2023年人教版高中数学第六章平面向量及其应用考点大全笔记

(名师选题)2023年人教版高中数学第六章平面向量及其应用考点大全笔记
单选题
1、在平行四边形ABCD 中，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2),BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,4)，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．-5B ．-4C ．-3D ．-2 答案：A
分析：根据向量的加法和减法的几何意义，结合向量的数量积运算，即可得到答案； ∵ AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB
⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴ AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2， ∴ AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=4AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =12+22−(32+42)=−20， ∴AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−5， 故选：A
2、下列命题中假命题是（ ） A ．向量AB
⃑⃑⃑⃑⃑ 与BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 的长度相等 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C ．只有零向量的模等于0 D ．共线的单位向量都相等 答案：D
分析：利用相反向量的概念可判断A 选项的正误；利用相等向量的定义可判断B 选项的正误；利用零向量的定义可判断C 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.
对于A 选项，AB
⃑⃑⃑⃑⃑ 与BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 互为相反向量，这两个向量的长度相等，A 选项正确；
对于B 选项，两个相等的向量，长度相等，方向相同，若两个相等向量的起点相同，则终点也相同，B 选项正确；
对于C 选项，只有零向量的模等于0，C 选项正确；
对于D 选项，共线的单位向量是相等向量或相反向量，D 选项错误. 故选：D.
小提示：本题考查平面向量的相关概念，考查相等向量、相反向量、共线向量以及零向量的定义的应用，属于基础题.
3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则1
2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +1
2
BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）
A ．A
B ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑
C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑
D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：D
分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB
⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以1
2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12
(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ . 故选：D.
4、已知不共线的平面向量a ,b ⃑ ,c 两两所成的角相等，且|a |=1,|b ⃑ |=4,|a +b ⃑ +c |=√7，则|c |=（ ） A ．√2B ．2C ．3D ．2或3 答案：D
分析：先求出θ=
2π3
，转化|a +b ⃑ +c |=√(a +b ⃑ +c )2=√7，列方程即可求出.
由不共线的平面向量a ，b ⃑ ，c 两两所成的角相等，可设为θ，则θ=2π
3
.设|c |=m.
因为|a |=1，|b ⃑ |=4，|a +b ⃑ +c |=√7，所以|a +b ⃑ +c |2
=7， 即a 2+2a ⋅b ⃑ +b ⃑ 2+2b ⃑ ⋅c +2a ⋅c +c 2=7， 所以12+2×1×4cos
2π3
+42+2×4×mcos
2π3
+2×1×mcos
2π3
+m 2=7
即m 2−5m +6=0，解得：m =2或3. 所以|c |=2或3 故选：D
5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =c =2a ，则cosB 等于（ ） A ．1
8B ．1
4C ．1
3D ．1
2 答案：B
分析：直接利用余弦定理计算可得. 解：因为b =c =2a ，所以cosB =a 2+c 2−b 2
2ac
=
a 2+4a 2−4a 2
2a×2a
=1
4．
故选：B
6、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =EC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CA
⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=（ ）. A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B
分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算 设AP
⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 由DB
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 知AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =3AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①， 由AE
⃑⃑⃑⃑⃑ =EC ⃑⃑⃑⃑⃑ 知AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②， 由①②得：x =15.y =2
5，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =15AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +25
AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，
而CA
⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +25AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2)=15×(62−4×22)=4 故选：B
7、已知向量a ,b ⃑ 满足|a |=2,|b ⃑ |=1,a ⋅(a −2b ⃑ )=2，则a 与b ⃑ 的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：B
分析：由题意，先求出a ⋅b
⃑ ，然后根据向量的夹角公式即可求解. 解：因为a ⋅(a −2b ⃑ )=a 2−2a ⋅b ⃑ =|a |2−2a ⋅b ⃑ =4−2a ⋅b ⃑ =2，所以a ⋅b
⃑ =1， 设a 与b ⃑ 的夹角为θ，则cosθ=a ⃑ ⋅b ⃑
|a ⃑ ||b ⃑ |=1
2
， 因为θ∈[0°,180°]， 所以θ=60°， 故选：B.
