2019秋高中数学 第三章 三角恒等变换 单元评估验收(三)(含解析)新人教A版必修4.doc

单元评估验收(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．2sin 2
15°－1的值是( ) A.12
B ．－12
C.
32
D ．－32
解析：2sin 215°－1＝－(1－2sin 2
15°)＝－cos 30°＝－32
. 答案：D
2．在△ABC 中，已知sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形
D ．等腰三角形
解析：sin A sin B ＜cos A cos B ，即sin A sin B －cos A cos B ＜0，－cos(A ＋B )＜0，所以cos C ＜0，从而C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．
答案：B 3．已知cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π2＋α＝35
，－π2＜α＜0，则sin 2α的值是( )
A.2425
B.12
25
C ．－1225
D ．－2425
解析：由已知得sin α＝－35，又－π
2＜α＜0，
故cos α＝4
5
，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×4
5＝－2425.
答案：D
4．函数f (x )＝sin x cos x ＋3
2
cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1
B ．π，2
C ．2π，1
D ．2π，2
解析：因为f (x )＝sin x cos x ＋3
2
cos 2x ＝12sin 2x ＋3
2cos 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，
所以函数f (x )的最小正周期和振幅分别是π，1. 答案：A
5．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝23
3，则tan A tan B 的值为( )
A.14
B.13
C.12
D.53
解析：△ABC 中，C ＝120°，得A ＋B ＝60°， 所以(tan A ＋tan B )＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝ 3(1－tan A tan B )＝23
3.
所以tan A tan B ＝1
3.
答案：B
6．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋2α＝( ) A ．－3
B ．－17
C ．－4
3
D ．－7
解析：由α为锐角，cos α＝
55，得sin α＝255，所以tan α＝2，tan 2α＝2tan α
1－tan 2α
＝41－4＝－43，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝1＋tan 2α1－tan 2α
＝1－
4
31＋
43
＝－17. 答案：B
7．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin α的值为( ) A.
4－2
6
B.4＋26
C.718
D.23
解析：由题意可得，α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4，3π4，
所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝
1－cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，
sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4·sin π4
＝
223×22－13×22
＝
4－2
6
. 答案：A
8．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α
的值为( ) A ．－5
B ．－6
C ．－7
D ．－8
解析：将方程sin α－cos α＝－
5
2
两边平方， 可得1－sin 2α＝54，即sin 2α＝－1
4
，
则tan α＋
1
tan α＝tan 2
＋1tan α
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin αcos α2
＋1sin αcos α
＝
2sin 2α＝2
－1
4
＝－8.
答案：D
9．已知cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝3
5，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( )
A.
－43－310
B.43－310
C.12
D.32
解析：由cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝3
5，且0<x <π，得
0<x ＋π6<π
2
，
所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝4
5，
所以sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin π6＝45×32－35×
12＝
43－3
10
. 答案：B
10．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋3π5＝( ) A ．－7
8
B.78
C.18
D ．－18
解析：由题意可得，
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋3π5＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫α＋3π10
＝cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π5－α
＝2cos 2
⎣⎢⎡⎦⎥
⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π5－α－1
＝2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π5－α－1 ＝－7
8.
答案：A
11．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )
A.π4
B.π2
C.3π4
D ．π
答案：A
12．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π
2)的最小正周期为π，
且f (－x )＝f (x )，则( )
A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减
B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上单调递减
C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增
D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
，3π4上单调递增 解析：f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)
＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos （ωx ＋φ）·cos π4＋sin （ωx ＋φ）·sin π4
＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（ωx ＋φ）－π4 ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4 因为f (x )的最小正周期为π， 所以2π
ω
＝π，ω＝2.
又f (－x )＝f (x )，即f (x )是偶函数， 所以φ－π
4
＝k π(k ∈Z)．
因为|φ|＜π2，所以φ＝π
4，
所以f (x )＝2cos 2x ，
由0＜2x ＜π得0＜x ＜π
2，此时，f (x )单调递减．
答案：A
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知2cos 2
x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________． 解析：因为2cos 2
x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1＝A sin(ωx ＋φ)
＋b ，所以A ＝2，b ＝1.
