2020年初三数学下期中第一次模拟试题及答案

2020年初三数学下期中第一次模拟试题及答案
一、选择题
1．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ．则cos ∠AOB 的值等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，123∠∠∠==，则图中相似三角形共有（ ）
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对 3．反比例函数k y x
=与1(0)y kx k =-+≠在同一坐标系的图象可能为（ ） A ． B ． C ． D ．
4．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A （2，2）、B （3，1），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD ，则端点C 的坐标分别为（ ）
A ．（4，4）
B ．（3，3）
C ．（3，1）
D ．（4，1）
5．已知2x =3y ，则下列比例式成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，设ADE α∠=，且3cos 5α=
，5AB =，则AD 的长为（ ）
A．3B．16
3
C．
20
3
D．
16
5
7．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴
的正半轴上，反比例函数
k
y
x
= (x＞0)与AB相交于点D，与BC相交于点E，若
BD=3AD，且△ODE的面积是9,则k的值是( )
A．9
2
B．
7
4
C．
24
5
D．12
8．若△ABC∽△A′B′C′且
3
4
AB
A B
=
''
,△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为（）
cm.
A．18B．20 C．15
4
D．
80
3
9．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（）
A．8tan20°B．C．8sin20°D．8cos20°
10．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（）
A ．12m
B ．13.5m
C ．15m
D ．16.5m
11．如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算
cos55°，按键顺序正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若270x y -=. 则下列式子正确的是（ ） A ．72x y = B ．27x y = C ．27x y = D ．
27x y = 二、填空题
13．如图，P （m ，m ）是反比例函数9y x
=
在第一象限内的图象上一点，以P 为顶点作等边△PAB ，使AB 落在x 轴上，则△POB 的面积为_____．
14．计算：cos 245°
-tan30°sin60°=______．
15．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且43OE EA =，则FG BC
=______．
16．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P 点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．
17．如图，Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，直线EF BD P ，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交
AD 于点F ，若13AEG EBCG S S V 四边形，=则CF AD
= ．
18．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．
19．一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有________．
20．已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是______厘米．
三、解答题
21．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°，在点A处有一栋居民楼，AO＝320m，如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时．
（1）居民楼是否会受到噪音的影响？请说明理由；
（2）如果行驶的速度为72km/h，居民楼受噪音影响的时间为多少秒？
22．如图，已知反比例函数y＝k
x
的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为2.
(1)求k和m的值；
(2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝k
x
的图象上，当－3≤x≤－1时，求函数值y的取值
范围．
23．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．
24．如图，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5．求BC、BE的长？
25．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：6≈2.449，结果保留整数）
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．
【详解】
连接AB，
由图可知：OA=0B，AO=AB
∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°=．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC是等边三角形是解题的关键．2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据已知及相似三角形的判定定理，找出题中存在的相似三角形即可.
【详解】
∵∠1＝∠2，∠C＝∠C，∴△ACE∽△ECD，∵∠2＝∠3,∴DE∥AB，
∴△BCA∽△ECD，∵△ACE∽△ECD，△BCA∽△ECD，∴△ACE∽△BCA，
∵DE∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∵∠1＝∠2，∴△AED∽△BAE，∴共有4对，故此选D 选项.
【点睛】
本题考查学生对相似三角形判断依据的理解掌握，也考察学生的看图分辨能力.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据反比例函数和一次函数的性质逐个对选项进行分析即可．
【详解】
A 根据反比例函数的图象可知，k>0,因此可得一次函数的图象应该递减，但是图象是递增的，所以A错误；B根据反比例函数的图象可知，k>0,，因此一次函数的图象应该递减，和图象吻合，所以B正确；C根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，并且过（0,1）点，但是根据图象，不过（0,1），所以C错误；D根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，但是根据图象一次函数的图象递减，所以D错误．故选B
【点睛】
本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，关键点在于系数的正负判断，根据系数识别图象.
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C 点坐标．
【详解】
∵以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD ， ∴A 点与C 点是对应点，
∵C 点的对应点A 的坐标为（2，2），位似比为1：2，
∴点C 的坐标为：（4，4）
故选A ．
【点睛】
本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x =3y ，即可判断．
【详解】
A ．变成等积式是：xy =6，故错误；
B ．变成等积式是：3x +3y =4y ，即3x =y ，故错误；
C ．变成等积式是：2x =3y ，故正确；
D ．变成等积式是：5x +5y =3x ，即2x +5y =0，故错误．
故选C ．
【点睛】
本题考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质可知：求AD 的长就是求BC 的长，易得∠BAC =∠ADE ，于是可利用三角函数的知识先求出AC ，然后在直角△ABC 中根据勾股定理即可求出BC ，进而可得答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠BAC =90°，BC=AD ，∴∠BAC +∠DAE =90°， ∵DE AC ⊥，∴∠ADE +∠DAE =90°，∴∠BAC =ADE α∠=，
在直角△ABC 中，∵3cos 5α=，5AB =，∴25cos 3
AB AC α==，
∴AD=BC 203==. 故选：C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理和解直角三角形的知识，属于常考题型，熟练掌握矩形的性质和解直角三角形的知识是解题关键. 7．C
解析：C
【解析】
【分析】
设B 点的坐标为（a ，b ），由BD=3AD ，得D （
4
a ，
b ），根据反比例函数定义求出关键点坐标，根据S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE = 9求出k.
