基于改进FCM和径向基函数插值的图像修复_尹宝勇
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第 35 卷 第 3 期 2014 年 6 月
江西理工大学学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Vol.35, No.3 Jun. 2014
文章编号：２０９５－３０４６（２０１４）０３－００７３－０６ DOI：１０．１３２６５／ｊ．ｃｎｋｉ．ｊｘｌｇｄｘｘｂ．２０１４．０３．０１４
尹宝勇，等：基于改进 FCM 和径向基函数插值的图像修复
75
方 图 对 聚 类 数 目 进 行 确 定[10]，为 解 决 FCM 算 法 易 覬（·）就是径向基函数. 由隐式曲面方程构建隐式曲
受到初始聚类中心影响和陷入局部最优的问题，将 面，然后对插值曲面进行重采样，得到图像破损区
确 定 的 聚 类 数 目 作 为 改 进 的 FCM 算 法 的 问 题 规 域的像素灰度值用以修复图像.
1 FCM 算法理论
Bezdek 提 出 的 FCM 算 法 是 早 期 硬 C 均 值 聚
类（Hard C-Means，HCM）方法的一种改进. 模糊聚
类算法是一种基于目标函数的聚类方法，其把聚类
归结成为带约束的非线性规划问题，通过优化求解
获得数据集的模糊划分和聚类[8].
将数据集 X={x1，x2，…，xk，…，xn}∈Rn×p 划 分 为 c 类 ，且 X 的 任 意 样 本 xk（k=1，… ，n）属 于 第 i （i=
模. 改进的 FCM 算法步骤如下：
步骤 1， 构造图像 I 的灰度-梯度直方图对灰
度的投影直方图 f（x），对 f（x）进行高斯卷积运算，
设定阈值求解出聚类数目 C，即 DE 算法的问题规
模的维数 D；
步骤 2，随机产生初始聚类中心 V，根据式（2），
计算隶属度矩阵
U（1），若
d j（kl）=‖xk-vj‖ （2l）=0 ， 则
f
[Ui（t+1）]＜ f [Xi（t）] 其他
（7）
3 改进的 FCM 算法
件为：
Σ ‖c
uik＝1/
j=1
dik djk
‖2/（m-1） ，坌i,k
传统 FCM 算法的聚类数目需要用户将其作为
（2） 初始化的参数预先设置，合适的聚类数目往往是实 现最优聚类的关键. 首先构建图像的灰度-梯度直
第 35 卷 第 3 期
基于改进 ＦＣＭ 和径向基函数插值的图像修复
尹宝勇， 刘 慧， 刘建生
（江西理工大学理学院， 江西 赣州 341000）
摘 要：图像破损区域的检测提取是图像修复过程中的关键预处理步骤，模糊 C 均值聚类算法 （FCM） 在聚类过程中易受到初始聚类中心影响并陷入局部最优. 提出一种基于差分演化的改进 模糊 C 均值聚类算法(DEFCM)，该方法通过建立图像的灰度-梯度直方图获取聚类数目，作为差 分演化算法（DE）问题的维数，结合改进的 FCM 自适应提取图像破损区域，在此基础上，利用径 向基函数插值方法(RBF)对图像进行修复. 经实验验证，该方法能解决 FCM 算法陷入局部最优的 问题，能正确、稳定的提取灰度图像的多种破损区域，RBF 通过对破损区域的插值得到缺失信息， 实现图像的修复. 关键词：图像修复；模糊 C 均值聚类；差分演化；径向基函数插值 中图分类号：TP391 文献标志码：A
NP 个个体：
Xi， j（t）=Xmin，j+randj（）（Xmax，j-Xmin，j） i=1，2，…,D （4） 其 中 randj（）是[0,1]区 间 均 匀 分 布 的 随 机 数 ，[Xmin，j， Xmax，j]是问题搜索空间在第 j 维搜索上界和下界，D 为问题的维数.
