古典概率2

例1 同时掷两枚均匀硬币，分别求事件A ={两枚都出现正面}, B ={一枚出现反面} 和 C ={两枚都出现反面}的概率. 解 同时掷两枚硬币有 4 个等可能 个等可能的结果，即样本空间为 ={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)} 古典概型 又事件A, B, C 分别包含 1个、2个和 1个样本点， 1 1 1 P ( A) ; P(B) 2 ; P (C ) . 4 4 2 4
1 2 1
从余下的4双中任取 2双
C 5C 4 C2 C 2
1 2 1 1
2 C5
2 1 1 2
C 5 C 4 C 2 C 2 C 5 13 P ( A) . 4 所求为“至少”或“至多”的问题，用余概公式简单 21 C 10
1 2
C 5 C 4 C 2 C 2 C5
1. 球编号
每个箱子只容纳一个球 N ( N 1)( N n 1) 每个箱子容纳的球数不限 N n
n 每个箱子只容纳一个球 CN 2. 球不编号 n 每个箱子容纳的球数不限 C N n1
课下可通过作业进一步掌握.
早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能 样本点的古典方法是不够的. 借助于古典概率的定义，设想仍用“事件的概率”等于“部 不过现在的“部分”和“全 分”比“全体”的方法来规定事件的概率. 几何的方法 体”所包含的样本点是无限的.
1
方法 2 A { 取的 4 只鞋子中没有成双的 }, 先从5双中任取4 双 在从这4双中各取 1只
1 1 C 4 C2 C1 C12C2 5 2
还有其它解法吗？
1 1 C 4 C2 C1 C12 C2 8 13 2 P( A) 1 P( A ) 1 5 1 . 4 21 21 C10
..
例7 公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过， 乘客到达车站的任 意时刻是等可能的， 求乘客候车时间不超过 3 分钟的概率. x —— 乘客到达车站的时刻 —— 一个实验结果， t —— 乘客到达车站后的第一辆公共汽车的时刻， 由题意知，乘客只能是在时间间隔(t -5,t ]内来到车站的， 故样本空间 = {t -5 < x ≤t }， 且 的度量 = t-(t -5 )= 5. 而事件 A={ 乘客候车时间不超过3 分钟 } A={ x|t -3 ≤ x ≤t }, 且 A 的度量 = 3. A 的度量 3 P ( A) 0. 6 . 的度量 5 解
k k An Cn k !
组合不管顺序
2. 组合
k n! An C k ! (n k ) ! k ! k n
例2 一个盒子中装有10个大小、形状完全相同的晶体管，其中 3 只是次品. 按下列两种方法抽取晶体管： (1) 先任取一只, 作测试后放回盒中, 再任取下一只； 有放回抽样 (2) 先任取一只, 作测试后不放回, 在剩下的中再任取一只. 无放回抽样 试分别对这两种抽样方法, 求从这10只晶体 管任取 2 只中，恰有一只是次品的概率. 解 设 A ={ 抽取的 2 只晶体管中恰有一只是次品 } (1)有放回抽样： 由于每次都是从10只中取 —— 10 10 种取法 即 的样本点数 n = 10 2， 古典概型 第 1 次取到合格品，且第 2 次取到次品 —— 7 3 P ( A) 42 . A:—— 共有 7 3 + 37 = 42 种取法 100
求样本空间样本点总数 和 求事件所含样本点数 的计数方法不同
例5 5 双不同的鞋中任取 4 只， 求这 4 只鞋子中至少有 2 只配成一 双鞋的概率？ 解 样本空间样本点数为 C 4 ,
10
设 A={ 取的 4 只鞋子中至少有 2 只配成一双 }, 方法 1 A={4只鞋中恰有2只配成一双}∪{4只鞋恰好配成两双} 先从5双中任取 1双 从这 2双中各任取 1只
这两个计数原理不但可直接解决不少具体问题, 也是推导下面常用排列组合公式的基础 .
排列组合的公式
k 选排列 An n ( n 1)( n 2)( n k 1) n ! (n k ) ! n 1. 排列 全排列 An An n(n 1) ( n 2)2 1 n ! 允许重复的排列 n n n n k
例3 设有 N 件产品, 其中有 M 件次品, 现从这 N 件中 任取 n 件(不放回), 求其中恰有 k 件次品的概率. 解 含的样本点数为
n CN
,
N–M 件正 品
次品
设 A = { 恰抽到 k 件次品 } k A 的次品有 C M 种取法， 只能取自 M 件次品 n A 的正品有 C N kM 种取法，
第 1 次取到次品，且第 2 次取到合格品 —— 3 7
(2)无放回抽样： 第 1 次是从10只中取, 第 2次是从 9 只中取， 即 的样本点数 n = 109，古典概型 —— 10 9 种取法 A:—— 共有 7 3 + 37 = 42 种取法 P ( A) 42 . 90
人
房
入 箱
我们介绍了古典概型.
古典概型的定义虽然比较简单，但它有多方面的应用.
随机取数
例5
箱中摸球
例2、3
是常见的几种模型 .
分球入箱
分组分配
设有 n 个球，每个都以相同的概率 1/N(Nn) 落入 N 个箱子 中的每一个中. 根据不同条件，分别求事件 A={某预 先指定的 n 个箱子中各有一球}的概率 p .
古典概型中事件概率的计算？
由于 { 1 } { 2 } { n } 1 P( ) P(1 ) P( 2 ) P( n ) ,
又由于各样本点出现的可能性相同， 1 P ( i ) , i 1,2, , n ; n
设事件 A 由 k 个样本点组成 ，即 A { i 1 , i 2 , , i k } , 由可加性知 A 的概率为： A 包含的样本点数 P ( A) k ( i A 包含的样本点数 ( i k ) k P 1 ) P ( i 2 ) P 中的样本点总数 n 中的样本点总数 n 称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法 . 这样就把求概率问题转化为计数问题 .

