2011年《新高考数学全案》高考数学总复习配套测评卷单元检测卷(七)立体几何(文科)新人教版

2011年《新高考全案》高考总复习配套测评卷
单元检测卷(七)立体几何(文科)
时间：90分钟 满分：150分
一、选择题(共8小题，每小题7分，满分56分)
1．图(1)中的几何体是由哪个平面图形绕虚线旋转得到的
( )
[答案] A
2．(2009·某某，5)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1
2
，则该几何体的俯视图可以是 ( )
[答案] C
3．(2009·某某，9)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 [答案] B
4．若l ，m ，n 是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
( )
A ．若α∥β，l ⊂α，n ⊂β，则l ∥n
B ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥β
C ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥m
D ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β [答案] D
5．(2007·)平面α∥平面β的一个充分条件是
( )
A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β
B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥β
C ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α
D ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α [答案] D
6．(2009·某某、某某，9)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两
个动点E ，F ，且EF ＝1
2
，则下列结论中错误的是
( )
A ．AC ⊥BE
B ．EF ∥平面ABCD
C ．三棱锥A －BEF 的体积为定值
D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 [答案] D
7．(2009·某某，6)如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是
( )
A ．P
B ⊥AD
B ．平面PAB ⊥平面PB
C C ．直线BC ∥平面PAE
D ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45° [答案] D
8．(2008·某某高考题)设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 且与l 、α都成30°角的直线有且只有
( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
[解析] 所求直线在平面α内的射影必与直线l 平行，这样的直线只有两条，选B. [答案] B
二、填空题(共6小题，每小题7分，满分42分)
9．三棱锥S －ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S －ABC 的表面积是________．
[解析] 设侧棱长为a ，则2a ＝2，a ＝2，
侧面积为3×12×a 2＝3，底面积为34×22
＝3，
表面积为3＋ 3.
[答案] 3＋ 3
10．(2008·某某)若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． [答案] 12π
11．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱PA ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，则它的5个面中，互相垂直的面有________对．
[解析] 面PAB ⊥面PAD ，
面PAB ⊥面ABCD ，面PAB ⊥面PBC ，面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ⊥面PCD . [答案] 5
12．已知a 、b 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β ③若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a ∥b
④若α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，则a ∥b 其中正确命题的序号有________． [答案] ①④
13．平面几何中，正三角形中任一点到三条边的距离之和为定值．类比这一性质，在空间中相应的结论是：________.
[答案] 正四面体中任一点到四个面的距离之和为定值．
14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AC 与BC 1所成的角的大小为________． [解析] 将BC 1平移至AD 1处，∠D 1AC 就是所求的角，又△AD 1C 为正三角形． ∴∠D 1AC ＝60°. [答案] 60°
三、解答题(共4小题，满分52分)
15．(2007·某某)(本小题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .
[解] 由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h 2的等腰三角形，如图所示．
(1)几何体的体积为 V ＝13·S 矩形·h ＝1
3
×6×8×4＝64. (2)正侧面及相对侧面底边上的高为： h 1＝42＋32＝5.
左、右侧面的底边上的高为： h 2＝42＋42＝4 2.
故几何体的侧面面积为：
S ＝2×(12×8×5＋12
×6×42)
＝40＋24 2.
16．(2009·某某，18)(本小题满分12分)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1分别是棱AD ，AA 1的中点．
(1)设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1； (2)证明：平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C .
[证明] (1)方法一：取A 1B 1的中点为F 1，连接FF 1，C 1F 1，
由于FF 1∥BB 1∥CC 1，所以F 1∈平面FCC 1，因此平面FCC 1即为平面C 1CFF 1.
连接A 1D ，F 1C ，由于A 1F 1綊D 1C 1綊CD ，所以四边形A 1DCF 1为平行四边形，因此A 1D ∥F 1C .又EE 1∥A 1D ，得EE 1∥F 1C ，而EE 1⊄平面FCC 1，F 1C ⊂平面FCC 1，故EE 1∥平面FCC 1.
方法二：因为F 为AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AB ∥CD ，所以CD 綊AF ，因此四边形AFCD 为平行四边形，所以AD ∥FC .又CC 1∥DD 1，FC ∩CC 1＝C ，FC ⊂平面FCC 1，CC 1⊂平面FCC 1，所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1，又EE 1⊂平面ADD 1A 1，所以EE 1∥平面FCC 1.
(2)连接AC ，在△FBC 中，FC ＝BC ＝FB ，
又F 为AB 的中点，所以AF ＝FC ＝FB ，因此∠ACB ＝90°，即AC ⊥BC .又AC ⊥CC 1，且CC 1∩BC ＝C ，所以AC ⊥平面BB 1C 1C ，而AC ⊂平面D 1AC ，故平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C .
17．(2008·某某文)(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，已知BD ＝＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.
(1)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； (2)求四棱锥P ABCD 的体积． (1)[证明] 在△ABD 中，
由于AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45，
所以AD 2＋BD 2＝AB 2
. 故AD ⊥BD .
又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD ，
又BD ⊂平面MBD ， 故平面MBD ⊥平面PAD .
(2)[解] 过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ， 由于平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .
因此PO 为四棱锥P ABCD 的高， 又△PAD 是边长为4的等边三角形．
因此PO ＝3
2
×4＝2 3.
在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，
所以四边形ABCD 是梯形，在Rt△ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845
＝85
5，此即为梯形
ABCD 的高，
所以四边形ABCD 的面积S ＝25＋452×85
5
＝24.
故V P ABCD ＝1
3×24×23＝16 3.
18．(2009·某某某某)(本小题满分14分)如图所示，等腰△ABC 的底边AB ＝66，高CD ＝3，点E 是线段BD 上异于点B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ，记BE ＝x ，V (x )表示四棱柱P －ACFE 的体积．
(1)求证：面PEF ⊥面ACFE ；
(2)求V (x )的表达式，并求当x 为何值时V (x )取得最大值？
(1)[证明] 由折起的过程可知，PE ⊥EF .又PE ⊥AE ，AE ∩EF ＝E ， ∴PE ⊥面ACFE .又PE ⊂面PEF ， ∴面PEF ⊥面ACFE .
(2)[解] 由(1)知PE ⊥面ACFE ，则PE 即为四棱锥P －ACFE 的高．
而S △ABC ＝96，S △BEF ＝12x ·x 6＝x 2
26，
∴V (x )＝V P －ACB －V P －BEF
＝13(12×66×3－x 226
)x ＝63x ·(9－x
2
12
)，(0＜x ＜36)． ∴V ′(x )＝63×(9－x
2
4)，所以当0＜x ＜6时，V ′(x )＞0，V (x )单调递增；当6＜x ＜36
时，V ′(x )＜0，V (x )单调递减．因此当x ＝6时，V (x )取得最大值12 6.。