江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学三校2014-2015学年高二数学1月联考试题

数学试题
一选择题（共12小题，每题5分，总分60分）
1．设a R ∈，则1a >是11
a <的（ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知命题
:,20;x
p x R ∀∈>命题q ：在曲线cos y x =
则下列判断正确的是（ ）
A ．p 是假命题
B ．q 是真命题
C ．(q)p Λ⌝是真命题
D ．()p q ⌝Λ是真命题
3．若
0()2f x '=，则000
(x k)(x )
lim
2k f f k →--等于（ ）
A ．－1
B ．－2
C ．1
D ．1
2
4．（文）曲线3
4y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是（ ）
A ． 74y x =+
B ．72y x =+
C ． 4y x =-
D ．2y x =-
（理）观察按下列顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，
93431⨯+=，…，猜想第(n N )n *
∈个等式应为（ ）
A ． 9(n 1)109n n ++=+
B ． 9(n 1)109n n -+=-
C ． 9(1)101n n n +-=-
D ．9(n 1)(1)1010n n -+-=-
5．若双曲线22
22(0)1
x y a b a b >>-=
则其渐近线方程为（ ）
A ． 2y x =±
B ．
2y x =±
C ．
12y x =±
D ．
y =
6．过椭圆22
143x y +=的一个焦点作垂直于长轴的弦，则此弦长为（ ） A ． 3
4
B ． 23
C ．3
D ． 833
7．设余弦曲线3cos y x =- 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )
A ．2[0,][,)33πππ⋃
B ．
2[0,][,]323πππ⋃ C ．[0,,)π
D ． 2[,]33ππ
8．下列有关命题的叙述， ①若
p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题；②"5"x >是
2"450"x x -->的充分不必要条件；③命题:p x R ∃∈，使得2
10x x +-<，则:p x R ⌝∀∈，
使得210x x +-≥；④命题“若2
320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1
x ≠或2x ≠，则2
320x x -+≠”．其中错误的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9（文）已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为3
2，且椭圆G 上一点到其
两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为（ ）
A ． 22
149x y += B ． 22
194x y += C ． 22
1369x y += D ． 22
1936x y +=
（理）利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n ）=2n ×1×3×…×（2n ﹣1），n ∈N*”时，
从“n=k ”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（ ） A ．2k+1
B ． 211k k ++
C ． (21)(2k 2)1k k +++
D ． 23
1k k ++
10．已知双曲线22
22:1(a,b 0)
x y C a b -=>的左、右焦点分别为12,F F ,过2F 作双曲线C 的一条
渐近线的垂线,垂足为H,若2F H 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
11．已知条件p 2
2
210x ax a -+->，条件q 2x >,且p 的充分而不必要条件是q ，则a 的取值范围是（ ）
A ． 1a ≥
B ．1a ≤
C ． 3a ≥-
D ． 3a ≤-
12．已知函数()f x 的导数为()f x '，且满足关系式
2
()3(2)lnx f x x xf '=++，则(2)f '的值等于（ ） A ．-2
B ．2
C ． 9
4-
D ．94
二填空题（共4小题，每题5分，总分20分）
13．若命题“x R ∃∈，使2
10x ax ++<”的否定是假命题，则实数a 的取值范围是
14．曲线
sin 1
(,)sin cos 42x y M x x π=
+在点处的切线斜率为
．
15．已知圆C 过点(0,1)，且圆心在x 轴的负半轴上，直线:1l y x =+
被该圆所截得的弦长为
C 的标准方程为 .
16.已知直线30ax by --=与()x
f x xe =在点(1,e)P 处的切线互相垂直，则a
b = ．
三解答题(共六大题，总分75分)
17．（10分）
（文）（1）设命题:p 若0a ≥，则20x x a +-=有实根。

试写出命题p 的逆否命题并判断真
假；
（2）设命题:p 函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，命题q ：曲线
2
(2k 3)1y x x =+-+与x 轴交于不同的两点，如果
p q ∧是真命题，求k 的取值范围.
（理）（1）求证：当2a >
<
(2) 已知x ∈R ，a ＝x2＋1
2，b ＝2－x ，c ＝x2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.
18
．（
10
分
）
设
命
题
2
000p:x ,x 20
R ax a ∃∈+-=使得；命题
22:,421q x R ax x a x ∀∈++≥-+.如果命题“p q ∨”为真命题，“
p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．
19．（12分）已知曲线
3
2y x x =+-在点0P ”处的切线1l 平行直线410x y --=，且点0
P 在第三象限. （1）求0P 的坐标；
（2）若直线
1l l ⊥, 且l 也过切点0P ,求直线l 的方程.
20．（12分）
（文）已知函数2
()(1)x f x k x e x =-+．（1）求导函数()f x ' （2）当
1k e =-
时，求函数()
f x 在点(1，1)处的切线方程；
(理)设函数1
()ln x x
be f x ae x x -=+
，（1）求导函数()f x ' （2）若曲线()y f x =在点(1,(1))
f 处的切线方程为y e(x 1)2=-+求a,b .
（理）在数列{}n a 中，16a =，且
1
11(n N ,n 2)n n n a a a n n *---=
++∈≥，
（1）求
234,,a a a 的值；
（2）猜测数列
{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明。

