2021届宁夏银川一中高三上学期月考一数学(文)试卷

2021年宁夏银川一中高三上学期月考一数学（文）试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数2
2
(3)(56)i m m m m -+-+（R m ∈）是纯虚数，则m 的值为 A ．0 B ．2 C ．0或3 D ．2或3 2．设U=R ，A={x|x 2-3x-4＞0},B={x|x 2-4＜0,则
A ．{x|x≤-1或x≥2}
B ．{x|-1≤x ＜2
C ．{x|-1≤x≤4}
D ．{x|x≤4}
3．已知α是第三象限角，3
4
tan =
α,则αcos = A ．54 B ．53 C ．53- D ．5
4-
4．已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x >；
:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件
则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧⌝
C ．p q ⌝∧
D ．p q ∧⌝
5．曲线y =x
x−2在点（1，−1）处的切线方程为 A ．y=x −3 B ．y=−2x+1
C ．y=2x −4
D ．y=−2x-3
6．函数x x
x f 2log 1
)(+-
=的一个零点落在下列哪个区间 A ．)1,0( B ．)2,1( C ．)3,2( D ．)4,3(
7．已知函数2
(1)y f x =-定义域是⎡⎣，则y=f （2x+1）的定义域
A ．[]05
2， B ．]7,4[- C ．]4,4[- D ． ]2
3,1[- 8．将函数
的图象向右平移()0m m >个长度单位后,所得到的图象关于
原点对称,则m 的最小值是
A ．
4
π B ．
3
π C ．56
π D ．
9．函数)2(log )(ax x f a -=在[]3,0上为增函数，则a 的取值范围是
A ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,3
2
B ．（0，1）
C ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛
32,0 D ．[)+∞,3
10．函数y=2x 2–e |x|
在[–2,2]的图像大致为
11．设f （x ）是奇函数，且在（0，＋∞）内是增加的，又f （－3）＝0，则x·f（x ）＜0的解集是
A ．{x ｜－3＜x ＜0，或x ＞3}
B ．{x ｜x ＜－3，或0＜x ＜3}
C ．{x ｜－3＜x ＜0，或0＜x ＜3}
D ．{x ｜x ＜－3，或x ＞3}
12．已知函数()y f x =的定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，'()()xf x f x <-（其中'()f x 是()f x 的导函数）
，若33)a =，(lg3)(lg3)b f =，2211
(log )(log )44
c f =，则
A ．c a b >>
B ．c b a >>
C ．a b c >>
D ．a c b >>
二、填空题 13．将函数的图象向右平移
个周期后，所得图象对应的函数为
_________.
14．已知偶函数()f x 在[
)0,+∞ 上单调递减，若()()23f x f ->，则x 的取值范围是____________.
15．已知直线y=ex+1与曲线)ln(a x y +=相切，则a 的值为 ．
16．已知函数f （x ）＝2,0
ln ,0
x e x x x ⎧-≤⎨>⎩（其中e 为自然对数的底数），则函数y=f （f （x ））
的零点等于 .
三、解答题
17． 已知函数()sin()1f x A x ωϕ=++（0,0A ω>>，2
2
π
π
ϕ-≤≤
）的图像关于
直线x ＝
3
π
对称，最大值为3，且图像上相邻两个最高点的距离为π． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的解析式；
（3）若7
(
)235
f θ
π+=,求sin θ． 18．设(
)4sin 23f x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
（1）求函数在02π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的最大值和最小值；
（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得
到的图象向左平移23
π
个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间. 19．已知定义域为R 的单调减函数()f x 是奇函数，当0x >时, ()23
x
x f x =-.
（1）求()f x 的解析式；
（2）若对任意的t ∈R ，不等式(
)(
)
2
2
220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围
20．已知函数2
(),()ln a f x x g x x x x
=+=+，其中1a ≥． （1）若x=2是函数f （x ）的极值点，求()()()h x f x g x =+在（1，h （1））处的切线方程；
（2）若对任意的[]
12,1,x x e ∈（e 为自然对数的底数）都有12()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围． 21．已知函数()()2
12ln 22
f x x a x a x =
-+- （1）当a=1时,求函数f （x ）在[1,e]上的最小值和最大值; （2）当a≤0时,讨论函数f （x ）的单调性;
（3）是否存在实数a,对任意的x 1,x 2∈（0,+∞）,且x 1≠x 2,都有()()2121
f x f x a x x ->-恒成
立.若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由. 22．选修4－1：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF·
EC ．
（1）求证：ÐP=ÐEDF ； （2）求证：CE·
EB=EF·EP ． 23．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：{x =cosθ
y =sinθ（θ为参数），以平面直角坐标系
xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(2cosθ−sinθ)=6.
