银州区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

银州区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ）
A ．5A ∈
B ．1.5A ∉
C ．1A -∉
D ．0A
∈2． 与函数 y=x 有相同的图象的函数是（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
3． 如图，已知双曲线﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上一点，
直线PF 2交y 轴于点A ，△AF 1P 的内切圆切边PF 1于点Q ，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（
）
A ．y=±x
B ．y=±3x
C ．y=±x
D ．y=±x
4． 设命题p ：函数y=sin （2x+）的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数
y=|2x ﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ）
A ．p 为假
B ．￢q 为真
C ．p ∨q 为真
D ．p ∧q 为假
5． 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（
）
A ．y=|x|（x ∈R ）
B ．y=（x ≠0）
C ．y=x （x ∈R ）
D ．y=﹣x 3（x ∈R ）6． 抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3
7． 为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x 的图象（
）
A ．向右平移个单位长度
B ．向左平移个单位长度
C ．向右平移
个单位长度
D ．向左平移
个单位长度
8． 一个几何体的三个视图如下，每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为（ ）
A. B. C. D. 4π5π2π+【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算
能力．
9． 已知，若存在，使得，则的()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->0(1,)x ∈+∞00()'()0g x g x +=b a
取值范围是（
）
A ．
B ．
C.
D ．(1,)-+∞(1,0)-(2,)-+∞(2,0)
-10．如图甲所示， 三棱锥 的高 ，分别在P ABC -8,3,30PO AC BC ACB ===∠=
,M N BC
和上，且，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥的体积与PO (),203CM x PN x x ==∈
（，N AMC -y 的变化关系，其中正确的是（
）
A ．
B ． C.
D ．1111]11．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若＝3＋b i ，则a －b 为（
）
2＋a i
1＋i
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
12．已知函数f （x ）满足：x ≥4，则f （x ）=；当x ＜4时f （x ）=f （x+1），则f （2+log 23）=
（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知是函数两个相邻的两个极值点，且在1,3x x ==()()()sin 0f x x ωϕω=+>()f x 3
2
x =
处的导数，则___________．302f ⎛⎫
'< ⎪⎝⎭13f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
14．二项式
展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为 ．
15．函数f （x ）=2a x+1﹣3（a ＞0，且a ≠1）的图象经过的定点坐标是 ．
16．（﹣）0+[（﹣2）3]
= ．
17．幂函数在区间上是增函数，则
．
1
22
2)33)(+-+-=m m x m m x f （()+∞,0=m 18．满足关系式{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ．
三、解答题
19．设椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．　
20．【南通中学2018届高三10月月考】设，，函数，其中是自然对数的底数，曲
线
在点
处的切线方程为
.
（Ⅰ）求实数、的值；
（Ⅱ）求证：函数存在极小值；（Ⅲ）若
，使得不等式
成立，求实数的取值范围.
21．已知矩阵M 所对应的线性变换把点A （x ，y ）变成点A ′（13，5），试求M 的逆矩阵及点A 的
坐标．
22．已知函数f （x ）=alnx+，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=2．
（I ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）当x ＞1时，不等式f （x ）＞恒成立，求实数k 的取值范围．
23．（本题10分）解关于的不等式2
(1)10ax a x -++>.
24．已知函数上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）若在上至少存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求m的取值范围．
银州区实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A 【解析】
试题分析：因为{}|5A x N x =∈< ，而，即B 、C 正确，又因为且，1.5,1,.5,1N N A A ∉-∉∴∉-∉0N ∈05<所以，即D 正确，故选A. 10A ∈考点：集合与元素的关系.2． 【答案】D 【解析】解：A ：y=的定义域[0，+∞），与y=x 的定义域R 不同，故A 错误
B ：与y=x 的对应法则不一样，故B 错误
C ：=x ，（x ≠0）与y=x 的定义域R 不同，故C 错误
D ：，与y=x 是同一个函数，则函数的图象相同，故D 正确
故选D
【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题　
3． 【答案】D
【解析】解：设内切圆与AP 切于点M ，与AF 1切于点N ，|PF 1|=m ，|QF 1|=n ，
由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，即有m ﹣（n ﹣1）=2a ，①由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF 1|=|QF 1|=n ，|MP|=|PQ|=1，|MF 2|=|NF 1|=n ，即有m ﹣1=n ，②由①②解得a=1，由|F 1F 2|=4，则c=2，
b==
，
由双曲线
﹣=1的渐近线方程为y=±x ，
即有渐近线方程为y=x ．
故选D ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．　
4．【答案】C
【解析】解：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到y=sin（2x+）的图象，
当x=0时，y=sin=，不是最值，故函数图象不关于y轴对称，
故命题p为假命题；
函数y=|2x﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．
故命题q为假命题；
则￢q为真命题；
p∨q为假命题；
p∧q为假命题，
故只有C判断错误，
故选：C
5．【答案】D
【解析】解：y=|x|（x∈R）是偶函数，不满足条件，
y=（x≠0）是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件，
y=x（x∈R）是奇函数，在定义域上是增函数，不满足条件，
y=﹣x3（x∈R）奇函数，在定义域上是减函数，满足条件，
故选：D
6．【答案】A
【解析】解：由，得3x2﹣4x+8=0．
△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．
所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x2无交点．
设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0
联立，得3x2﹣4x﹣m=0．
由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，
得m=﹣．
所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为4x+3y﹣=0．
所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是=．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．
7．【答案】A
【解析】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个单位长度，可得y=sin3（x﹣）=sin（3x﹣）的图象，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
8．【答案】B
9．【答案】A
【解析】
考
点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.