【详解】 ∵四边形OCBA 是矩形，
∴AB=OC ，OA=BC ，
设B 点的坐标为（a ，b ），
∵BD=3AD ，
∴D （4
a ，
b ）， ∵点D ，E 在反比例函数的图象上， ∴4
ab =k ， ∴E （a ， k a
）， ∵S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE =ab-
12•4ab -12•4ab -12•34a •（b-k a ）=9， ∴k=
245
， 故选：C
【点睛】 考核知识点：反比例函数系数k 的几何意义. 结合图形，分析图形面积关系是关键.
8．B
解析：B
【解析】
∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴34
ABC AB A B C A B ''=''='V V 的周长的周长， ∵△ABC 的周长为15cm ，∴△A ′B ′C ′的周长为20cm ．故选B ．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°．
【详解】
设木桩上升了h 米，
∴由已知图形可得：tan20°=8h ， ∴木桩上升的高度h =8tan20°
故选B. 10．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用直角三角形DEF 和直角三角形BCD 相似求得BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB ．
【详解】
∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D ，
∴△DEF ∽△DCB ，
∴BC DC EF DE
=， ∵DF=50cm=0.5m ，EF=30cm=0.3m ，AC=1.5m ，CD=20m ，
∴由勾股定理求得DE=40cm ，
∴200.30.4
BC =， ∴BC=15米，
∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．
故答案为16.5m ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
利用如图所示的计算器计算2cos55°，
按键顺序正确的是．
故答案选C ．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接利用比例的性质分别判断即可得出答案．
【详解】
∵2x -7y =0，∴2x =7y ．
A ．72x y =，则2x =7y ，故此选项正确；
B ．
27x y =，则xy =14，故此选项错误； C ．
27x y =，则2y =7x ，故此选项错误； D ．27
x y =，则7x =2y ，故此选项错误． 故选A ．
【点睛】
本题考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题的关键．
二、填空题
13．【解析】【详解】如图过点P 作PH⊥OB 于点H∵点P （mm ）是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点∴9=m2且m ＞0解得m=3∴PH=OH=3∵△PAB 是等边三角形∴∠PAH=60°∴根据锐角三
解析：933+ ． 【解析】
【详解】
如图，过点P 作PH ⊥OB 于点H ，
∵点P （m ，m ）是反比例函数y=9x
在第一象限内的图象上的一个点，
∴9=m 2，且m ＞0，解得，m=3.∴PH=OH =3.
∵△P AB 是等边三角形，∴∠P AH =60°
.
∴根据锐角三角函数，得∴OB
∴S △POB =12OB•PH =92
+. 14．0【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案【详解】=故答案为0【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值正确记忆相关数据是解题关键
解析：0
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
【详解】
2cos 45tan30sin60︒-︒︒=2110222
=-= . 故答案为0.
【点睛】 此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
15．【解析】【分析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案
【详解】四边形ABCD 与四边形EFGH 位似其位似中心为点O 且则故答案为：
【点睛】本题考查了位似的性质熟练掌握位似的性质是解题的关键 解析：47
【解析】
【分析】
利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【详解】
Q 四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且OE 4EA 3
=， OE 4OA 7∴
=， 则FG OE 4BC OA 7
==， 故答案为：
47． 【点睛】
本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.
16．5【解析】根据题意画出图形构造出△PCD ∽△PAB 利用相似三角形的性质
解题解：过P作PF⊥AB交CD于E交AB于F如图所示设河宽为x米∵AB∥CD∴∠PDC =∠PBF∠PCD=∠PAB∴△PDC∽△
解析：5
【解析】
根据题意画出图形，构造出△PCD∽△PAB，利用相似三角形的性质解题．
解：过P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，如图所示
设河宽为x米．
∵AB∥CD，
∴∠PDC=∠PBF，∠PCD=∠PAB，
∴△PDC∽△PBA，
∴AB PF CD PE
=，
∴AB15x CD15
+
=，
依题意CD=20米，AB=50米，
∴
15
20
5015x
=
+
，
解得：x=22.5（米）．
答：河的宽度为22.5米．
17．【解析】【分析】先证△AEG∽△ABC△AGF∽△ACD再利用相似三角形的对应边成比例求解【详解】解：
∵EF∥BD∴∠AEG=∠ABC∠AGE=∠ACB∴△AEG∽△ABC且S△AEG=S四边形EB
解析：1 2
【解析】
【分析】
先证△AEG∽△ABC，△AGF∽△ACD再利用相似三角形的对应边成比例求解.【详解】
解：∵EF∥BD
∴∠AEG=∠ABC，∠AGE=∠ACB，
∴△AEG∽△ABC，且S△AEG=1
3
S四边形EBCG
∴S△AEG：S△ABC=1：4，∴AG：AC=1：2，
又EF∥BD
∴∠AGF=∠ACD，∠AFG=∠ADC，∴△AGF∽△ACD，且相似比为1：2，∴S△AFG：S△ACD=1：4，
∴S△AFG
1
=
3
S四边形FDCG
S△AFG
1