8、在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60°，点P 是△ABC 内一点（含边界），若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最大值为（ ） A ．
2√73B ．83C ．2√193D ．2√133
答案：D
分析：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立坐标系，设点P 为(x,y)，根据向量的坐标运算可得y =√3(x −2)，当直线y =√3(x −2)与直线BC 相交时|AP
⃑⃑⃑⃑⃑ |最大，问题得以解决 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， ∵AB =3，AC =2，∠BAC =60°， ∴A(0,0)，B(3,0)，C(1,√3)，
设点P 为(x,y)，0⩽x ⩽3，0⩽y ⩽√3，
∵ AP
⃑⃑⃑⃑⃑ =23
AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴(x ，y)=2
3
(3，0)+λ(1，√3)=(2+λ，√3λ)，
∴ {x =2+λy =√3λ ， ∴y =√3(x −2)，① 直线BC 的方程为y =−
√32(x −3)，②，
联立①②，解得{x =7
3
y =
√3
3
， 此时|AP
⃑⃑⃑⃑⃑ |最大， ∴|AP|=√49
9+1
3=2√13
3
， 故选：D ．
小提示：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题
9、我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，则△ABC 的面积S =√1
4[c 2a 2−(c 2+a 2−b 22
)2
].已知在△ABC 中，accosB =6,b =2√2，则△ABC 面积的最大值为（ ）
A ．√33
B ．2√33
C ．2
D ．4 答案：
D
分析：由条件accosB =6,b =2√2得a 2+c 2=20，由基本不等式得ac ≤10，再由S =√1
4[c 2a 2−(
c 2+a 2−b 22
)2
]
可求解. ∵accosB =ac ·a 2+c 2−b 2
2ac
=
a 2+c 2−
b 2
2
=6，又∵b =2√2，a 2+c 2=12+b 2=20.
∴ac ≤
a 2+c 22
=10（当且仅当a =c =√10时取等号）.
∴S △ABC
=√1
4[a 2c 2−(
a 2+c 2−
b 22
)2
]
=√1
4(a 2c 2−62)≤√1
4×(102−62)=4， ∴△ABC 面积的最大值为4. 故选：D
10、若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足3AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ －AB ⃑⃑⃑⃑⃑ －AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0→
，则△ABM 与△ABC 的面积之比为（ ） A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．2∶5 答案：B
分析：由平面向量的加法结合已知可得M 为AD 的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得. 如图，D 为BC 边的中点，
则AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =1
2(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) 因为3AM
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ －AB ⃑⃑⃑⃑⃑ －AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝0→
所以3AM
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2
3AD
⃑⃑⃑⃑⃑ 所以S △ABM =2
3S △ABD =13S △ABC . 故选：B
11、《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2√2，点P 是正八边形ABCDEFGH 的内部（包含边界）任一点，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是（ ）
A ．[−4√2,4√2]
B ．[−4√2,8+4√2]
C ．[8−4√2,8+4√2]
D ．[−4√2,8−4√2] 答案：B
分析：先求出AP
⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围即可.
如图，作AM ⊥GH 的延长线于M ，BN ⊥DC 的延长线于N ，根据正八边形的特征，可知AM =BN =2， 于是AP
⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的取值范围为[−2,2√2+2]，结合向量数量积的定义可知，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 等于AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的模与AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 在AB
⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影的乘积， 又|AB
⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√2，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为2√2×(2√2+2)=8+4√2，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为2√2×(−2)=−4√2． 则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是[−4√2,8+4√2]. 故选：B ．
12、向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(7,−5)，将AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 按向量a =(3,6)平移后得到向量A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标形式为（ ） A ．(10,1)B ．(4,−11) C ．(7,−5)D ．(3,6) 答案：C
分析：由向量平移可知，A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向相同且长度相等，即可得A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标. 因为平移后，A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向相同且长度相等，故A ′B ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(7,−5). 故选：C 双空题
13、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3acosC =4csinA ，已知△ABC 的面积等于10，b =4，则tanC =___________，a 的值为___________. 答案： 3
4
25
3
分析：首先利用正弦定理求得tanC =34，再根据同角三角函数关系求得sinC =3
5，最后根据三角形的面积公式列出关于a 的方程，解方程求得a 的值即可. 因为3acosC =4csinA ，
由正弦定理得3sinAcosC =4sinCsinA ，
在△ABC 中，sinA ≠0，所以3cosC =4sinC 即tanC =3
4，
又根据sin 2C +cos 2C =1，所以sinC =3
5， 又△ABC 的面积等于10，b =4， 所以S △ABC =1
2
absinC =1
2
a ×4×3
5
=
6a 5
=10,
所以a =
253
；
所以答案是：3
4；25
3.