【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
10．【答案】A 【解析】
考
点：几何体的体积与函数的图象.
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系，其中解答中涉及到三棱锥的体积公式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查，本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式，利用二次函数的图象与性质得到函数的图象，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，是一道好题，题目新颖，属于中档试题.
11．【答案】
【解析】选A.由
＝3＋b i 得，2＋a i
1＋i
2＋a i ＝（1＋i ）（3＋b i ）＝3－b ＋（3＋b ）i ，∵a ，b ∈R ，
∴，即a ＝4，b ＝1，∴a －b ＝3（或者由a ＝3＋b 直接得出a －b ＝3），选A.{2＝3－b a ＝3＋b
)
12．【答案】A
【解析】解：∵3＜2+log 23＜4，所以f （2+log 23）=f （3+log 23）且3+log 23＞4
∴f （2+log 23）=f （3+log 23）
=故选A ．　
二、填空题
13．【答案】12
【解析】
考
点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式．
【思路点晴】本题主要考查两个知识点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式.三角函数的极值点，也就是最大值、最小值的位置，所以两个极值点之间为半周期，由此求得周期和，再结合极值点的导数等于零，ω可求出.在求的过程中，由于题目没有给定它的取值范围，需要用来验证.求出表达式后，ϕϕ302f ⎛⎫
'< ⎪⎝⎭
()f x 就可以求出.113f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
14．【答案】　70　．
【解析】解：根据题意二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，
则n=8，
所以二项式=
展开式的通项为
T r+1=（﹣1）r C 8r x 8﹣2r 令8﹣2r=0得r=4则其常数项为C 84=70故答案为70．
【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别．　
15．【答案】　（﹣1，﹣1）　．
【解析】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f （﹣1）=2﹣3=﹣1，即函数f （x ）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．　
16．【答案】 ．
【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]=1+（﹣2）﹣2=1+=．故答案为：．　
17．【答案】【解析】
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂
函数是偶函数，则必为偶数．当是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函
()y x
R α
α=∈αα数在上单调递增，则，若在上单调递减，则；（3）在比较幂值
()y x R α
α=∈()0,+∞α0>()0,+∞0α<
的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1
18．【答案】　4　．
【解析】解：由题意知，
满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A有：
{2，3}，{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，1，4}，
故共有4个，
故答案为：4．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…
由e==，得1﹣=，∴a=5，…
∴椭圆C的方程为+=1．…
（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…
设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…
由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…
由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…
【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．
20．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】试题分析：
（Ⅰ）利用导函数研究函数的切线，得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）中求得的函数的解析式首先求解导函数，然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存在极小值；
试题解析：
（Ⅰ）∵，∴，由题设得，∴；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴函数在
是增函数，∵，，且函数图像在上不间断，∴，使得，结合函数在是增函数有：
）
递减极小值递增
∴函数存在极小值；
（Ⅲ），使得不等式成立，即，使得不等式成立……
（*），令，，
则，
∴结合（Ⅱ）得，其中，满足，
即，∴，，∴，∴，，∴在内单调递增，
∴，
结合（*）有，即实数的取值范围为．
21．【答案】
【解析】解：依题意，由M=得|M|=1，故M ﹣1=
从而由
=
得
═
=
故A （2，﹣3）为所求．
【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，考查学生的计算能力，比较基础．　
22．【答案】
【解析】解：（I ）∵函数f （x ）=alnx+的导数为
f ′（x ）=﹣
，且直线y=2的斜率为0，又过点（1，2），
∴f （1）=2b=2，f ′（1）=a ﹣b=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得a=b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II ）当x ＞1时，不等式f （x ）＞，即为（x ﹣1）lnx+
＞（x ﹣k ）lnx ，
即（k ﹣1）lnx+
＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
令g （x ）=（k ﹣1）lnx+，g ′（x ）=
+1+
=
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
令m （x ）=x 2+（k ﹣1）x+1，①当
≤1即k ≥﹣1时，m （x ）在（1，+∞）单调递增且m （1）≥0，
所以当x ＞1时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，则g （x ）＞g （1）=0即f （x ）＞恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
②当
＞1即k ＜﹣1时，m （x ）在上（1，
）上单调递减，
且m （1）＜0，故当x ∈（1，）时，m （x ）＜0即g ′（x ）＜0，所以函数g （x ）在（1，）单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当x ∈（1，
）时，g （x ）＜0与题设矛盾，
综上可得k 的取值范围为[﹣1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
23．【答案】当1a >时，),1(1,(+∞-∞∈ a
x ，当1a =时，),1()1,(+∞-∞∈ x ，当1a 0<<时，
),1()1,(+∞-∞∈a x ，当0a =时，)1,(-∞∈x ，当0a <时，)1,1
(a
x ∈.
考
点：二次不等式的解法，分类讨论思想.24．【答案】
【解析】解：（1）∵函数上为
增函数，
∴g ′（x ）=﹣
+
≥0在，mx ﹣
≤0，﹣2lnx ﹣
＜0，
∴在上不存在一个x 0，使得f （x 0）＞g （x 0）成立．
②当m ＞0时，F ′（x ）=m+﹣
=
，
∵x ∈，∴2e ﹣2x ≥0，mx 2+m ＞0，∴F ′（x ）＞0在恒成立．故F （x ）在上单调递增，F （x ） max=F （e ）=me ﹣﹣4，
只要me ﹣
﹣4＞0，解得m ＞
．
故m 的取值范围是（
，+∞）
【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细
解答．。