（1）将曲线C 1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的√3、2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；
（2）在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值. 24．已知函数f(x)=|x +a |+|2x −1|(a ∈R ) （Ⅰ）当a=1时，求不等式f (x )≥2的解集； （Ⅱ）若f (x )≤2x 的解集包含[1
2,1]，求a 的取值范围.
参考答案
1．A 【解析】
试题分析：由题意2230
560
m m m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩，解得0m =．故选A ．
考点：复数的概念． 2．B 【解析】
试题分析：A ={x|x <−1或x >4}，C U A ={x|−1≤x ≤4}，B ={x|−2<x <2}，则(C U A)∩B ={x| −1≤x <2}．故选B ． 考点：集合的运算． 3．C 【解析】
试题分析：由题意22sin 4tan cos 3sin cos 1ααααα⎧
==⎪
⎨⎪+=⎩，因为α是第三象限角，cos 0α<，所以
3
cos 4
α=-．故选C ．
考点：同角间的三角函数关系． 4．D 【解析】
试题分析：由题设可知：p 是真命题，q 是假命题；所以，p ⌝是假命题，q ⌝是真命题； 所以，p q ∧是假命题，p q ⌝∧⌝是假命题，p q ⌝∧是假命题，p q ∧⌝是真命题；故选D.
考点：1、指数函数的性质；2、充要条件；3、判断复合命题的真假. 5．B 【解析】
试题分析：对求导得
,代入得,则切线方程为
,即y =−2x +1.故选 B.
考点：导数的概念及其几何性质. 6．B 【解析】
试题分析：1
(1)1,(2)2
f f =-=，即(1)(2)0f f <，所以在(1,2)上有一个零点．故选B ． 考点：函数的零点． 考点： 7．D 【解析】
试题分析：由2
1[1,4]x x ∈⇒-∈-，因此1214x -≤+≤，解得3
12
x -≤≤
，即所求定义域为3[1,]2
-．故选D ． 考点：函数的定义域．
【名师点睛】函数()f x 与[()]f g x 中的“x ”含义不同，它们是用同一字母表示两个不同的自变量，因此它们的取值范围不一定相同，但它们之间又有联系，即()f x 中“x ”与
[()]f g x 中的“()g x ”取相同的值时，它们对应的函数值相同，所以在求定义域时，()
f x 中“x ”与[()]f
g x 中的“()g x ”取值范围相同． 8．D 【解析】
试题分析：平移为：3cos[2()]3cos(22)3
3
y x m x m π
π
=-+=+
-，它是奇函数，则0
x =时，3cos(
2)03y m π
=-=，2,32m k k Z πππ-=+∈，,212k m k Z π
π=--∈，因为0m >，最小的m 为521212
πππ
-=．故选D ．
考点：三角函数图象的平移，三角函数的对称性． 9．C 【解析】
试题分析：由题意01230
a a <<⎧⎨->⎩，解得2
03a <<．故选C ．
考点：函数的单调性．
10．D 【解析】
试题分析：()f x 是偶函数，当0x >时，2()2x f x x e =-，'()4x f x x e =-，"()4x
f x e =-,显然存在0(1,2)x ∈，使0"(x )0f =，当0(0,)x x ∈时，"()0f x >，'()f x 递增，当0(,2)x x ∈时，"()0f x <，'()f x 递减，0
0"()40x f x e
=-=，04x e =，又'(0)10f =-<，
00'()44f x x =-0>，因此存在10(0,)x x ∈，使1'()0f x =，
1(0,)x x ∈时，'()0f x <，()f x 递减，当10(,)x x x ∈时，'()0f x >，(x)f 递增，故可排除A 、C ，又2
(2)81f e =-<，B 不符合．故选D ． 考点：函数的图象． 11．C 【解析】
试题分析：由()f x 是奇函数，得(3)(3)0f f =--=，又()f x 在(0,)+∞上是增函数，则
(0,3)x ∈时，()0f x <，当(3,)x ∈+∞时，()0f x >，再由()f x 是奇函数知(,3)
x ∈-∞-时，()0f x <，当(3,0)x ∈-时，()0f x >，0()0()0x xf x f x <⎧<⇒⎨
>⎩或0
()0
x f x >⎧⎨<⎩，所以
(3,0)(0,3)x ∈-．故选C ．
考点：函数的奇偶性与单调性．