小提示：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形
面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
14、如图，在△ABC 中，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13
BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE
⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λμ
=___________，λ2−μ的最小值为___________.
答案： 2 −1
16
分析：先得出AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =2
3
AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +13
AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，设出AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAD ⃑⃑⃑⃑⃑ (0<x <1)得出AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =2x 3
AB
⃑⃑⃑⃑⃑ +x 3
AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ=2x 3
,μ=x 3
，两问分别代入计算即可.
因为在△ABC 中，BD
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13
BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +13
BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +13
(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=23
AB
⃑⃑⃑⃑⃑ +13
AC ⃑⃑⃑⃑⃑ , 即AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +1
3
AC ⃑⃑⃑⃑⃑ . 因为点E 在线段AD 上移动（不含端点），所以设AE
⃑⃑⃑⃑⃑ =xAD ⃑⃑⃑⃑⃑ (0<x <1). 所以AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =2x 3
AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +x 3
AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，对比AE
⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ 可得λ=2x 3
,μ=x 3
. 代入λ=
2x 3
,μ=x 3
，得λ
μ
=
2x
3x 3
=2；
代入λ=
2x 3
,μ=x
3可得λ2
−μ=(2x 3)2
−x
3=
4x 29
−x
3(0<x <1)，根据二次函数性质知当x =−
−
132×49
=3
8时，
(λ2−μ)min =4
9×(38)2
−1
3×3
8=−1
16.
所以答案是：2;−1
16
15、在△ABC 中，∠A =60°，AC =2，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =√3|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |，则AB =______；若AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =λEC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，CF ⃑⃑⃑⃑⃑ =λFB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，λ>0，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为______． 答案： 1+√3
3−√34
分析：①利用向量的数量的的定义及向量的投影，即可求出AB ； ②将AE ⃑⃑⃑⃑⃑ 和BF ⃑⃑⃑⃑⃑ 分别用AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 和AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示代入AE
⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BF ⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用基本不等式求解即可. ①
如图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，因为BA
⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =√3|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |， 所以|BA
⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cos∠ABC =√3|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |，所以|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cos∠ABC =√3，即BD =√3， 又∠A =60∘，AC =2，所以|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cos∠A =2cos60∘=1，即AD =1, 所以AB =1+√3；
②因为AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =λEC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，CF ⃑⃑⃑⃑⃑ =λFB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =λ1+λ
AC
⃑⃑⃑⃑⃑ ,BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =11+λBC
⃑⃑⃑⃑⃑ , 所以AE
⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =λ(1+λ)2
AC
⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =λ(1+λ)2
AC
⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=λ
(1+λ)2
(AC
⃑⃑⃑⃑⃑ 2−AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =
λ(1+λ)2
(|AC
⃑⃑⃑⃑⃑ |2−|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ||AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |cos∠A) =λ
λ2+2λ+1
⋅(3−√3)
=
3−√3
λ+1λ
+2≤√32√λ⋅1
λ
+2
3−√34
，当且仅当λ=1
λ
，即λ=1时，等号成立.
所以AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为3−√34. 所以答案是：1+√3；
3−√34
.
小提示：关键点点睛：本题的关键是灵活应用向量的投影及用基底法表示向量.
16、已知A(−1,−2),B(1,8),C(x,11
2)三点共线，则AC
⃑⃑⃑⃑⃑ =λCB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ=______，x =______. 答案： 3 1
2
分析：根据向量的坐标计算法则求出AC
⃑⃑⃑⃑⃑ ,CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，再根据向量坐标的运算律求解即可 由A(−1,−2),B(1,8),C(x,11
2)，可得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x +1,152),CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−x,52
)， 因为AC
⃑⃑⃑⃑⃑ =λCB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，即(x +1,152)=λ⋅(1−x,52
)，
可得{x+1=λ(1−x)
15
2
=λ5
2
，解得λ=3,x=1
2
.
