=+（2≤n≤100），则每次玩该游戏获胜的概率是
A.10032[1()]53-
B. 9932[1()]53-
C. 10022[1()]53-
D. 9922[1()]53
- 二、填空题：本大题共6小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答
的，只计算前题得分.每小题5分，满分30分. （一）必做题（９～１3题）
9.作用于同一点的两个力12F F 和的夹角为
23
π
，且123,5,F F ==则12F F +大小为 . 10．程序框图（即算法流程图）如右图所示，其输出结果是 .
11．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若
60,B A =+︒ 2b a =，则A = .
12. 二项式6
22x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中3
x 的系数是 （用数字作
答）
13. 设,,a b c 为正实数，且1a b c ++=，则2
ab c 的最大值 为 . （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程）曲线2
sin (sin x y θ
θθ
=⎧⎨
=⎩为参数)与直线 a x y +=有两个公共点，则实数a 的取值范围是 .
15.（几何证明选讲）如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC BD 、交
于点P ,若3,1AB CD ==, 则sin APD ∠= .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本题满分12分） 已知函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）令)g x f x π
()=(+
12
，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由.
第15题图
开始 a =1 a =2a +1
a >100?
输出a
结束 是 否
第10题图
17.（本题满分12分）
金融风暴横扫全球。

为抗击金融风暴，市工贸系统决定对所属企业给予低息贷款的扶持.该系统先根据相关评分标准对各个企业进行了评估，并依据评估得分将这些企业分别评定为优秀、良好、合格、不合格4个等级，然后根据评估等级分配相应的低息贷款金额，其评估标准和贷款金额如下表：
评估得分[50，60）[60，70）[70，80）[80，90]
评定类型不合格合格良好优秀
贷款金额（万元）0200 400 800
为了更好地掌控贷款总额，该系统随机抽查了所属部分企业的评估分数，得其频率分布直方图如下：
（Ⅰ）估计该系统所属企业评估得分的中位数；
（Ⅱ）该系统要求各企业对照评分标准进行整改，若整改后优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量依次成等差数列，系统所属企业获得贷款的
均值（即数学期望）不低于410万元，那么整改后不合格企业占企业总数的百分
比的最大值是多少？
18.（本题满分14分）
已知四棱锥P ABCD
-的三视图如下图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ）求证：BD AE
⊥
（Ⅱ）若E为PC的中点，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若五点,,,,
A B C D P在同一球面上，求该球的体积.
A B C
D P
E
频率
组距
0.040
50 60 70 80 90
O
0.025
0.020
0.015
_1
_2
_1
_1
_2
_1
主视图侧视图
俯视图
19. （本题满分14分）已知动点P 的轨迹为曲线C ，且动点P 到两个定点
12(1,0),(1,0)F F - 的距离12,PF PF 的等差中项为2.
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）直线l 过圆2
2
40x y y ++=的圆心Q 与曲线C 交于,M N 两点，且
O OM ON (0=⋅为坐标原点），求直线l 的方程；
（Ⅲ）设点)2
1
,1(A ,点P 为曲线C 22PF PA +的最小值，并求取
得最小值时点P 的坐标.
20. （本题满分14分）已知函数2
()ln(1)(1)f x a x x =+++在1x =处有极值． （Ⅰ）求实数a 值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）试问是否存在实数m ，使得不等式22
14()m tm e f x ++-≤对任意
[]1,x e e ∈- 及[]1,1t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请
说明理由.() 71828.2=e
21.（本题满分14分） 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*
N n y x ∈=-上.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2
12(),n n f x a x a x a x =++
+求(1)f '的值，并化简.
（Ⅲ）若3*3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的*
n ∈N ，不等式
312
111
(1)(1+)(1+
)31n
n c c c +
⋅⋅>+恒成立．
y x O 6π 2
512π
广东省高三六校第四次联考
数学（理科）答题卷 0206
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求， 将所选答案填写在下面的表格内。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
二、填空题:本大题共6小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分30分． （一）必做题（11～13题） 9、 ； 10、 ； 11、 ；
12、 ；
13、 ；
（二）选做题（考生只需从14、15小题中任选一题作答）
14、 ；
15、 。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本题满分12分）
17.（本题满分12分）
18.（本题满分14分）
A
B
C
D P E
频率 组距
0.040 50 60 70 80 90 O
0.025 0.020 0.015
19. （本题满分14分）
20. （本题满分14分）
21.（本题满分14分）。