（2）变 异 操 作. 在 每 一 代 搜 索 中 ，通 过 变 异 操
数，CR∈[0,1]是交叉概率，rnbr（i）∈[1,D]是 随 机 选
择的某一维，确保至少有一个分量来源于目标个体
Vi（t）. （4）选择操作. DE 算法采用贪婪选择策略，即
对测试个体 Ui（t+1）要 和 当 前 个 体 Xi（t）择 优 进 入 下一代搜索. 即
Σ Xi（t＋1）＝
Ui（t+1）， Xi（t），
1，2， … ，c） 类 的 隶 属 度 可 用 函 数 uik（0≤uik≤1） 表
示. FCM 聚类算法的目标函数定义为：
c
Σ J軃 （U，V，λ1，…，λn）=J(U,V)+λ（ uik-1）= i=1
cn
c
ΣΣ Σ u m ik
d2 ik
+λ（
uik-1） （1）
i = 1k = 1
i=1
其中，U= Σuik Σ为模糊聚类矩阵，V= Σv1，v2，…，vc Σ为
0引言
图像修复是长期以来在图像处理和计算机视 觉领域中的一个研究热点. 图像修复是指对图像 中缺失信息的局部区域进行修补或删除图像中某
些多余的物体，以恢复其完整性、连续性和自然的 视觉效果.
目前图像修复主要存在两种技术：一种是基于 非纹理结构的图像修复技术，主要方法是基于偏微 分 方 程 （PDE） 的 数 字 图 像 修 复 算 法 [1-3]； 另 一 种 是 基 于纹理结构的图像修复技术，主要的方法是基于图
收 稿 日 期 ：2014-01-20 基 金 项 目 ：江 西 省 教 育 厅 青 年 科 学 基 金 项 目 （GJJ13377 ） 作者简介：尹宝勇（1978- ），男，讲师，主要从事人工智能和图像处理等方面的研究，E-mail:yinbaoyong@.
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江西理工大学学报
（3）交叉操作. 为了增加种群的多样性，DE 算
法引入了交叉操作产生测试个体 Ui （t+1）. 按照下 面公式进行产生：
Σ Ui， j
（t+1）＝
Vi， j（t+1），if randj（） ＜CR 或者 j=rnbr（i）
Xi， j（t+1），
其他
（6）
其中，j=1，2，…,D，randj（） 是[0,1]间均匀分布的随机
2014 年 6 月
像分解的图像修复算法和基于块的纹理合成算
n
n
法 . [4-6] 上述两种技术都遵循以下步骤：①由人工选
Σ Σ vi＝
uik xk /
um ik
，坌k
k=1
1
（3）
定并标志需要修复的破损区域；②寻找破损区域周
围的图像信息， 通过某种算法向破损区域内部扩 散，直到所有缺失像素点修复完毕. 对于自动识别
作对当前的每个个体 Xi（t）按照如下方法产生目标 个体 Xi， j（t+1）：
Xi， j（t+1）＝Xi1， j（t）＋F（Xi2， j（t）-Xi3， j（t））
（5）
其 中 i=1，2，…,N， i1, i2， i3∈{1，2，…,NP}且 i1≠
i2≠i3，参数 F 是[0,2]之间的缩放比例因子.
项，执行公式（2）、公式（1），计算适应度；
步 骤 7， 重 复 执 行 步 骤 4~6 直 到 达 到 给 定 的
最大代数.
4 径向基函数插值
径向基函数插值法[11-13]是多个数据插值方法的 组合，引入平滑因子，并以插值点与离散点之间的 距离作为基函数来确定权值并进行插值的数据插
引用划分系数和划分熵对图像分割效果进行
2 差分演化算法
图像的待修复区域，实现图像自动修复功能在数字 图像修复领域依然是一个难题.
模糊 C-均值聚类算法（FCM）是一种典型的无 监督模糊聚类算法，具有局部收敛性，适合于图像 分割,但是算法需要给出初始聚类数目和中心，且容 易陷入局部最优. 运用改进的 FCM 算法自适应提 取图像的破损区域, 通过建立图像的灰度-梯度直 方图确定初始聚类数目,将其作为差分演化算法的 问题规模结合 FCM 对图像信息进行自适应分割[7]， 划分出图像中所包含的颜色区域进行破损区域的 提 取 ， 再 结 合 径 向 基 函 数 插 值 （RBF） 的 方 法 进 行 图 像修复. 实验表明，利用差分演化（DE）算法的全局 搜索特性， 解决 FCM 算法依赖于初始聚类中心和 易陷入局部极值的问题， 结合 RBF 产生的结构更 合理，修复效果更加自然.
