2013-2014年甘肃省天水市秦安县高三上学期数学期末试卷与解析
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2013-2014 学年甘肃省天水市秦安县高三（上）期末数学试卷
一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确的选项填涂在答题卡上） 1． （5 分）设集合 A={x| A．{x|1＜x＜2} }，B={x|x2＜1}，则 A∪B=（ ）
9． （5 分）以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆 x2+y2﹣2x+6y+9=0 的圆心的 抛物线的方程是（ A．y=3x2 或 y=﹣3x2 C．y2=﹣9x 或 y=3x2 ） B．y=3x2 D．y=﹣3x2 或 y2=9x
10． （5 分）已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长 为 的正三角形，若 P 为底面 A1B1C1 的中心，则 PA 与平面 A1B1C1 所成角的 ） B． ﹣ C． D．
B．21
6． （5 分）若点 P（4，2）为圆 x2+y2﹣6x=0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线 方程为（ ） B．x﹣2y=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x﹣y﹣6=0
A．2x+y﹣10=0
7． （5 分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 2 的正方形，
第 1 页（共 24 页）
大小为（ A．
11． （5 分）P 是双曲线
=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2 是其焦点，且 ）
=0，若△F1PF2 的面积是 9，a+b=7，则双曲线的离心率为（ A． 12． （5 分）函数 （a）的取值范围是（ ）
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B．
C．
D．
，设 a＞b≥0，若 f（a）=f（b） ，b•f
（1）当 a=1 时，求曲线 y=f（的最小值．
选做题：请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题记分．作答时．用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22． （10 分）如图，⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P，E 为 ⊙O 上一点，AE=AC，DE 交 AB 于点 F．求证：△PDF∽△POC．
第 3 页（共 24 页）
20． （12 分）已知椭圆 C： 到右焦点的距离为 ．
（a＞b＞0）的离心率为
，短轴一个端点
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 △AOB 面积的最大值． 21． （12 分）已知 a∈R，函数 ． ，求
（1）解不等式 f（x）≤5； （2）若 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围．
23 ． （选做题）已知曲线 C 的极坐标方程为 （t 为参数，0≤α＜π） ． （1）化曲线 C 的极坐标方程为直角坐标方程；
，直线 l 参数方程为
（2）若直线 l 经过点（1，0） ，求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长． 24．设函数 f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．
第 4 页（共 24 页）
（Ⅱ）设 t=sinAsinC，求 t 的最大值． 18． （12 分） 已知数列{an}是首项为 a1= ， 公比 q= 的等比数列， 设 bn+2=3log （n∈N*） ，数列{cn}满足 cn=an•bn （1）求证：{bn}是等差数列； （2）求数列{cn}的前 n 项和 Sn． 19． （12 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°， AB=AC=AA1=2，点 M，N 分别为 A1B 和 B1C1 的中点． （1）证明：A1M⊥平面 MAC； （2）求三棱锥 A﹣CMA1 的体积； （3）证明：MN∥平面 A1ACC1． an
4． （5 分）一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球 O 的球 面上，则该圆锥的表面积与球 O 的表面积的比值为（ A． B． C． ） D．
5． （5 分）在等差数列{an}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数 列的前 14 项和为（ A．20 ） C．42 D．84
两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
8． （5 分）设 m，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题正确的 是（ ） B．m⊥α，n⊥β 且 α⊥β，则 m⊥n
A．m∥α，n∥β 且 α∥β，则 m∥n
C．m⊥α，n⊂ β，m⊥n，则 α⊥β ∥β
D．m⊂ α，n⊂ α，m∥β，n∥β，则 α
A．
B．
C． （0，2）
D．
二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题纸 上） 13． （5 分）已知 f（n）=1+ ，经计算得 f（2）= ，f（4）＞ ．
2， f （8） ＞ ， f （16） ＞3， f （32） ＞ ， 推测当 n≥2 时， 有f （2n） ＞ 14． （5 分）直线 y=x 被圆 x2+（y﹣2）2=4 截得的弦长为 ．
15． （5 分）P 为抛物线 y2=4x 上任意一点，P 在 y 轴上的射影为 Q，点 M（4，5） ， 则 PQ 与 PM 长度之和的最小值为： ．
16． （5 分）二次函数 y=x2﹣2x+2 与 y=﹣x2+ax+b（a＞0，b＞0）在它们的一个交 点处切线互相垂直，则 的最小值为 ．
三、解答题： （本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤） 17． （12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A，B，C 成等 差数列． （Ⅰ）若 b= ，a=3，求 c 的值；
B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|
} D．{x|﹣1＜x＜1}
2． （5 分）函数 f（x）=x2﹣2 x 的图象为（
| |
）
A．
B．
C．
D． ）