所以答案是：3，1
2
.
17、实数与向量的积的坐标
已知a=(x,y)和实数λ，则λa=__________．
结论：实数与向量的积的坐标等于___________．
答案：(λx,λy)用这个实数乘原来向量的相应坐标
分析：根据向量数乘运算的方法直接得到结果.
∵a=(x,y)，λ∈R，∴λa=(λx,λy)；
则实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
所以答案是：(λx,λy)；用这个实数乘原来向量的相应坐标.
解答题
18、如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且BC=CD，设∠COB=θ；
（1）当θ=π
12
时，求四边形ABCD的面积.
（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l的最大值.
答案：（1）√6−√2
4+1
4
；（2）5
分析：（1）把四边形ABCD分解为三个等腰三角形：△COB,△COD,△DOA，利用三角形的面积公式即得解；
（2）利用θ表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示BC，CD和DA，令t=sinθ
2
，转化为二
次函数的最值问题，即得解.
（1）连结OD ，则∠COD =π12,∠AOD =5π6
∴四边形ABCD 的面积为2×12×1×1×sin π12+12×1×1×sin 5π6=
√6−√24+14
（2）由题意，在△BOC 中，∠OBC =π−θ2，由正弦定理
BC sinθ=OB sin(π−θ2)=1cos θ2∴BC =CD =sinθcos θ2
=2sin θ2 同理在△AOD 中，∠OAD =θ,∠DOA =π−2θ，由正弦定理
DA sin(π−2θ)=OD sinθ∴DA =sin2θsinθ
=2cosθ ∴l =2+4sin θ2+2cosθ=2+4sin θ2+2(1−2sin 2θ2),0<θ<π2
令t =sin θ2(0<t <√22
) ∴l =2+4t +2(1−2t 2)=4+4t −4t 2=−4(t −12
)2+5 ∴t =12时，即θ=π3，l 的最大值为5 小提示：本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题
19、在下图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点.
（1）写出与A 1A 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 相等的向量；
（2）写出与A 1B 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 平行的向量；
（3）写出A 1A 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的负向量.
答案：（1）A 2A 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 1B 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 2B 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，C 1C 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，C 2C 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ；
（2）A 1C 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，A 2B 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 1C 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 2C 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 2A 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 3A 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，C 2B 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，C 3B 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，C 3A 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ；
（3）A 3A 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 3B 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，C 3C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑
分析：（1）根据相等向量的概念进行寻找，注意方向要相同，大小（长度）要相等, 表示向量的有向线段可以共线也可以平行；
（2）根据平行向量的概念进行寻找，注意方向可以相同或相反，长度可以相同也可以不同, 表示向量的有向线段可以共线也可以平行；
（3）根据负向量的概念寻找，注意方向要相反，长度要相等，表示向量的有向线段可以共线也可以平行.
（1）如图①标出了与A 1A 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 方向相同，大小相等的向量，是与A 1A 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 相等的向量，有A 2A 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 1B 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 2B 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，C 1C 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，
C 2C 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ；
（2）与A 1B 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 平行的向量是指与A 1B 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 方向相同或相反的向量，长度可以相等也可以不相等，故有A 1C 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，A 2B 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 1C 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 2C 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 2A 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 3A 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，C 2B 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，C 3B 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，C 3A 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，如图②所示；
（3）A 1A 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的负向量是指方向相反，长度相等的向量，故有A 3A 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 3B 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，C 3C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，如图③所
示.
20、在平行四边形ABCD 中，点N 在BD 上，BN =13BD ，M 为AB 中点，求证：M ，N ，C 三点共线.
答案：证明见解析
分析：利用向量的运算及向量共线定理可得. 证明：如图，因为M 为AB 中点，
所以MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12AB
⃑⃑⃑⃑⃑ . 因为BN =13
BD ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以BN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13
(BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ). 所以MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =16
(2BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ). 因为MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −12
BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =3MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，MN
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 是共线向量，即M ，N ，C 三点共线.。