=
4
S△ADC
∵AF：AD=GF：CD=AG：AC=1：2
∵∠ACD=90°
∴AF=CF=DF
∴CF：AD=1：2．
18．【解析】【分析】如图根据正方形的性质得：DE∥BC则△ADE∽△ACB列比例式可得结论【详解】如图∵四边形CDEF是正方形∴CD=EDDE∥CF设ED=x则CD=xAD=12-x∵DE∥CF∴∠AD
解析：60 17
．
【解析】
【分析】
如图，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论.【详解】
如图，
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=ED，DE∥CF，
设ED=x，则CD=x，AD=12-x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴DE
BC
＝
AD
AC
，
∴x
5
＝
12-x
12
，
∴x=60 17
，
故答案为60 17
.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．
19．6【解析】符合条件的最多情况为：即最多为2+2+2=6
解析：6
【解析】
符合条件的最多情况为：
即最多为2+2+2=6
20．4【解析】∵线段b 是ac 的比例中项∴解得b ＝±4又∵线段是正数∴b ＝4点睛：本题考查了比例中项的概念利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候负数应舍去
解析：4
【解析】
∵线段b 是a 、c 的比例中项，∴216b ac ==，解得b ＝±
4，又∵线段是正数，∴b ＝4． 点睛：本题考查了比例中项的概念，利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
三、解答题
21．（1）居民楼会受到噪音的影响；（2）影响时间应是12秒．
【解析】
【分析】
（1）作AC ⊥ON 于C ，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC ＝
12
AO ＝160，则点A 到MN 的距离小200，从而可判断学校会受到影响；
（2）以A 为圆心，100为半径画弧交MN 于B 、D ，如图，则AB ＝AD ＝200，利用等腰三角形的性质得BC ＝CD ，接下来利用勾股定理计算出BC ＝120，所以BD ＝2BC ＝240，然后利用速度公式计算出学校受到的影响的时间．
【详解】
（1）如图：过点A 作AC ⊥ON ，
∵∠QON＝30°，OA＝320米，
∴AC＝160米，
∵AC＜200，
∴居民楼会受到噪音的影响；
（2）以A为圆心，200m为半径作⊙A，交MN于B、D两点，
即当火车到B点时直到驶离D点，对居民楼产生噪音影响，
∵AB＝200米，AC＝160米，
∴由勾股定理得：BC＝120米，由垂径定理得BD＝2BC＝240米，
∵72千米/小时＝20米/秒，
∴影响时间应是：240÷20＝12秒．
【点睛】
此题是解直角三角形的应用，主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．(1) k＝4， m＝1；(2)当－3≤x≤－1时，y的取值范围为－4≤y≤－4 3 .
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）根据反比例函数系数k的几何意义先得到k的值，然后把点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值；
（2）先分别求出x=﹣3和﹣1时y的值，再根据反比例函数的性质求解．
试题解析：（1）∵△AOB的面积为2，∴k=4，∴反比例函数解析式为
4
y
x
=，∵A（4，
m），∴m=4
4
=1；
（2）∵当x=﹣3时，y=﹣4
3
；
当x=﹣1时，y=﹣4，又∵反比例函数
4
y
x
=在x＜0时，y随x的增大而减小，∴当﹣
3≤x≤﹣1时，y的取值范围为﹣4≤y≤﹣4
3
．
考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．23．(1) FD=5; (2)证明见解析.
【解析】
（1）利用三角形中位线的性质得出DE∥AB，进而得出∠DEC =∠B，即可得出FD=DE，即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B=∠A=∠CED=∠CDE，即可得出∠CDE=∠F，即可得出△CDE∽△DFE．
【详解】
解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE//AB，DE=1
2
AB=5
又∵DE//AB，
∴∠DEC= ∠B．
而∠F= ∠B，
∴∠DEC =∠B，
∴FD=DE=5；
（2）∵AC=BC，
∴∠A=∠B．
又∠CDE=∠A，∠CED= ∠B，
∴∠CDE=∠B．
而∠B=∠F，
∴∠CDE=∠F，∠CED=∠DEF，
∴△CDE∽△DFE．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质和平行线的性质等知识，熟练利用相关性质是解题关键．
24．BC=6，BE=5
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得BF
BE
=
3
BC
=
2
4
，则可计算出BC=6，BF=
1
2
BE，然后利用
1
2
BE+BE=7.5求出BE的长．【详解】
∵l1∥l2∥l3，∴FB
BE
=
AB
BC
=
AD
DE
，即
BF
BE
=
3
BC
=
2
4
，∴BC=6，BF=
1
2
BE，
∴1
2
BE+BE=7.5，∴BE=5．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．25．此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【分析】过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中易得PC的长，再在直角△BPC中求出PB的长即可．
【详解】作PC⊥AB于C点，
∴∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里），
在Rt△APC中，cos∠APC=PC PA
，
∴PC=PA•cos∠3（海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC=PC PB
，
∴PB=
403
cos
PC
BPC
=
∠
6≈98（海里），
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用举例，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.。