Digital image inpainting by DEFCM and RBF interpolation
YIN Bao-yong, LIU Hui, LIU Jian-sheng
(School of Science, Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou 341000, China)
c 个聚类中心的集合，m∈[1,∞） 为加权指数，dik 为样
本 xk 到第 i 类中心 vi 的欧氏距离，即：dik=‖xk-vi‖A；
λ 是拉格朗日乘子， 对目标函数求极值得必要条
差分进化算法（Differential Evolution, DE）最初
是 由 R. Storn 与 K. Price 提 出 的 一 种 基 于 群 体 的
Abstract: Detecting damaged areas of an image to extract is an essential step of pretreatment in the image restoration process. Fuzzy C-Means clustering algorithm (FCM) in the process of cluster is susceptible to initial cluster centers into a local optimum. A method for digital image inpainting based on Different Evolution Fuzzy C-Means (DEFCM) and Radial Basis Functions (RBF) interpolation is proposed. Through the establishment of gray - gradient histogram, it obtains the number of clustering as dimension of Differential Evolution algorithm (DE), combining with FCM adaption to extract damaged areas, and inpaint them by radial basis function interpolation. The experimental results show that the proposed algotithm can solve the problem of FCM algorithm falling into the local optimum, and can extract grayscale image from various damaged areas correctly and stably; the missing information can be restored correctly in the damaged areas by RBF interpolation algorithm to get the image inpainted . Key words：digital image inpainting; fuzzy C-means; differential evolution; radial basis functions
u
= （l）
jk
1，且对 k≠j，有 uj（kl）=0；
步骤 3，由 模 糊 聚 类 目 标 函 数 公 式 （1）计 算 适
应度；
步骤 4，利用公式（5），对当前种群个体进行变
异产生变异个体；
步骤 5，利 用 公 式 （6）进 行 交 叉 操 作 生 成 测 试
个体；
步 骤 6， 利 用 公 式 （7）， 从 结 果 中 选 择 最 好 的
随 机 搜 索 算 法 ， 差 分 进 化 算 法 [9]保 留 了 基 于 种 群 的
全局搜索策略，采用实数编码、基于差分的变异操
作和一对一的竞争生存策略，降低了进化操作的复
杂性. DE 算法通过执行变异、交叉、选择操作引导
种群搜索向全局最优解逼近. 算法的主要流程：
（1） 生 成 初 始 种 群 ， 在 问 题 搜 索 空 间 随 机 产 生
江西理工大学学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Vol.35, No.3 Jun. 2014
文章编号：２０９５－３０４６（２０１４）０３－００７３－０６ DOI：１０．１３２６５／ｊ．ｃｎｋｉ．ｊｘｌｇｄｘｘｂ．２０１４．０３．０１４
尹宝勇，等：基于改进 FCM 和径向基函数插值的图像修复
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方 图 对 聚 类 数 目 进 行 确 定[10]，为 解 决 FCM 算 法 易 覬（·）就是径向基函数. 由隐式曲面方程构建隐式曲
受到初始聚类中心影响和陷入局部最优的问题，将 面，然后对插值曲面进行重采样，得到图像破损区
确 定 的 聚 类 数 目 作 为 改 进 的 FCM 算 法 的 问 题 规 域的像素灰度值用以修复图像.
1 FCM 算法理论
Bezdek 提 出 的 FCM 算 法 是 早 期 硬 C 均 值 聚
类（Hard C-Means，HCM）方法的一种改进. 模糊聚
类算法是一种基于目标函数的聚类方法，其把聚类
归结成为带约束的非线性规划问题，通过优化求解
获得数据集的模糊划分和聚类[8].