22．（14分）已知椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b +=>>过点3(1,)2，且长轴长等于4.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）是椭圆C 的两个焦点，圆O 是以
12F ,F 为直径的圆，直线:l y kx m =+与圆O 相切，并
与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若3
2OA OB =-
，求k 的值.
高二联考数学试卷参考答案
(理)(1)当
2a >时，要证
222a a a
+-<成立.只需证
22(22)(2)a a a +-<.(2分).即证24a a -<.也就是证明224a a -<.即只需证
40-<.(4分).由于40-<显然成立,则原不等式成立.(5分)
(2)假设a,b,c 没有一个不小于1,也即1,1,1a b c >>>.则有3a b c ++<.(7分).将
a,b,c 带入得a+b+c ＝x2＋12+2－x+x2－x ＋1=21
2()33
2x -+≥.(9分)与3a b c ++<矛盾.
则原命题成立.(10分)
18题因为2000p:x ,x 20R ax a ∃∈+-=使得,所以方程2
x 20ax a +-=有解. 2440a a ∴∆=+≥,即01a a ≥≤-或.(3分)22
:,421q x R ax x a x ∀∈++≥-+.则
2(2)410a x x a +++-≥在R 上恒成立.显然a=-2时不恒成立.因此有
20164(2)(1)0a a a +>⎧⎨
∆=-+-≤⎩.解得2a ≥.所以命题q 为真时a 的范围是2a ≥(7分)又因为命
题“
p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题,所以p 与q 一个为真一个为假.则a 的取值范围
是(,1][0,2)-∞-⋃(10分)
19题(1) 对函数32y x x =+-求导得
2
31y x '=+.(2分) 平行直线4x-y-1=0的斜率为4,所以2
314x +=,即x=1或 x=-1.(4分)又p 在第三象限所以
x=-1.将x=-1 带入 得y=-4,所以p 点坐标为(-1,-4)(6分) (2)因为直线l 垂直1l
,所以直线l 的斜率为-1/4.(8分) 设y=(-1/4)x+b 又过p(-1,-4)
带入得 b=-7/4,所以 直线l 方程为y=(-1/4)x-17/4.(12分)
20题(文)(1)
()(1)22x x x
f x ke k x e x kxe x '=+-+=+(6分) (2)因为1k e =-
,则切线的斜率为11
(1)21
f e e '=-+=.(9分)则,切线方程为0x y -=.(12
分)
(理)（1）12111()()()()()ln ln ln x x
x x x
x x x be ae x x ae ae x ae x x
be be x x b f e x x ----'''
=+'='=+
-则
11
2()ln x x x x
ae be x be f x ae x x x ---'=++
（6）
（2）由于切点既在函数曲线上,又在切线上.将x=1带入切线方程得y=2.将x=1带入函数f(x)
得f(1)=b.所以b=1.(8分) 将x=1带入导函数，
则(1)f ae e '==.所以a=1.(12分)
21题(文)(1)显然k=0成立.(1分)因为直线:1l y kx =+与抛物线有且仅有一个公共
点,214y kx y x =+=⎧⎨⎩消y 得 22(24)10k x k x +-+=,(3分)则
22(24)40k k ∆=--=.解得1k =.所以k=0或1.(6分) (2)
设点P 的坐标
为
(x
或
(,x -.(8分)
则
2
222(2)(44
PA x x =-+±=+≥,(10分)
即
2
PA ≥.所以线段长的最小值为2.(12分)
(理)(1)将n=2,3,4分别带入递推公式得
212a =, 320a =, 430a =.(3分)
(2)归纳猜测
22
(1)(1)32n a n n n n =+++=++.n N *∈ (5分) 下面利用数学归纳法证明等式成立.
当n=1时,
16a =等式显然成立.(6分)
假设当n=k 时,有
2
32k a k k =++成立.(7分) 那么,当n=k+1时,利用已知递推公式121k
k k a a a k k +=+
+++,(9分)
代入归纳假设得
1322222
2
1
6116(1)(56)11
(1)3(1)232
32k a k k k k k k k k k k k k k k k k +=++++++++++==
++=++++++++.则当n=k+1时,等式也成立.
综上所述,
22
(1)(1)32n a n n n n =+++=++,n N *∈成立.(12分) 22题(1)由题意长轴为4，即2a=4，解得：a=2.(1分)点3(1,)2在椭圆上,所以219
1
44b +=,解
得2
3b =.(3分)椭圆的方程为22
143x y +=.(4分)
(2)由直线:l y kx m =+与圆O
1
=,即22
1m k =+.(6分)
设
1122(,),(,)
A x y
B x y ,由
22
14
3k y y x m x ==+⎧+⎪⎨⎪⎩
消去y 整理得
222(34)84120k x kmx m +++-= (8分)
1228,34km
x x k ∴+=-+212
2
41234m x x k -=+22
12122312()()34m k y y kx m kx m k -∴=++=+.
221212271212
34m k x x y y k --∴+=
+.(10分) 22
2
12122553
1,342k m k x x y y k --=+∴+==-
+.
解得
212k =
.则k
的值为±
.(12分)。