【名师点睛】1．奇函数()f x 在(,)a b 和(,)b a --上的单调性相同，偶函数()f x 在(,)a b 和
(,)b a --上的单调性相反，
2．奇函数()f x 在关于原点对称的两点的函数值正负相反，偶函数()f x 在关于原点对称的两点的函数值正负相同．因此奇函数()f x 在(,)a b 上函数值恒为正，则在(,)b a --上函数值恒为负． 12．A 【解析】
试题分析：因为()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，则不等式'()()xf x f x <-为
'()()xf x f x <-，即'()()0xf x f x +<，设()()g x xf x =，则()g x 是偶函数，又
'()'()()0g x xf x f x =+<，所以()g x 是(,0)-∞上的减函数，是(0,)+∞上的增函数，
2
1log 24=-，21
(log )(2)(2)4
g g g =-=，
又2lg 3>>，所以(2)(lg 3)g g g >>，即c a b >>．故选A ．
考点：函数的奇偶性，单调性．导数的应用．
【名师点睛】1．奇函数()f x 在(,)a b 和(,)b a --上的单调性相同，偶函数()f x 在(,)a b 和
(,)b a --上的单调性相反，
2．对于已知不等式中既有()f x 又有'()f x ，一般不能直接确定'()f x 的正负，即不能确定()f x 的单调性，
这时要求我们构造一个新函数，以便利用已知不等式判断其导数的的正负，常见的构造新函数有()()g x xf x =，()()f x g x x =，()()x
g x e f x =，()()x f x g x e
=等等． 13．
【解析】
试题分析：由题意1
2sin[2()]4
3y x π
π=-+
2sin(2)6
x π
=-． 考点：三角函数图象的平移，三角函数的周期． 14．()1,5- 【解析】
偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴不等式()()23f x f ->等价为()()23f
x f ->，
则23x -<，即323x -<-<，则15x -<<，即不等式的解集为()1,5-，故答案为
()1,5-.
【方法点晴】本题主要考查抽象函数的奇偶性、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成()()()()
f g x f h x ≥ 后再利用单调性和定义域列不等式组. 15．
e
3
【解析】
试题分析：1ln()'y x a y x a =+⇒=
+，由1'y e x a ==+，1
x a e
=-，此时1ln()1y a a e =-+=-，所以11()1e a e -=-+，3a e
=．
考点：导数的几何意义．
【名师点睛】求函数曲线y =()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程，根据导数的几何意义，只要求出导数'()f x ，则切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-．要注意所求是在某点处的切线，还是过某点的切线，如果是求过某点的切线，一般设切线为11(,)x y ，求出切线方程
111'()()y y f x x x -=-，然后把点坐标代入求出1x 即得．
16．e 【解析】
试题分析：当0x ≤时，()20x
f x e =-<，由(())0f f x =得()1f x =，ln 1x =，x e =． 考点：函数的零点．
【名师点睛】函数的零点，根据零点的定义，函数()f x 零点就是函数()f x 的图象与x 交点的横坐标，也是方程()0f x =根，因此求函数零点可以通过解方程()0f x =求得，讨论零点个数，可以通过研究函数()f x 图象与x 轴交点个数，经常变化为函数图象与直线交点个数问题．本题是分段函数，在解方程时一般可分段解方程，当然象本题已经得出其中一段函数值恒为负时，零点一定在另一段取得．
17．（1）π；（2）()2sin(2)16
f x x =-+π
；
（3）． 【解析】
试题分析：（1）由函数sin()y A x =+ωϕ的性质知，相邻两个最高点的距离就是函数的最小正周期；（2）最大值是A ＋1，直线x ＝3π是对称轴，则x ＝3
π
代入后是函数的最大值，可得2×
3π＋φ＝kπ＋3
π
，k∈Z，再结合φ的范围可得φ值，从而得解析式；（3）利用（2）的结论条件7()235f θπ+=可化为1
cos 5
θ=，由同角关系式可得sin θ．
试题解析：（1）∵图像上相邻两个最高点的距离为π．∴ƒ（x ）的最小正周期T ＝π (4)
分
（2）∵最大值为3， ∴A+1=3，∴A=2.