将数据集 X={x1，x2，…，xk，…，xn}∈Rn×p 划 分 为 c 类 ，且 X 的 任 意 样 本 xk（k=1，… ，n）属 于 第 i （i=
模. 改进的 FCM 算法步骤如下：
步骤 1， 构造图像 I 的灰度-梯度直方图对灰
度的投影直方图 f（x），对 f（x）进行高斯卷积运算，
设定阈值求解出聚类数目 C，即 DE 算法的问题规
模的维数 D；
步骤 2，随机产生初始聚类中心 V，根据式（2），
计算隶属度矩阵
U（1），若
d j（kl）=‖xk-vj‖ （2l）=0 ， 则
f
[Ui（t+1）]＜ f [Xi（t）] 其他
（7）
3 改进的 FCM 算法
件为：
Σ ‖c
uik＝1/
j=1
dik djk
‖2/（m-1） ，坌i,k
传统 FCM 算法的聚类数目需要用户将其作为
（2） 初始化的参数预先设置，合适的聚类数目往往是实 现最优聚类的关键. 首先构建图像的灰度-梯度直
第 35 卷 第 3 期
基于改进 ＦＣＭ 和径向基函数插值的图像修复
尹宝勇， 刘 慧， 刘建生
（江西理工大学理学院， 江西 赣州 341000）
摘 要：图像破损区域的检测提取是图像修复过程中的关键预处理步骤，模糊 C 均值聚类算法 （FCM） 在聚类过程中易受到初始聚类中心影响并陷入局部最优. 提出一种基于差分演化的改进 模糊 C 均值聚类算法(DEFCM)，该方法通过建立图像的灰度-梯度直方图获取聚类数目，作为差 分演化算法（DE）问题的维数，结合改进的 FCM 自适应提取图像破损区域，在此基础上，利用径 向基函数插值方法(RBF)对图像进行修复. 经实验验证，该方法能解决 FCM 算法陷入局部最优的 问题，能正确、稳定的提取灰度图像的多种破损区域，RBF 通过对破损区域的插值得到缺失信息， 实现图像的修复. 关键词：图像修复；模糊 C 均值聚类；差分演化；径向基函数插值 中图分类号：TP391 文献标志码：A
NP 个个体：
Xi， j（t）=Xmin，j+randj（）（Xmax，j-Xmin，j） i=1，2，…,D （4） 其 中 randj（）是[0,1]区 间 均 匀 分 布 的 随 机 数 ，[Xmin，j， Xmax，j]是问题搜索空间在第 j 维搜索上界和下界，D 为问题的维数.
（2）变 异 操 作. 在 每 一 代 搜 索 中 ，通 过 变 异 操
数，CR∈[0,1]是交叉概率，rnbr（i）∈[1,D]是 随 机 选
择的某一维，确保至少有一个分量来源于目标个体
Vi（t）. （4）选择操作. DE 算法采用贪婪选择策略，即
对测试个体 Ui（t+1）要 和 当 前 个 体 Xi（t）择 优 进 入 下一代搜索. 即
Σ Xi（t＋1）＝
Ui（t+1）， Xi（t），
1，2， … ，c） 类 的 隶 属 度 可 用 函 数 uik（0≤uik≤1） 表
示. FCM 聚类算法的目标函数定义为：
c
Σ J軃 （U，V，λ1，…，λn）=J(U,V)+λ（ uik-1）= i=1
cn
c
ΣΣ Σ u m ik
d2 ik
+λ（
uik-1） （1）
i = 1k = 1
i=1
其中，U= Σuik Σ为模糊聚类矩阵，V= Σv1，v2，…，vc Σ为
0引言
图像修复是长期以来在图像处理和计算机视 觉领域中的一个研究热点. 图像修复是指对图像 中缺失信息的局部区域进行修补或删除图像中某
些多余的物体，以恢复其完整性、连续性和自然的 视觉效果.
目前图像修复主要存在两种技术：一种是基于 非纹理结构的图像修复技术，主要方法是基于偏微 分 方 程 （PDE） 的 数 字 图 像 修 复 算 法 [1-3]； 另 一 种 是 基 于纹理结构的图像修复技术，主要的方法是基于图
收 稿 日 期 ：2014-01-20 基 金 项 目 ：江 西 省 教 育 厅 青 年 科 学 基 金 项 目 （GJJ13377 ） 作者简介：尹宝勇（1978- ），男，讲师，主要从事人工智能和图像处理等方面的研究，E-mail:yinbaoyong@.
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江西理工大学学报
（3）交叉操作. 为了增加种群的多样性，DE 算
法引入了交叉操作产生测试个体 Ui （t+1）. 按照下 面公式进行产生：
Σ Ui， j
（t+1）＝
Vi， j（t+1），if randj（） ＜CR 或者 j=rnbr（i）
Xi， j（t+1），
其他
（6）
其中，j=1，2，…,D，randj（） 是[0,1]间均匀分布的随机
2014 年 6 月
像分解的图像修复算法和基于块的纹理合成算
n
n
法 . [4-6] 上述两种技术都遵循以下步骤：①由人工选
Σ Σ vi＝
uik xk /
um ik
，坌k
k=1
1
（3）
定并标志需要修复的破损区域；②寻找破损区域周
围的图像信息， 通过某种算法向破损区域内部扩 散，直到所有缺失像素点修复完毕. 对于自动识别
作对当前的每个个体 Xi（t）按照如下方法产生目标 个体 Xi， j（t+1）：
Xi， j（t+1）＝Xi1， j（t）＋F（Xi2， j（t）-Xi3， j（t））
（5）
其 中 i=1，2，…,N， i1, i2， i3∈{1，2，…,NP}且 i1≠
i2≠i3，参数 F 是[0,2]之间的缩放比例因子.