3． （5 分） “m=﹣1”是“直线 mx+ （2m﹣1） y+2=0 与直线 3x+my+3=0 垂直”的 （ A．充分而不必要条件 C．充要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确的选项填涂在答题卡上） 1． （5 分）设集合 A={x| A．{x|1＜x＜2} }，B={x|x2＜1}，则 A∪B=（ ）
9． （5 分）以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆 x2+y2﹣2x+6y+9=0 的圆心的 抛物线的方程是（ A．y=3x2 或 y=﹣3x2 C．y2=﹣9x 或 y=3x2 ） B．y=3x2 D．y=﹣3x2 或 y2=9x
10． （5 分）已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长 为 的正三角形，若 P 为底面 A1B1C1 的中心，则 PA 与平面 A1B1C1 所成角的 ） B． ﹣ C． D．
B．21
6． （5 分）若点 P（4，2）为圆 x2+y2﹣6x=0 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线 方程为（ ） B．x﹣2y=0 C．x+2y﹣8=0 D．2x﹣y﹣6=0
A．2x+y﹣10=0
7． （5 分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 2 的正方形，
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大小为（ A．
11． （5 分）P 是双曲线
=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2 是其焦点，且 ）
=0，若△F1PF2 的面积是 9，a+b=7，则双曲线的离心率为（ A． 12． （5 分）函数 （a）的取值范围是（ ）
第 2 页（共 24 页）
B．
C．
D．
，设 a＞b≥0，若 f（a）=f（b） ，b•f
（1）当 a=1 时，求曲线 y=f（的最小值．
选做题：请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题记分．作答时．用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22． （10 分）如图，⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P，E 为 ⊙O 上一点，AE=AC，DE 交 AB 于点 F．求证：△PDF∽△POC．
第 3 页（共 24 页）
20． （12 分）已知椭圆 C： 到右焦点的距离为 ．
（a＞b＞0）的离心率为
，短轴一个端点
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 △AOB 面积的最大值． 21． （12 分）已知 a∈R，函数 ． ，求
（1）解不等式 f（x）≤5； （2）若 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围．
23 ． （选做题）已知曲线 C 的极坐标方程为 （t 为参数，0≤α＜π） ． （1）化曲线 C 的极坐标方程为直角坐标方程；
，直线 l 参数方程为
（2）若直线 l 经过点（1，0） ，求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长． 24．设函数 f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．
第 4 页（共 24 页）
（Ⅱ）设 t=sinAsinC，求 t 的最大值． 18． （12 分） 已知数列{an}是首项为 a1= ， 公比 q= 的等比数列， 设 bn+2=3log （n∈N*） ，数列{cn}满足 cn=an•bn （1）求证：{bn}是等差数列； （2）求数列{cn}的前 n 项和 Sn． 19． （12 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°， AB=AC=AA1=2，点 M，N 分别为 A1B 和 B1C1 的中点． （1）证明：A1M⊥平面 MAC； （2）求三棱锥 A﹣CMA1 的体积； （3）证明：MN∥平面 A1ACC1． an
4． （5 分）一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球 O 的球 面上，则该圆锥的表面积与球 O 的表面积的比值为（ A． B． C． ） D．
5． （5 分）在等差数列{an}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数 列的前 14 项和为（ A．20 ） C．42 D．84
两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
8． （5 分）设 m，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题正确的 是（ ） B．m⊥α，n⊥β 且 α⊥β，则 m⊥n
A．m∥α，n∥β 且 α∥β，则 m∥n
C．m⊥α，n⊂ β，m⊥n，则 α⊥β ∥β
D．m⊂ α，n⊂ α，m∥β，n∥β，则 α
A．
B．
C． （0，2）
D．
二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题纸 上） 13． （5 分）已知 f（n）=1+ ，经计算得 f（2）= ，f（4）＞ ．
2， f （8） ＞ ， f （16） ＞3， f （32） ＞ ， 推测当 n≥2 时， 有f （2n） ＞ 14． （5 分）直线 y=x 被圆 x2+（y﹣2）2=4 截得的弦长为 ．
15． （5 分）P 为抛物线 y2=4x 上任意一点，P 在 y 轴上的射影为 Q，点 M（4，5） ， 则 PQ 与 PM 长度之和的最小值为： ．
16． （5 分）二次函数 y=x2﹣2x+2 与 y=﹣x2+ax+b（a＞0，b＞0）在它们的一个交 点处切线互相垂直，则 的最小值为 ．
三、解答题： （本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤） 17． （12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A，B，C 成等 差数列． （Ⅰ）若 b= ，a=3，求 c 的值；
B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|
} D．{x|﹣1＜x＜1}
2． （5 分）函数 f（x）=x2﹣2 x 的图象为（
| |
）
A．
B．
C．
D． ）
3． （5 分） “m=﹣1”是“直线 mx+ （2m﹣1） y+2=0 与直线 3x+my+3=0 垂直”的 （ A．充分而不必要条件 C．充要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件