由（1）∴ƒ（x ）的最小正周期T ＝π. ∴2ω=. 又因为f （x ）的图像关于直线x ＝3
π
对称， 所以2×
3π＋φ＝kπ＋2π，k∈Z, 则φ＝kπ－6π. 又22ππϕ-≤≤，所以φ＝－6
π.
∴函数f （x ）的解析式为()2sin(2) 1.6
f x x π
=-+
（3）∵7
()2sin[2()]12sin()12cos 12323625
f θπθπππθθ+=+-+=++=+=,
∴1cos 5
θ=
, ∴sin 5θ===±
考点：函数sin()y A x =+ωϕ的图象和性质，同角间的三角函数关系．
18．（1）最大值为4，最小值为（2）72,2()6
6k k k Z π
πππ⎡⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
． 【分析】
（1）利用三角函数的单调性与值域即可得出．
（2）利用坐标变换得到4sin()3y x π=++()4sin()3g x x π
=++三角函数的单调性即可得出． 【详解】
解：（1）()4sin(2)3
f x x π
=-．
02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，∴22333x πππ--
，所以sin 2123x π⎛
⎫-≤-≤ ⎪⎝
⎭
所以当sin(2)13x π-=时，()f x 取得最大值4；当sin(2)sin()33x ππ-=-=
数()f x 取得最小值．
（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到
4sin()3
y x π
=-
再把得到的图象向左平移
23
π个单位，得到4sin()3y x π
=+
∴()4sin()3
g x x π
=++
由3222
3
2
k x k π
π
π
ππ+
+
+
，k Z ∈． 解得7226
6
k x k π
π
ππ+
+
，k Z ∈ ()g x ∴的单调减区间是72,2()66k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦． 【点睛】
本题考查了三角函数的单调性与值域、坐标变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（1）()2,0,30,0,2,0.3
x
x x x f x x x
x -⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩；（2）1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
【分析】
（1）根据奇函数的性质(0)0f =及()()f x f x -=-即可求解（2）利用奇函数性质可化为
()()
2222f t t f t k -<--恒成立，利用函数单调性转化为2222t t k t ->-恒成立，即可求
解. 【详解】
（1）因为定义域为R 的函数()f x 是奇函数，所以()00f =
因为当0x <时，0x ->，所以()23
x
x f x ---=
- 又因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-.所以()23
x x
f x -=
+。

综上，()2,0,30,0,2,0.3
x
x x x f x x x
x -⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩
（2）由(
)(
)
2
2
220f t t f t k -+-<得(
)(
)
2
2
22f t t f t k -<--. 因为()f x 是奇函数，所以()(
)2
2
22f t t f k t
-<-.
又()f x 在R 上是减函数，所以2222t t k t ->-.
即2320t t k -->对任意t ∈R 恒成立. 所以4120k ∆=+<，解得1
3
k <-. 故实数k 的取值范围为1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题主要考查了奇函数性质的应用，单调性，二次不等式恒成立，转化思想，属于难题.
20．（1）7y x =-+；（2）1,2e +⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
． 【解析】
试题分析：（1）由2x =是极值点，可知'(2)0f =，从而可得a 值，再求出'()h x ，得'(1)h ，此为切线斜率，切线方程为(1)'(1)(1)y h h x -=-，化简即可；（2）对本小题命题，可求出
()f x 的最小值min ()f x 和()g x 的最大值max ()g x ，命题可转化为min max ()()f x g x ≥，然后
可求得a 的范围，()g x 最大值由导数的性质易求，由于()f x 中含有参数a ，求其最小值时要分类讨论．
试题解析：（1）解：∵2
2()1a f x x
'=-, ∵x=2是函数f （x ）的极值点，
∴()20f '=， 即2
14
a -．又a≥1, ∴a=2
∴4()()()2ln h x f x g x x x x =+=++, ∴241()2h x x x
'=-+, ∴241
(1)2111
k h '==-
+=-, 又h （1）=6 ∴所求的切线方程是 y-1=-（x-6）,即 y=-x+7.