2、用排列组合公式计算样本点数时必须注意不要重复计题，用余概公式简单
4、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型
有n个人, 每个人都以相同的概率1/N(N≥n) 被分在 N 间房的每一间中, 求指定的n间房中各 有一人的概率.
有n个人，设每个人的生日是任一天的概率分 为1/365. 求这n (n ≤365)个人的生日互不相同 球 的概率. 有n 个旅客, 乘火车途经N个车站，设每 个人在每站下车的概率为1/ N(N ≥ n), 求指 定的n 个站各有一人下车的概率. 某城市每周发生7次车祸, 假设每天发生 车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸 的概率. 人 任一天 旅客 车站 车祸 天
性质 —— 5 条
非负有界性 规范性 可列可加性
用概率的公理化定义，从实验出发直接计算 P(A)是 甚至是不可能的. 困难的，
某些满足特定条件的实验可以直接计算 .
基本事件的发生具有等可能性
§2
一、古典概型
等可能概型
定义 若随机试验 E 具有以下两个特征： (1) E 的样本空间只有有限多个样本点，即 {1 , 2 , , n } ; (2) 试验中每个样本点出现的可能性相同， 有限等可能随机试验 则称 E 为古典概率模型，简称古典概型 .
列举法
排列组合是计算古典概率的重要工具
这里我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的基本计数原理
1. 加法原理 设完成一件事有m种方式，无论通过哪种方式都可以完成这件事， 第 1种方式有 n1种方法, 第 2 种方式有 n2 种方法,„ ; 第 m 种方式有 nm 种方法, 则完成这件事共有 n1 + n2 + „ + nm 种不同的方法 2. 乘法原理 设完成一件事有m个步骤, 必须通过每一步骤, 才算完成这件事, 第 1个步骤有 n1 种方法, 第二个步骤有 n2 种方法, „ ; 第 m个步骤有nm种方法, 则完成这件事共有 n1 n2 „ nm 种不同的方法
k n 故 A 含的样本点数为 C M C NkM ,
正品
P ( A)
k n C M C N kM n CN
,
k 1, 2, , min { M , n}.
超几何分布 的概率公式
例4 在电话号码簿中任取一个电话号码,求后面 4个数字全 不同的概率(设后面 4个数中的每一个数都是等可能地取自 0-9 这 10 个数). 允许重复 解 所求概率与号码的位数无关, 含样本点数: 10 4, 设 A ={ 后 4 位数字全不相同 }, 从10个不同数字中 取4个的排列 A 所含样本点数为 A 4 , 10 4 A10 P ( A) 4 0. 504 . 10
用什么数学方法才能构造出这样的数学模型？
这无限多个样本点可表示为一个有度量的几何区域时, 就形 长度 成了确定概率的另一方法——几何方法. . .. 面积
二、几何概型
体积
定义 若随机试验 E 具有以下两个特征： (1) E 的样本空间有无穷多个样本点， 且可用一个有度量的 几何区域来表示； 有度量的区域 事件A对应的区域仍以A表示 (2) 试验中每个样本点出现的可能性相同(即样本点落入某 区域内可能性的大小仅与该区域的度量成比例, 而与该区域的 位置和形状无关)， A 的度量 P ( A) 则称 E 为几何概型 . 的度量
例8 设某吸毒人员强制戒毒期满后在家接受监控，监控期为 L 单位时间，该期间内随时可提取尿样化验. 设该人员随 时可能复吸，且复吸后 S 单位时间内尿样呈阳性反应， 问该人员 复吸且被检验出的概率是多少？ 解 x ——复吸时刻; y —— 提取尿样的时刻, (x, y) —— 样本点, y y=x 样本空间 = {(x,y )| 0 ≤ x ≤ L , 0 ≤ y ≤ L }， L 则 的度量 = L 2. A S A={ 该人员复吸且被检验出 } 0 x L A={ (x, y )| 0 ≤ y -x ≤ S }, 1 2 [ L2 1 ( L S ) 2 ] . 则 A 的度量 = L 2 2 1 1 2 [ L2 ( L S ) 2 ] L 2 2 P ( A) . 2 L
从5双不同的鞋中任取4只，求这 4 只鞋中至少有 2 只配成 2 1 一双鞋的概率？ C 先从5双中任取 1双
C5
8
从余下的8只中任取 2只
P ( A)
解法 3
1 C5
2 C8 4 C 10
这 2只鞋有“不 成双”和“成 双”两种情形
2 3
错在何处？
同样的“4只配成两双”算了两次
正确做法
小结
基本事件 随机事件 复合事件 必然事件 基本概念 不可能事件 样本点 基本事件 样本空间 —— 所有基本事件构成的集合 事件的关系及运算 —— 四种关系和三种运算
随机实验
三个限定条件
概率

三条公理 定义 —— 定义在样本空间上满足三条公理的集合函数
1 2 2 C5 C8 C5 P ( A) 4 C 10
与5双中任取一双 时已出现“4只恰 有两双”的情形重 复 2 多算了 C 5 种
在用排列组合公式计算古典概型时 必须注意不要重复计数，也不要遗漏
再次提醒注意：
1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件 例6 掷两枚骰子出现的点数之和等于3 的概率. 解 掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为 { 2, 3, 4, „, 12 }, ={(1,1), (1,2), (2,1), (1,3),„, (6,6) } 1 . P ( A) 2 11 P(A)= —— 1 . 66 18 “等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据 实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的. 在实际应用中，往往只能“近似地”出现等可能，“完全 在许多场合，由对称性和均衡性，我们 地”等可能是很难见到的. 就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.