答案： 2 1
14．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________． 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝16，解得tan α＝75. 答案：7
5
15．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22·sin 2
x 的最小正周期是________．
解析：由f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2
x
＝
22sin 2x －22cos 2x －22×1－cos 2x
2 ＝
22sin 2x ＋2
2
cos 2x － 2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，
故最小正周期为π. 答案：π
16.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于________．
解析：题图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，故每个直角三角形的面积为
6.设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则有⎩⎪⎨⎪
⎧a 2＋b 2
＝25，12
ab ＝6，
所以两条直角边的长分别为3，4. 则cos θ＝45，cos 2θ＝2cos 2
θ－1＝725.
答案：7
25
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知0＜α＜π2，sin α＝4
5.
(1)求sin 2
α＋sin 2α
cos 2α＋cos 2α的值；
(2)求tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－5π4的值． 解：(1)由0＜α＜π2，sin α＝45，得cos α＝3
5.
所以sin 2
α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2
α＋2sin αcos α
3cos 2
α－1
＝ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫452
＋2×45×353×⎝ ⎛⎭
⎪⎫352－1
＝20.
(2)因为tan α＝sin αcos α＝4
3
，
所以tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－1
1＋43
＝17. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝
⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1.
(2)f ⎝
⎛⎭⎪⎫2θ＋π3
＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4 ＝cos 2θ－sin 2θ.
因为cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， 所以sin θ＝－4
5
.
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－24
25.
cos 2θ＝cos 2θ－sin 2
θ＝－725
.
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝1725. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2
x . (1)求f (x )的最大值；
(2)若tan α＝23，求f (α)的值． 解：(1)f (x )＝3sin 2x －2cos 2
x ＝3sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 当2x －π6＝2k π＋π
2
，
即x ＝k π＋π
3，k ∈Z 时，f (x )的最大值为1.
(2)f (α)＝3sin 2α－2cos 2
α ＝23sin αcos α－2cos 2
αsin 2α＋cos 2
α ＝
23tan α－2
tan 2
α＋1
， 因为tan α＝23，
所以f (α)＝23×23－24×3＋1＝10
13
.
20．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)且m·n ＝1，且A 为锐角．
(1)求角A 的大小；
(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域．
解：(1)由题意得m·n ＝3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6＝1
2.
由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π
3.
(2)由(1)知cos A ＝1
2
，
所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2
x ＋2sin x ＝ －2⎝
⎛⎭⎪⎫sin x －122
＋32. 因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1，1]，
因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值3
2，当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3，
所以所求函数f (x )的值域为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.
21．(本小题满分12分)(2018·上海卷)设常数a ∈R ，函数f (x )＝a sin 2x ＋2cos 2
x . (1)若f (x )为偶函数，求a 的值；
(2)若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝3＋1，求方程f (x )＝1－2在区间[－π，π]上的解．
解：(1)f (x )＝a sin 2x ＋2cos 2
x －1＋1＝a sin 2x ＋cos 2x ＋1，
f (－x )＝a sin(－2x )＋cos(－2x )＋1＝－a sin 2x ＋cos 2x ＋1，
当f (x )为偶函数时，f (x )＝f (－x )，则a ＝－a ， 解得a ＝0.
(2)f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝a sin π2＋2cos 2π
4，
由题意f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝a ＋1＝3＋1，所以a ＝3，
所以f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2
x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，
当x ∈[－π，π]时，即2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－11π6，13π6， 令f (x )＝1－2，则2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝1－2，
解得：x ＝－1124π，－524π，1324π，19
24
π.
22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．
(1)求f ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π4的值；
(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解：法一 (1)f ⎝
⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝
－2cos π4⎝
⎛
⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.
(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2
x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，
所以T ＝2π
2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z.
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.
法二 f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2
x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.
(1)f ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)因为T ＝2π
2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z.
所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.。