（2）解：对任意的[]
12,1
x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]
12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦ 当x ∈［1，e ］时，()1
10g x x
'=+
>． ∴函数()ln g x x x =+在[]
1e ，上是增函数．
∴()()max
1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦
．
∵()()()222
1x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >．
① 当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()()()2
0x a x a f x x +-'=
<，
若a ＜x ≤e ，则()()()2
0x a x a f x x +-'=
>．
∴函数()2
a f x x x
=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．
∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦. 由2a ≥1e +，得a ≥
12
e +， 又1≤a ≤e ，∴1
2e +≤a ≤e ．
②.当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()2
x a x a f x x
+-'=
<，
∴函数()2
a f x x x
=+在[]1e ，上是减函数．
∴()()2min
a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2
a e e
+≥1e +，得a ，
又a e >，∴a e >． 综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
考点：导数的几何意义，导数与单调性、极值、最值．
【名师点睛】设在区间I 上函数()f x 的最大值为M ，最小值为m ，函数()g x 的最大值为
N ，最小值为n ，含有量词的不等式恒成立问题的等价转化：
（1）1212,,()()x x I f x g x ∀∈>⇔m N >； （2）1212,,()()x I x I f x g x ∀∈∃∈>⇔m n >； （3）1212,,()()x x I f x g x ∃∈>⇔M n >；
（4）1212,,()()x I x I f x g x ∃∈∀∈>⇔M N >． 21．（1）最小值为f （2）=-2ln2，最大值为()1
12
f =-
；（2）①当20a -<≤时，f （x ）在（0，-a ）上是增函数，在（-a,2）上是减函数，在()2,+∞上是增函数；②当a=-2时，在()0,+∞上是增函数； 2a <-时， 则f （x ）在（0，2）上是增函数，在（2，-a ）上是减函数，在(),a -+∞上是增函数；（3）1,2
a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝
⎦
．
【解析】试题分析：（1）1a =，可求得()'f x ，由()'0f x >确定增区间， ()'0f x <确定减区间，求出极值，并与()()1,f f e 比较得最大值和最小值；（2）求出函数定义域为
()0,+∞，求出导数()
()()2'x x a f x x
-+=
，分类20a -<≤， 2a =-， 2a <-，然后
可分别确定单调区间；（3）这是探究性命题，可假设存在实数a, 对任意的x 1,x 2∈（0,+∞）,且x 1≠x 2,都有
()()2121
f x f x a x x ->-恒成立，不妨设21x x >，不等式可变为
()()2211f x ax f x ax ->-，此不等式成立，只要函数()()g x f x ax =-为增函数即能满足． 试题解析：（1）当a=1时， ()2
12ln 2
f x x x x =
--. 则()()()212221x x x x f x x x x x
+---='=--=. []1,x e ∈ ∴当()1,2x ∈时， ()0,f x '<当()2,x e ∈时， ()0.f x '> ∴f （x ）在（1,2）上是减函数，在（2，e ）上是增函数． ∴当x=2时，f （x ）取得最小值，其最小值为f （2）=-2ln2.
又()1
12
f =-, ()2 2.2e f e e =-- ()()22123
120222
e e e
f e f e ---=--+=〈, ∴()()1f e f <
∴()()max 1
12
f x f ==-
. …………4分 （2） f （x ）的定义域为()0,+∞，
()()()()22222x a x a x x a a
f x x a x x x
+--'-+=-+-==．
①当20a -<≤时，
f （x ）在（0，-a ）上是增函数，在（-a,2）上是减函数，在()2,+∞上是增函数． ②当a=-2时，在()0,+∞上是增函数．
③2a 〈-时， 则f （x ）在（0，2）上是增函数，在（2，-a ）上是减函数， 在(),a -+∞上是增函数．
（3） 假设存在实数a, 对任意的x 1,x 2∈（0,+∞）,且x 1≠x 2,都有
()()2121
f x f x a x x ->-恒成立
不妨设120x x 〈〈, 若
()()2121
f x f x a x x ->-，即()()2211f x ax f x ax ->-.