项，执行公式（2）、公式（1），计算适应度；
步 骤 7， 重 复 执 行 步 骤 4~6 直 到 达 到 给 定 的
最大代数.
4 径向基函数插值
径向基函数插值法[11-13]是多个数据插值方法的 组合，引入平滑因子，并以插值点与离散点之间的 距离作为基函数来确定权值并进行插值的数据插
引用划分系数和划分熵对图像分割效果进行
2 差分演化算法
图像的待修复区域，实现图像自动修复功能在数字 图像修复领域依然是一个难题.
模糊 C-均值聚类算法（FCM）是一种典型的无 监督模糊聚类算法，具有局部收敛性，适合于图像 分割,但是算法需要给出初始聚类数目和中心，且容 易陷入局部最优. 运用改进的 FCM 算法自适应提 取图像的破损区域, 通过建立图像的灰度-梯度直 方图确定初始聚类数目,将其作为差分演化算法的 问题规模结合 FCM 对图像信息进行自适应分割[7]， 划分出图像中所包含的颜色区域进行破损区域的 提 取 ， 再 结 合 径 向 基 函 数 插 值 （RBF） 的 方 法 进 行 图 像修复. 实验表明，利用差分演化（DE）算法的全局 搜索特性， 解决 FCM 算法依赖于初始聚类中心和 易陷入局部极值的问题， 结合 RBF 产生的结构更 合理，修复效果更加自然.
Digital image inpainting by DEFCM and RBF interpolation
YIN Bao-yong, LIU Hui, LIU Jian-sheng
(School of Science, Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou 341000, China)
c 个聚类中心的集合，m∈[1,∞） 为加权指数，dik 为样
本 xk 到第 i 类中心 vi 的欧氏距离，即：dik=‖xk-vi‖A；
λ 是拉格朗日乘子， 对目标函数求极值得必要条
差分进化算法（Differential Evolution, DE）最初
是 由 R. Storn 与 K. Price 提 出 的 一 种 基 于 群 体 的
Abstract: Detecting damaged areas of an image to extract is an essential step of pretreatment in the image restoration process. Fuzzy C-Means clustering algorithm (FCM) in the process of cluster is susceptible to initial cluster centers into a local optimum. A method for digital image inpainting based on Different Evolution Fuzzy C-Means (DEFCM) and Radial Basis Functions (RBF) interpolation is proposed. Through the establishment of gray - gradient histogram, it obtains the number of clustering as dimension of Differential Evolution algorithm (DE), combining with FCM adaption to extract damaged areas, and inpaint them by radial basis function interpolation. The experimental results show that the proposed algotithm can solve the problem of FCM algorithm falling into the local optimum, and can extract grayscale image from various damaged areas correctly and stably; the missing information can be restored correctly in the damaged areas by RBF interpolation algorithm to get the image inpainted . Key words：digital image inpainting; fuzzy C-means; differential evolution; radial basis functions
u
= （l）
jk
1，且对 k≠j，有 uj（kl）=0；
步骤 3，由 模 糊 聚 类 目 标 函 数 公 式 （1）计 算 适
应度；
步骤 4，利用公式（5），对当前种群个体进行变
异产生变异个体；
步骤 5，利 用 公 式 （6）进 行 交 叉 操 作 生 成 测 试
个体；
步 骤 6， 利 用 公 式 （7）， 从 结 果 中 选 择 最 好 的
随 机 搜 索 算 法 ， 差 分 进 化 算 法 [9]保 留 了 基 于 种 群 的
全局搜索策略，采用实数编码、基于差分的变异操
作和一对一的竞争生存策略，降低了进化操作的复
杂性. DE 算法通过执行变异、交叉、选择操作引导
种群搜索向全局最优解逼近. 算法的主要流程：
（1） 生 成 初 始 种 群 ， 在 问 题 搜 索 空 间 随 机 产 生