令g （x ）=f （x ）-ax=
()212ln 22x a x a x -+--ax=21
2ln 22
x a x x -+-. 只要g （x ）在（0,+∞）为增函数
()()2
21122222x a
a x x a g x x x x x
-----=--=
'= 要使()0g x '≥在（0,+∞）恒成立，只需-1-2a≥0， 12
a ≤-. 故存在1,2
a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝
⎦
满足题意．
考点：导数与函数的极值、最值、单调性． 【名师点睛】1求函数的单调区间的“两个”方法 （1）方法一：①确定函数y ＝f （x ）的定义域； ②求导数y′＝f′（x ）；
③解不等式f′（x ）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式f′（x ）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． （2）方法二：①确定函数y ＝f （x ）的定义域；
②求导数y′＝f′（x ），令f′（x ）＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根； ③把函数f （x ）的间断点（即f （x ）的无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f （x ）的定义区间分成若干个小区间；
④确定f′（x ）在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性． 2．求函数f （x ）在[a ，b]上的最大值和最小值的步骤 （1）求函数在（a ，b ）内的极值；
（2）求函数在区间端点的函数值f （a ），f （b ）；
（3）将函数f （x ）的各极值与f （a ），f （b ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
视频 22．证明见解析． 【解析】
证明：（1）∵DE 2=EF·EC ， ∴DE : CE=EF: ED ． ∵ÐDEF 是公共角， ∴ΔDEF ∽ΔCED ． ∴ÐEDF=ÐC ． ∵CD ∥AP ， ∴ÐC=Ð P ． ∴ÐP=ÐEDF ．----5′
（2）∵ÐP=ÐEDF ， ÐDEF=ÐPEA ，∴ΔDEF ∽ΔPEA ． ∴DE : PE="EF" : EA ． 即EF·
EP=DE·EA ．∵弦AD 、BC 相交于点E ， ∴DE·EA=CE·EB ．∴CE·EB=EF·EP ． 10′
23．（1）直线l ：2x −y −6=0，曲线C 2：{x =√3cosθy =2sinθ
(θ为参数)；
（2）点P （
），此时d max =
|4+6|√5
=2√5．
【解析】试题分析：（1）根据伸缩变换的公式代入原方程,可以得到伸缩后的曲线方程；（2）利用点P 在椭圆上设出参数坐标,根据点到直线的距离公式求三角函数的最值,并求出取得最值时的值. 试题解析：解：
（1）由题意知，直线l 的直角坐标方程为：2x −y −6=0 ∵曲线C 2的直角坐标方程为：(3
)2+(y
2
)2=1
∴曲线C 2的参数方程为：{x =√3cosθy =2sinθ
（为参数）.
（2）设点P 的坐标(√3cosθ,2sinθ)，则点P 到直线l 的距离为： d =
√3cosθ−2sinθ−6|
√5
=
0√5
，
∴当sin(600−θ)=1时，点P(−3
2,1)，此时d max =
√5
=2√5.
考点：参数方程,极坐标方程及点到直线的距离.
【方法点晴】本题考查了直角坐标系下的普通方程和参数方程之间的互化问题,要注意参数的范围与定义域之间的联系,以及总结消参的不同方法.第二问求的是曲线上任一点到直线距离的最值,设点时选择用参数方法,转化为了三角函数求最值问题,注意写出取等条件,以及是否能够取到最值.（2）中还可求与已知直线平行的直线与曲线C2相切时的切点即为所求点,相比较利用参数方程求解较简单,此题难度适中.
24．（1）{x|x≤0或x≥2
3}；（2）[−3
2
,0]
【解析】
试题分析：（1）当a=1时，不等式f(x)≥2可化为|x+a|+|2x−1|≥2，然后再进行分段，
即可求出不等式的解集；（2）f(x)≤2x的解集包含[1
2
,1]，不等式可化为|x+a|≤1，解得
−a−1≤x≤−a+1，由已知得{−a−1≤1 2
−a+1≥1
，据此即可求出结果．
试题解析：（1）当a=1时，不等式f(x)≥2可化为|x+a|+|2x−1|≥2，
①当x≥1
2时，不等式为3x≥2，解得x≥2
3
，故x≥2
3
；
②当−1≤x<1
2
时，不等式为2−x≥2，解得x≤0，故−1≤x≤0；
③当x<−1时，不等式为−3x≥2，解得x≤−2
3
，故x<−1．
综上，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥2
3
}．
（2）f(x)≤2x的解集包含[1
2
,1]，不等式可化为|x+a|≤1，解得−a−1≤x≤−a+1，
由已知得{−a−1≤1
2
−a+1≥1
，解得−3
2
≤a≤0，所以a的取值范围是[−3
2
,0]．
考点：1．绝对值不等式的解法；2．集合的包含关系．。